《线性代数》课后习题答案陈维新.docx
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《线性代数》课后习题答案陈维新
第一章行列式
习题1.1
1.证明：
（1）首先证明
是数域。
因为
，所以
中至少含有两个复数。
任给两个复数
，我们有
。
因为
是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以
。
如果
，则必有
不同时为零，从而
。
又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以
。
综上所述，我们有
是数域。
（2）类似可证明
是数域，这儿
是一个素数。
（3）下面证明：
若
为互异素数，则
。
（反证法）如果
，则
，从而有
。
由于上式左端是有理数，而
是无理数，所以必有
。
所以有
或
。
如果
，则
，这与
是互异素数矛盾。
如果
，则有
，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。
所以假设不成立，从而有
。
同样可得
。
（4）因为有无数个互异的素数，所以由（3）可知在
和
之间存在无穷多个不同的数域。
2.解：
（1）
是数域，证明略（与上面类似）。
（2）
就是所有的实部和虚部都为有理数的复数所组成的集合。
而
复数域。
（3）
不是数域，这是因为他关于除法不封闭。
例如
。
3.证明：
（1）因为
都是数域，所以
，从而
。
故
含有两个以上的复数。
任给三个数
，则有
且
。
因为
是数域，所以有
且
。
所以
。
所以
是数域。
（2）
一般不是数域。
例如
，我们有
，但是
。
习题1.2
2.解：
项
的符号为
习题1.3
1．证明：
根据行列式的定义
=
=0。
所以上式中（-1）的个数和（+1）的个数一样多，（-1）是由奇排列产生的，而（+1）是由偶排列产生的。
同时根据行列式的定义这里包括了所有的
阶排列，故可以得到全体
阶排列中奇排列的个数与偶排列的个数一样多，各占一半。
2．解
（1）
=
；
（2）
；
（3）
；
（4）
=
。
（5）
。
3．解：
（1）
。
（2）左端
=
=右端。
（3）
。
（4）原式（先依次
）=。
。
。
=
。
（5）原式（先依次
）=。
。
。
=
。
4．解：
设展开后的正项个数为
。
则由行列式的定义有
。
又因为
（利用
）
（下三角行列式）
。
所以有
。
5．证明：
（1）左端
=右端。
（2）利用性质5展开。
6．解：
（3）与上面3（3）类似可得。
7．解：
利用行列式的初等变换及性质5。
8．解：
。
9．证明：
设原行列式=D。
则对D进行依次如下变换后
所得的行列式D′第一列由题设中所给的5个数字构成。
从而由行列式的定义可知D′可被23整除。
又由行列式的性质知D′
。
因为23是素数，且
不可能被23整除，所以D可以被23整除。
习题1.4
1．解：
（1）
=
；
（2）
=
；
（3）方法一
+
=
；
方法二逐次均按第2行展开可得同样结果,具体解法可参见下例。
（4）逐次按第2行展开
=
=
=
；
（5）
=
=
；
（6）
=
=
；
（7）换行后可得到范德蒙行列式；
（8）先把第一行加到第三行，再提取第三行的公因式，换行后可得到范德蒙行列式。
2．解：
（1）
+
=
；
（2）
=1+
；（此处有笔误）
（3）
=
，
据此当
时，原式=
；当
时，原式=
。
3．解：
（1）将
按第n列展开得:
=
+
=
。
（2）略（参考课本例中的叙述）。
4．解：
（1）交换行、列后得到三角块行列式，然后利用例1.4.6的结果；或者直接利用Laplace定理。
（2）左端先做变换
，再做变换
，然后利用P30推论。
5．解：
（1）
=
=
；
（2）
=
；
（3）利用初等变换。
附加：
P30推论的证明：
证
（1）将第r+1列与r列交换,由将新的r列与r-1列交换,如此继续,直到将第r+1列交换到第1列,这样共交换r次;再将第r+2列如上方法交换至第2列,也交换了r次,如此继续直到将r+s列交换至第s列.于是交换了rs次后得到
=
将所得行列式的第r+1行依次与第r行,r-1行,……,第1行交换.交换r 次后,r+1行交换至第1行.类似地交换r次后将r+2行交换至第2行,……,交换r次后将第r+s行交换至第s行,于是交换rs次后得:
（2）,（3）思路与
（1）类似,证明过程略去。
习题1.5
2．解：
计算得
=
根据克拉默法则,当
时,即
时,原方程组只有零解。
习题1.6
1．证明：
方法一归化
=
=右端.
方法二归纳法
当
时,
=
结论成立.
假设
时结论成立,即有
则当
时,将
的第n列看成1+0,1+0,……,1+
故
可表示为2个行列式之和,而第2个行列式按第n列展开可算出为
从而
=
+
而
=
.
所以
=
+
=
+
=
=右端.
方法三递推
由证明
（二）可知
与
存在以下递推关系:
=
+
所以
=
+
=
=
=
=右端.
方法四加边法
=
=
=右端。
2．证明：
（1）注意当把行列式按第n列展开时，得到的递推公式中有三项，故归纳法第一步应验证n=1，2时均成立。
而归纳法第二步应假设当
时成立，去证明当n=k时成立。
3．解：
（2）先把除第一列外的所有列都加到第一列，然后提出第一列的公因子；再依次
；然后按第一列展开，再依次
；最后按最后一列展开。
4．解：
通过倍加行变换易知f（x）的次数最大为1；又因为如果
全取零，则有f（x）=0。
所以选（D）。
5．看自己或别人的作业。
6．解：
方法一：
利用课本中例1.4.3的方法。
方法二：
设
。
则有f（x）中
的系数为
。
又因为
（范德蒙行列式），所以f（x）中
的系数为。
。
。
所以可得
。
第二章线性方程组
习题2.1
2．证明.因
说明
不全为零,故当某个
通过适当的行互换,可使得
位于左上角,用
来乘第一行,然后将其余行减去第一行的适当倍数,矩阵A可以化为:
由于
此时必有
故可以对
重复对A的讨论,此时A可经初等行变换化为
然后再将第
行的
倍加到第
行（
）,再将第
行的
倍加到第
行（
）,这样继续下去,一直到将第2行的
倍加到第1行,此时A就化为
故所证结论成立。
3．证明：
以行互换
为例:
列互换可以同样证明.
若
这相当于A中交换第i行和第j行,所以结论成立。
习题2.2
1．解：
中一定存在不为零的
阶子式,否则秩
与题设秩（
）＝
矛盾.由秩（
）＝
知，
中至少存在一个
阶子式不为零,这表明
中的
阶子式只要有一个不为零即可,其余可以等于零,也可以不等于零.
中一定不存在不为零的
阶子式,否则
的秩至少是
这也与题设秩（
）＝
矛盾。
2．提示：
利用矩阵的行秩和向量的极大无关组证明。
3．略。
4．思路：
可将矩阵写成一个列向量和一个行向量的乘积，从而由秩
；进而因为矩阵不等于零，所以秩〉0。
5．略。
习题2.3
略。
习题2.4
2．证明：
（Ⅰ）的增广矩阵为
=
因为系数矩阵的秩不超过增广矩阵的秩,所以有秩（
）
秩（
）.
观察可知,矩阵
其实就是在增广矩阵
下面加了一行,所以秩（
）
秩（
）.由题意知,秩（
）=秩（
）,据此可得秩（
）
秩（
）.综上知秩（
）=秩（
）,故（Ⅰ）有解。
3．解：
将增广矩阵只用初等行变换化为阶梯形矩阵.
当
时,秩（
）
秩（
）,所以线性方程组无解;
当
时,秩（
）=秩（
）<未知量个数,所以线性方程组有无穷多解.
原方程组同解于
故通解为
其中
为任意常数。
4．证明：
该线性方程组的增广矩阵
=
由题意
知秩（
）=
.但是系数矩阵
是一个
的矩阵,所以秩（
）
<秩（
）.据此秩（
）
秩（
）,所以该线性方程组无解。
第三章矩阵
习题3.1
4．解：
（1）由矩阵乘法运可得：
；
。
（2）与D乘法可换的矩阵
满足
。
故
与
的元素对应相等，利用（１）的结果，有
，从而
。
由于
（
），可得：
当
时，
，即
为对角矩阵。
5．证明：
（1）数学归纳法：
当
时，计算得
，故结论成立．
假设当
时，结论成立，即有
，
则当
时，
．
因
所以
，即当
时，结果成立．由归纳法原理知，对任意大于2得正整数
有
．
（2）当
时，结果显然成立．当
时,直接计算得
.
假设当
时，结果成立，即
．我们要证明当
时，结果也成立，即可完成证明．
第一种情况：
k为奇数，则
．第二种情况：
k为偶数，则
．
综上：
即当
时，结论成立．
6．解：
（1）先计算出
时的结果。
然后归纳出应该有
，接下来用数学归纳法证明这一归纳出的结果。
当
时，结论显然成立．
假设当
时，结论成立，即
．
则当
时，
结论成立．
7．记住结论。
8．证明：
因为
与所有n阶方阵乘法可换，故与
乘法可换,利用第7题结果有
，即
．设
，则
即
为数量矩阵．
10．证明：
设
，
，则
tr
同理可得tr
由于
，可得tr
tr
．
11．证明：
假如存在n阶方阵满足
，则
tr
tr
tr
．
由于
，可得tr
tr
，这与10题所得结果矛盾．
所以假设不成立．即不存在n阶方阵
，
满足
．
15．证明：
因
，
都是对称矩阵,故
从而
为对称矩阵
.
16．证明：
设
，则
．
由
的主对角线上元素为零
由
为实数知
.
证法二：
利用二次型。
习题3.2
4．思路：
注意到矩阵多项式的运算和一般多项式的运算一样就可以了。
证明：
计算
由题意可知
所以
.根据定理3.2.1的推论可知
可逆且其逆为
.
5．证明：
计算
=
=
计算
据此
根据定理3.2.1的推论可知
可逆且其逆为
.
6．证明：
因为
所以有
.由题意可知
所以可在等式两边同乘上
由此可得
整理得
根据定理3.2.1的推论可知
可逆且
.
7．证明：
（1）由题意
可得
根据定理3.2.1的推论可知
可逆并且
.
（2）由题意
可得
而这个等式可化为
即有
同样根据定理3.2.1的推论可知
可逆并且
.
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