地图投影与变换.docx
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地图投影与变换
地图投影与变换
坐标参考系统—平面系统
地图投影的方法很多，用不同投影方式得到的经纬线网形状不同，即投影函数是多值的，不唯一的
地球儀到紙張地圖
理論上地球儀應該是一個最忠實的模型。
然而實際應用時，地球儀有許多限制，包括：
1、攜帶不便：
地球儀不能摺、不能捲，佔據較大的空間，不便於攜帶。
2、比例尺小：
由於地球儀必須涵蓋整個地球，又佔有體積，所以比例尺變化較小，難以提供詳細的資訊。
3、同一時間只能觀看到半球：
任何一個瞬間，讀者最多只能看到半球，不方便於同時展示全球性的分佈現象。
由於這些種種限制，通常我們使用地球儀來介紹全球性的概念，包括：
地球公轉、自轉；四季的關係；時間、時區、日夜等，全球海陸分布等綜觀性的資訊，至於詳細的區域資料等，我們還是需要仰賴平面的紙張地圖。
每一張地圖都是投影轉換的結果，而投影一定會造成扭曲變形，為了正確判讀地圖上的資訊，所以學生應該具備地圖投影的基本概念。
4
在麥卡托投影圖上，我們可以看到不同緯度上的實際比例尺並不相同。
在赤道上，長度的比例尺是和地圖所標示的比例尺一致的，然而60度緯線的實際長度只有赤道長度的一半，麥卡托投影圖將它繪製成和赤道等長的緯線，所以相對而言，它的實際比例尺被放大兩倍。
同理，85度緯線的長度只有赤道長的1/6，卻被畫成和赤道一樣長，所以它被放大6倍。
为什么要地图投影？
但是地球仪因为是一个立体的物品，所以点的空间很大，度量也不容易，携带储存更不方便，如果可以把立体的地球仪压成平面，那么所有的问题都可以迎刃而解了。
为了观察地球上的信息，我们主要是将庞大的地球缩小，方便直接观察，而“地球仪”除了体积变小之外，其他几何形状都与地球接近。
因此地球仪可以说是一种最正确的地图。
地圖投影的目的
地图投影是將立体地球上的种种标线及位置，转换到平面方格坐标的一种方式，在投影出來的地图上，无论是长度或面积，都必須与实际长度面積等比例，位置也必須正确，這是地图投影最基本的原則。
实际上这种直观的透视投影方法亦有很大的局限性，例如，只能对一局部地区进行投影，且变形有时较大，同时往往不能将全球投影下来，多数情况下不可能用这种几何作图的方法来实现。
圆柱投影
1552年荷兰的制图家麦卡托（Mercator），发明了圓柱投影，是將地球仪投影在圆柱筒上，再摊开成平面地图。
优点：
地图可以显示全部的经线，经、纬线也都和地球仪上的一样，保持互相垂直。
因此对远程的航行很有帮助，現在的航海图大多还是用此种投影法绘制而成的。
缺点：
靠近兩极的部分面积会被放大許多。
圆锥投影
將地球仪投影到圆锥上，再展开成平面地图的一种方法，球体与圆锥接触的地方通常都是中高纬度的一条纬线。
优点：
圆锥接触的纬线附近区域，面积可以算得极准确。
缺点：
这种投影法还是会造成部分扭曲，但较不严重。
平面（方位/天顶）投影
投影面和地球仪相交于一点，通常是南北极，但也可以是地球上的任何一点，投影出來的平面地图呈圆形，纬线是一个个的同心圆，经线則是从圆心向外的一些放射线，
优点：
投影出來的地图，面积比例和实际的相符。
缺点：
一次只能投影半个球面。
伪圆柱投影
为了弥补这三类投影的缺点，地图学者利用数学公式，推导出許多可以涵盖全球的投影方法，称为信圆柱投影。
这些投影由于是纯粹的数学公式，所以难以用切线、切点、和光源等概念來解释。
它們的共同特色是图上的纬线为平行直线，除中央经线之外，经线均为曲线，整个世界全图的外观呈椭圆形。
国际（Universal）橫（Transverse麦卡托（Mercator）投影坐标系統
UTM投影將南北纬80°间之区域，按经度每六度分为一帶，沿赤道自西经180°起向东推算，而取每帶中央经线与赤道交点为该帶区的坐标原点。
通用横轴墨卡托投影公式
通用横墨卡托投影（UTM）与高斯—克吕格投影相比较，这两种投影之间仅存在着很少的差别，从几何意义看，UTM投影属于横轴等角割园柱投影，圆柱割地球于两条等高圈（对球体而言）上，投影后两条割线上没有变形，中央经线上长度比小于１（假定＝0.9996）
航海图的投影方式
I.单圆锥投影
（一）圆锥投影法:
针对某些特殊的需求，须设计不同的投影。
II.多圆锥投影
（二）平（切）面投影（方位投影）:
I.球心投影（赤道球心切面投影）:
II.透視切面投影:
III.正射切面投影:
三、墨卡托投影的变形:
墨卡托投影航海图于高纬度時其显示过于夸大，可由格林兰岛在墨卡托海图上比美国本土大而查觉出。
0.1投影（Projection）
1．定义
空间任意点A与一固定点S的连线AS（包括其延长线）被某面P所截，直线AS与该截面P的交点a叫做空间点A在截面P上的投影。
截面P称作投影面，交点a称作投影点，直线AS称作投影线，S点称作投影中心。
说明：
●投影面P不一定是平面
●点A与投影面P不一定是在S的两侧
●在特殊情况下投影中心S点允许在无穷远处
在数学中，投影（project）的含义是建立两个点集间一一对应的映射关系。
2.中心投影
——投影面是平面、投影中心S在有限远处的投影称作中心投影。
摄影照相机就是中心投影。
——中心投影有两个问题：
●地面起伏引起投影误差；
●投影面P与地面E不平行，
也引起投影误差。
——正射投影
●定义：
投影面平行于地面、投影线垂直于地面（S于无穷远处）的投影。
●实际上的正射投影——二次投影，即将起伏地面正射投影于一个基准平面上，再进行中心投影，且投影面与基准面平行。
正射投影示意图
●正射投影是理想投影，不存在投影误差。
GIS/LIS的信息源以及电子图件产品应当使用正射投影。
●正射投影是中心投影的特殊理想情况，用光学方法与数学解析纠正的方法可以将非理想状况的中心投影转换为正射投影。
3．地图投影
——地球模型
●地球是一个不规则的球体
●地球模型——旋转椭球体
长半轴：
6378.140km
短半轴：
6356.755km
普通测量将地球看作球体，半径为6371km
地理信息系统（GIS）和土地信息系统（LIS）
从《测量学》里大家知道：
将地球表面通过测量的方法表现在平面上即成为地图，这一过程可以理解为将地球表面按一定比例缩小成一个地形模型，然后将其上的特征点（测量控制点、地形点、地物点）用垂直投影的方法投影到平面（图纸）上。
对于小范围地区（R<10km），可视地表为一平面，可以认为没有变形；但对于大的区域范围，甚至半球、全球这种不可展的球面，就不象这样简单。
从不规则的地球表面到制成地图——地图投影。
平行投影
透视投影
本张片子是一点小插曲
广义投影
——地图制作原理
●不可展面投影为可展面
可展曲面有圆锥面、圆柱面
●设想的地球是透明体，在球心有一点光源S（投影中心），向四周辐射投影射线，通过球表面（各点A、B、C、D……）射到可展面（投影面）上，得到投影点a、b、c……，然后再将投影面展开铺平，又作中心投影将其比例尺缩小，从而制成地图。
——地图投影基本类型
●从投影面类型划分为：
圆锥、圆柱、平面（方位投影）
●从投影面与地球位置关系划分为：
正轴、横轴、斜轴
切、割
正轴切圆锥投影正轴割圆锥投影
横轴切圆锥投影横轴割圆锥投影
横轴切圆柱投影横方位投影
正轴割圆柱投影斜轴切圆柱投影
斜轴切圆锥投影正轴切圆柱投影
正方位投影斜方位投影
投影类型
有些教材里给出简单的几种。
——地图投影引发的误差
由于要将不可展的地球椭球面展开成平面，且不能有断
裂，那么图形必将在某些地方被拉伸，某些地方被压缩，因
而投影变形是不可避免的，误差分为：
●面积误差，这里面积是指一个地物在地球模型上的表面积。
●方位误差，指地图上两点的矢量方向与实际的方向之差。
●两点距离误差。
——关于地图投影的几点结论：
●实现等角、等面积、等距离同时做到的投影不存在。
●投影方式有多种多样，一个国家或地区依据自己所处在
的经纬度、幅员大小以及图件用途选择投影方式。
●在比例尺1：
10万以下大比例尺图件中，各种投影带
来的误差可以忽略。
地图投影的概念
数学上的投影
几何学－－透视原理
物体的形状、灯源的位置、以及承影面的形状都将影响投影的结果。
前段的小结
地图投影
地图投影是在几何投影的基础上发展起来的。
地图投影的实质就是球面上的经纬网按照一定的数学法则转移到平面图纸上。
地图投影的目的：
是通过将不可展的球面投影到一个可展曲面上，然后将该曲面展开成为一个平面，来保证空间信息在地域上的连续性、完整性和可测度性。
地理坐标为球面坐标，不方便进行距离、方位、面积等参数的量算
地球椭球体为不可展曲面
地图为平面，符合视觉心理，并易于进行距离、方位、面积等量算和各种空间分析
为什么要进行投影？
度量不均匀（非线性）
纬线在两极收敛
1经度
赤道上0=111KM
纬度60＝55.8KM
纬度90＝0km
研究区内多副图的拼接及其多个图层的叠加
地图投影的意义
随着GIS不断普及，应用层次多样化、应用人员复杂化，很多人因为不懂投影，而一筹莫展；而一部分人在似懂非懂中，不管什么来源的数据，只管数字化建库或者强行配准迭加。
关于数据精度只注意数字化和编辑过程中的偶然误差和外围设备的系统误差，而忽视了地图投影所产生的变形误差。
其后果是：
显示或输出的图形文件发生变形或扭曲，有些变形在视觉上不易直接观察。
这一方面严重影响到地图的精度，属性数据空间顺序和空间联系分析结果的准确性；另一方面严重的影响到GIS的应用效果。
地图精度的基本要求
地图制图的基本要求
地图投影是地图数学基础中最为重要的一点，一幅地图如果没有地图投影或者地图投影不准确，那它就不是完整的地图。
进行空间操作和空间分析的基本前提
空间分析：
单层操作、多层操作、点模型分析、网络分析、空
间建模、趋势面分析、栅格分析。
GIS中的地图投影
由于GIS大多是以地图的方式来显示地理信息的，而地图是平面，地理信息则是在地球椭球面上的，因此，地图投影在GIS中是不可缺少的。
当GIS的地理数据库中的地理数据是以地理坐标（即经纬度）来存贮时，对于输入的以地图为数据源的空间数据必须通过投影变换来转换成地理坐标，然后才能装入到GIS的地理数据库中，而当需要显示或输出地图时，则必须将地理数据库中的地理坐标表示的空间数据通过投影变换成指定投影的平面坐标。
GIS中，地理数据的显示可根据用户的需要而指定投影方式，但当所显示的地图与国家基本地图系列的比例尺一致时，一般采用国家基本系列地图所用的投影。
地图投影对地理信息系统的影响已渗透到：
数据获取（数据源地图的投影）、
数据标准化预处理（按照某一参照系数字化）、
数据存储（要求统一的坐标基础）、
数据处理（涉及投影变换）、
数据应用（检索、查询、空间分析要依据数据库投影）
数据输出（要有相应投影的地图）
……等等地理信息系统建设的各个方面。
GIS与地图投影的关系
地图投影对GIS的影响渗透在GIS建设的各个阶段和各个方面。
地图表面是个不可展面，当它展开为平面时必然产生破裂或褶皱。
“地图投影”就是要解决球面与平面不可展的矛盾。
地图投影是按照一定的数学法则，将地球椭球面（或球面）上的经纬线转绘到平面上的方法。
它的实质是将地球表面的地理坐标变换为平面坐标，建立两者的函数关系。
然后，根据函数关系式计算的数据，在平面上展绘经纬线网。
再依据经纬线网所提供的地理坐标将地面上的点一一转绘到平面上去，进而画出由点、线、面符号表示的各种地形地物，从而完成地图的编绘。
地图投影是保证地图精确度的重要的数学基础之一。
地图投影的变形可分为长度变形、面积变形和角度变形。
每一幅地图都有不同程度的变形。
在同一幅地图上，不同地区的变形情况也不相同。
地图表示的范围越大，变形越大。
因此，大范围的小比例尺地图只能供了解地表现象的分布概况使用，而不能用于精确的量测和计算。
等角与等积是互相抵触的，等角以牺牲等面积为代价；同样，等积以牺牲等角为前提；任意投影虽然存在各种变形，但各种变形比较均匀。
几种常用地图投影
投影名称
使用范围
经纬线形状
变形分布规律
经线
纬线
正轴方位投影
南北半球图、两极地区图
从极点向外放射的直线束。
以极点为中心的同心圆。
极点没有任何变形，离极点愈远变形愈大;从极点到图上任一点的方位角没有变形
横轴方位投影
东西半球图、非洲地图
中央经线为直线，其他经线为与中央经线对称的曲线。
赤道为直线,其他纬线为赤道对称的曲线。
切于赤道的点没有变形,
离切点愈远变形愈大;
从切点到图上任何一点的方位角与实地相符。
斜轴方位投影
水、陆半球
中央经线为直线，其他经线为与中央经线对称的曲线。
纬线为凹向极地的曲线
切点没有变形,离切点愈
远变形愈大;从切点到图
上任何一点的方位角与实地相符。
圆柱投影
东南亚地/时区图、航海/空图
平行直线，间隔相等
平行直线
离切点愈远变形愈大。
等差分纬线多圆锥投影
世界地图
（我国地图工作者于63年创制）
中央经线长度比为1,其他经线长度比向东西两侧增大,赤道上的经线间隔不等。
赤道长度比小于1,两极投影为圆弧,长度为赤道的1/2,中央经线上的纬线间隔从赤道向南北两侧增大.
我国位于角度变形不大的中央附近，形状变形较小;全图变形不大;太平洋保持完整
地图投影
§1地球体
1.1地球的自然表面
浩瀚宇宙之中:
地球是一个表面光滑、蓝色美丽的正球体。
机舱窗口俯视大地:
地表是一个有些微起伏、极其复杂的表面。
——珠穆朗玛峰与太平洋的马里亚纳海沟之间高差近20km。
不规则曲面
平均半径6371km
珠峰8848.13m，马里亚那海沟11022m，海洋71%
地球自然表面
不规则曲面
平均半径6371km
珠峰8848.13m，马里亚那海沟11022m，海洋71%
事实是：
地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。
通过天文大地测量、地球重力测量、卫星大地测量等精密测量，发现：
地球模型（WDM94）
WDM94模型描述的地球形状
地球自然表面、地球体
由于地质变迁和地壳运动以及各种外力的作用，地球表面起伏不平，很不规则，有高山、丘陵、平原、又有江河湖泊和海洋。
这种自然形成的地表形状称为地球自然表面。
或者说地球自然表面是地球固体和液体部分相对于大气的分界面。
由地球自然表面所包围的形体叫地球体。
它们很难用简单的数学模型来定义和表达，不适合数字建模。
由于地球的自然表面凸凹不平，形态极为复杂，显然不能作为测量与制图的基准面。
应该寻求一种与地球自然表面非常接近的规则曲面，来代替这种不规则的曲面。
地球表面的72％被处于流体状态的海水所覆盖，因此可假定海洋的水体，只受重力作用，无潮汐、风浪影响，处在完全静止和平衡的状态，将该海洋的表面延伸到大陆的下面并处处保持着与地球重力方向正交这一特征的整个连续封闭曲面是一个水准面，这一特定的水准面称为大地水准面。
在大地测量中要研究的地球形状和大小就是指研究大地体的形状和大小。
以大地水准面为基准，就可方便地利用水准仪完成地球自然表面上任一点的高程测量。
1.2地球的物理表面
水准面
重力的方向线称为铅垂线。
铅垂线是测量工作的基准线。
1.2地球的物理表面
当海洋静止时，自由水面与该面上各点的重力方向（铅垂线）成正交，这个面叫水准面。
任何自由静止的水面都是水准面，有无数个。
大地水准面：
在众多的水准面中，有一个与静止的平均海水面相重合，并假想其穿过大陆、岛屿形成一个闭合曲面，这就是大地水准面。
假定海水静止不动,将海水面无限延伸,穿出大陆包围地球的球体。
它实际是一个起伏不平的重力等位面——地球物理表面。
大地体（Geoid）：
大地水准面包围的形体。
大地水准面是由静止海水面并向大陆延伸所形成的不规则的封闭曲面。
它是重力等位面，即物体沿该面运动时，重力不做功（如水在这个面上是不会流动的）。
大地水准面是描述地球形状的一个重要物理参考面，也是海拔高程系统的起算面。
大地水准面的确定是通过确定它与参考椭球面的间距——大地水准面差距（对于似大地水准面而言，则称为高程异常）来实现的。
大地水准面和海拔高程等参数和概念在客观世界中无处不在，在国民经济建设中起着重要的作用。
大地水准面是大地测量基准之一，确定大地水准面是国家基础测绘中的一项重要工程。
它将几何大地测量与物理大地测量科学地结合起来，使人们在确定空间几何位置的同时，还能获得海拔高度和地球引力场关系等重要信息。
大地水准面的形状反映了地球内部物质结构、密度和分布等信息，对海洋学、地震学、地球物理学、地质勘探、石油勘探等相关地球科学领域研究和应用具有重要作用。
水准面的特点：
水准面上任意一点的铅垂线都垂直于该点的曲面。
处处与铅垂线垂直。
与水准面相切的平面，称为水平面。
与铅垂线正交的直线称为水平线。
大地水准面的确定是通过确定它与参考椭球面的间距——大地水准面差距（对于似大地水准面而言，则称为高程异常）来实现的。
大地水准面是大地测量基准之一，确定大地水准面是国家基础测绘中的一项重要工程。
它将几何大地测量与物理大地测量科学地结合起来，使人们在确定空间几何位置的同时，还能获得海拔高度和地球引力场关系等重要信息。
大地水准面的形状反映了地球内部物质结构、密度和分布等信息，对海洋学、地震学、地球物理学、地质勘探、石油勘探等相关地球科学领域研究和应用具有重要作用。
地球模型
大地水准面（meansealevel）
液体受重力而形成的静止表面称为水准面。
同一水准面上的重力位处处相等；
同一水准面上任一点的铅垂线都与水准面相正交。
与平静的平均海水面相重合、并延伸通过陆地而形成的封闭曲面称为大地水准面。
由于地表起伏以及地球内质量分布不均匀，所以大地水准面是个复杂的曲面。
水准面和铅垂线是野外观测的基准面和基准线。
大地水准面的意义
1.地球形体的一级逼近__大地体：
对地球形状的很好近似，其面上高出与面下缺少的相当。
2.起伏波动在制图学中可忽略：
对大地测量和地球物理学有研究价值，但在制图业务中，均把地球当作正球体。
3.实质是重力等位面：
可使用仪器测得海拔高程（某点到大地水准面的高度）。
1.由略微不规则的大地水准面包围的大地体，是地球形状的很好近似。
它不仅表达了大部分自然表面的形状，而且大地水准面以上多出的质量几乎就是陆地下缺少的质量。
2.大地水准面包围的大地体表面存在一定的起伏波动，这对大地测量或地球物理学均具有研究价值，可应用重力场理论来进行研究。
制图学中则可忽略不计，因为对所有制图业务，均可把地球当作正球体看待。
3.由于大地水准面是实际重力等位面，因此人们才可能通过测量仪器，获得相对于大地水准面的海拔高度。
1.3地球体的数学表面（椭球体表面）
大地水准面仍然不是一个规则的曲面，而是一个起伏不平的重力等位面。
因为重力线方向并非恒指向地心，导致处处与重力线方向正交的大地水准面也不是一个规则的曲面。
为了测量成果的计算和制图工作的需要，选用一个同大地体相近，可用数学方法来表达的旋转椭球体来代替地球。
这个旋转椭球是一个椭球绕其短轴旋转而成，其表面成为旋转椭球面。
椭圆NWSE绕其短轴NS旋转而成的旋转椭球体。
1.3地球的数学表面（椭球体表面）
在测量和制图中就用旋转椭球体来代替大地球体，这个旋转椭球体通常称为地球椭球体，简称椭球体。
它是一个规则的数学表面，所以人们视其为地球体的数学表面，也是对地球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面。
旋转椭球体（ellipse）
由于大地水准面是不规则曲面，无法准确描述和计算。
也难以在其面上处理测量成果。
其他数学模型：
为解决特定的大地测量问题而提出。
如
类地形面、准大地水准面、静态水平衡椭球体等。
椭球体三要素:
长轴a（赤道半径）、短轴b（极半径）和椭球的扁率f
对a，b，f的具体测定就是近代大地测量的一项重要工作。
第一偏心率e2=（a2-b2）/a2
第二偏心率e`2=（a2-b2）/b2
我国最初于1954年将前苏联1942年坐标系统经过联测、平差引伸到我国，建立了1954年北京坐标系，该坐标系的原点在前苏联西部的普尔科夫，采用克拉索夫斯基椭球元素，该椭球面与我国大地水准面不能很好地符合，产生误差较大。
在积累了30年测绘资料的基础上，我国采用了国际大地测量协会推荐的1975年国际椭球，通过全国天文大地网整体平差建立了我国的大地坐标系，其参考椭球的基本元素：
长半轴长a=6378140m，短半轴长b=6356755m，扁率c=（a-b）/a=1：
298.257，椭球短轴平行于由地球质心指向1968.0地极原点方向，首子午面平行于格林尼治天文台的子午面，国家大地原点设在陕西省泾阳县，定位所决定的椭球面与我国大地水准面符合较好。
地球椭球体的定义
对地球形状a，b，f测定后，还必须确定大地水准面与椭球体面的相对关系。
即确定与局部地区大地水准面符合最好的一个地球椭球体——参考椭球体，这项工作就是参考椭球体定位。
通过数学方法将地球椭球体摆到与大地水准面最贴近的位置上，并求出两者各点间的偏差，从数学上给出对地球形状的三级逼近——参考椭球体。
椭球定位指确定椭球中心的位置，分局部定位和地心定位。
局部定位要求在一定范围内椭球面与大地水准面有最佳的符合，而对椭球的中心位置无特殊要求；
地心定位要求在全球范围内椭球面与大地水准面有最佳的符合，同时要求椭球中心与地球质心一致或最为接近。
椭球定向是指确定椭球旋转轴的方向，不论是局部定位还是地心定位，都应满足两个平行条件：
①椭球短轴平行于地球自转轴；
②大地起始子午面平行于天文起始子午面。
这两个平行条件是人为规定的,其目的在于简化大地坐标、大地方位角同天文坐标、天文方位角之间的换算。
具有确定参数（长半径a和扁率α），经过局部定位和定向，同某一地区大地水准面最佳拟合的地球椭球，叫做参考椭球。
除满足地心定位和双平行条件外，在确定椭球参数时能使它在全球范围内与大地体最密合的地球椭球，叫总地球椭球。
局部地球的形状－参考椭球体
在天文大地测量中首先选取一个对一个国家比较适中的大地测量原点，并从此点出发
通过事先布设的三角网点进行几何测量和大地经纬度测量，再以测量结果将事先设置
的地球椭球面位置调整到最理想的位置上。
这种定位相对于全球而言只能是局部定位
，所得到的椭球体叫做参考椭球体
不同的参考椭球体，
其长短轴参数不一样
本地基准面用于局部地区
更大比例尺（1：
20，000）
由于国际上在推求年代、方法及测定的地区不同，故地球椭球体的元素值有很多种。
世界上应用的椭球体很多，ENVI软件提供了35种椭球体。
由于不同地区的变形规律各有特点，因此各个国家根据自己的具体位置和采用的投影选择适合自己的椭球体。
为提高制图精度，定义不同的椭球体是必需的。
为了更好的了解地球表面特征，特别是特殊的不规则的变化。
地球已经被测量过很多次。
多次的大地测量产生了代表地球的许多椭球体。
选择一个椭球体适合一个国家和一个特殊的区域，一种椭球体最好的适合于一个地区，不可能同样的适合于另外一个地区。
例如北
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