名师讲解小学列方程解应用题.docx
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名师讲解小学列方程解应用题
【重点难点提要】
重点:
1.理解并掌握列方程解应用题的一般步骤,学会按步骤设未知数列方程求解;
2.初步学会分析应用题中数量间相等关系的方法,知道常见的数量关系式(如路程=速度
时间等)和计算公式(如:
三角形的面积=底
高
2等)都可以作等量关系式列方程求解。
难点:
1.学会寻找应用题中数量间相等关系的方法,能正确地找出应用题中的等量关系列方程求解;
2.初步学会恰当地设未知数列方程;
3.初步学会根据应用题中数量关系的具体情况,灵活选用算术解法或方程解法解答应用题。
【知识方法归纳】
1.列方程解比较容易的两步应用题
(1)列方程解应用题的步骤
①弄清题意,找出未知数并用x表示;
②找出应用题中数量间的相等关系,列方程;
③解方程;
④检查,写出答案。
(2)列方程解应用题的关键
弄清题意后,找出应用题中数量间的相等关系,恰当地设未知数,列出方程。
(3)运用一般的数量关系列方程解应用题
①列方程解加、减法应用题。
如:
甲乙两人年龄的和为29岁,已知甲比乙小3岁,甲、乙两人各多少岁?
数量间的等量关系:
甲的年龄+乙的年龄=甲乙二人的年龄和
解:
设甲的年龄是x岁,则乙的年龄为:
(x+3)岁。
x+(x+3)=29
x+x+3=29
2x=29-3
x=26
2
x=13……甲的年龄
13+3=16(岁)……乙的年龄
答:
甲的年龄是13岁,乙的年龄是16岁。
②列方程解乘、除法应用题。
如:
学校图书馆买来故事书240本,相当于科技书的3倍,买来科技书多少本?
科技书的本数
3=故事书的本数
解:
设买来科技书x本
3x=240
x=80
答:
买来科技书80本。
(4)用计算公式、性质、数位及计数单位等做数量间的等量关系,列方程解应用题
①一长方形的周长是240米,长是宽的1.4倍,求长方形的面积。
(长+宽)
2=周长
解:
设宽是x米,则长是(1.4x)米。
(1.4x+x)
2=240
2.4x=240
2
x=120
2.4
x=50……长方形的宽
50
1.4=70(米)……长方形的长
70
50=3500(平方米)
答:
长方形的面积是3500平方米。
②三角形ABC中,角A是角B的2倍,角A与角B的和比角C小18°。
求三个角的度数。
这是一个什么三角形?
角A+角B+角C=180度
解:
设角B是x度,
则角A是(2x)度,角C是[(2x+x)+18]度。
2x+x+[(2x+x)+18]=180
6x+18=180
6x=180-18
x=162
6
x=27……角B的度数
27
2=54(度)……角A的度数
54+27+18=99(度)……角C的度数
答:
角A是54度,角B是27度,角C是99度。
因为:
角B<角A<角C,90°<角C<180°,所以这个三角形是钝角三角形。
③一个两位数,十位数字与个位数字的和是6。
若以原数减去7,十位数与个位数字相同,求原数。
十位上的数字个位上的数字
解:
设原数的个位数字为x。
则原数十位上的数字为:
6-x;若从原数中减去7,则个位上的数字变为:
10+x-7、十位上的数字变为:
6-x-1。
6-x-1=10+x-7
5-x=3+x
2x=2
x=1……原数的个位数字
6-1=5……原数的十位上的数
因此,原数是:
51。
2.列方程解二、三步计算的应用题
广水电影院原有座位32排,平均每排坐38人;扩建后增加到40排,可比原来多坐584人。
扩建后平均每排可以坐多少人?
解:
设扩建后平均每排坐x人。
x
40-38
32=584
40x-1216=584
40x=584+1216
x=1800
40
x=45
答:
扩建后平均每排可以坐45人。
3.列方程解含有两个未知数的应用题
某班学生合买一种纪念品,每人出1元,多4元6角;每人出9角,就差5角。
求这件纪念品多少钱?
这个班共有多少名学生?
解:
设这个班共有x名学生
x-4.6=9
10
x+5
10
x-4.6=0.9x+0.5
0.1x=5.1
x=51……这个班学生人数
51-4.6=46.4(元)……纪念品的单价
答:
这件纪念品46.4元;这个班共有学生51名。
4.用方程解和用算术法解应用题的比较
用方程解应用题和用算术法解应用题有什么区别,它们之间的主要区别在于思路不同。
用方程解应用题,要设未知数x,并且把未知数x与已知数放在一起,分析应用题所叙述的数量关系,再根据数量关系和方程的意义,列出方程式。
用算术法解应用题,要把已知数集中起来,加以分析,找出已知数与未知数之间的联系,列出算式表示未知数。
例如:
小华身高160厘米,比小兰高15厘米。
小兰的身高是多少厘米?
用方程解:
解:
设小兰的身高x厘米
160-x=15
x=160-15
x=145
或:
x+15=160
x=160-15
x=145
用算术法解:
160-15=145
通过比较,同学们可以看出,这两种方法的主要区别是未知数参加不参加到列式之中。
列算术式,是根据题中的条件,由已知推出未知,用已知数之间的关系来表示未知数。
未知数是运算的结果,已知与未知数用等号隔开。
列方程式,是根据题目叙述的顺序,未知数参加列式,未知数与已知数用运算符号相连接,从整体上反映数量关系的各个方面,所以,解题方式灵活多样,适用面广,用来解答那些反叙的问题更显得方便。
【典型范例剖析】
例1甲乙两桶油,甲桶里有油45千克,乙桶里有油24千克,问从甲桶里倒多少千克的油到乙桶里,才能使甲桶里的油的重量是乙桶里的1.5倍?
分析:
根据变动以后“甲桶里油的重量是乙桶的1.5倍”,可以列出等量关系式:
现在乙桶里油的重量
1.5=现在甲桶里油的重量
设从甲桶里倒x千克的油到乙桶里,那么,现在甲桶里的油是(45-x)千克,现在乙桶里的油是(24+x)千克。
解:
设从甲桶里倒x千克油到乙桶里。
(24+x)
1.5=45-x
36+1.5x=45-x
36+1.5x+x=45
36+2.5x=45
x=(45-36)
2.5
x=3.6
答:
从甲桶里倒3.6千克的油到乙桶里,才能使甲桶里油的重量是乙桶的5倍。
例2一位三位数,个位上的数字是5,如果把个位上的数字移到百位上,原百位上的数字移到十位上,原十位上的数字移到个位上,那么所成的新数比原数小108,原数是多少?
分析:
原三位数中只知道个位数字,百位和十位上的数字都不知道。
如果设原三位数中的百位数字与十位数字拼成的二位数为x,则原三位数可表示为“10x+5”,那么新数就可以表示为“5
100+x”。
解:
设原三位数中的百位数字与十位数字拼成的二位数为x,可得方程:
10x+5=5
100+x+108
10x-x=500+108-5
9x=603
x=67
10
67+5=675……原三位数
答:
原三位数是675。
例3某校附小举行了两次数学竞赛,第一次及格人数是不及格人数的3倍还多4人,第二次及格人数增加5人,正好是不及格人数的6倍,问参加竞赛的有多少人?
分析:
本题所求的参赛人数包括了及格的和不及格的人数,而第二次的参赛人数与第一次参赛人数有直接关系的条件,总人数又不变。
所以我们设第一次参赛的不及格人数为x人,那么第一次参赛及格的人数可以用“(3x+4)”人来表示,总数是(4x+4)人,第二次参赛及格的人数是(3x+4+5)人,不及格的人数是(x-5)人,根据“第二次及格人数是不及格人数的6倍”,这一等量关系,可列方程。
解:
设第一次参赛不及格的人数为x,依据题意可得方程:
3x+4+5=(x-5)
6
3x+9=6x-30
3x=39
x=13
则4x+4=13
4+4=56……参加竞赛的人数
答:
参加竞赛的有56人。
【易错题解举例】
例1吉阳村有粮食作物84公顷,比经济作物的4倍多2公顷,经济作物有多少公顷?
错误:
设经济作物有x公顷
x=(84-2)÷4
x=82÷4
x=20.5
答:
经济作物有20.5公顷。
分析:
这题列出的式子是一个算术式,不是方程。
错误在于没有弄清方程和算术式的区别。
算术式是由已知数和运算符号组成的,用来表示未知数,如本题的“x=(84-2)÷4”;而在方程里,未知数则是参加运算的,本题中的“x”则没有参加运算。
改正:
设经济作物有x公顷
4x+2=84(或4x=84-2)
4x=82
x=20.5
答:
经济作物有20.5公顷。
例2食堂运来一批煤,原计划每天烧210千克,可以烧24天。
改进炉灶后这批煤可烧28天。
问:
改进炉灶后平均每天比原计划节约多少千克?
错误:
设每天比原计划节约x千克
28x=210
24
x=180
210-180=30(千克)
答:
改进炉灶后平均每天比原计划节约30千克。
分析:
题中所设未知数x与方程式中的x所表示的意义不同。
题目中的方程式的“x”所表示的是“改进炉灶后平均每天烧煤数”,并不表示“节约”的数。
本题可以采用“间接设未知数法”或“直接设未知数法”。
改正:
(1)间接设未知数
解:
设改进炉灶后每天烧煤x千克,则每天比原计划节约(210-x)千克。
28x=210
24
28x=5040
x=180
210-x=210-180=30
(2)直接设未知数
解:
设改进炉灶后平均每天比原计划节约x千克。
(210-x)
28=210
24
210-x=180
x=210-180
x=30
答:
改进炉灶后平均每天比原计划节约30千克。
例3王兰有64张画片,雷江又送给她12张,这时王兰和雷江的画片数相等。
雷江原有画片多少张?
(用方程解)
错误:
设雷江原有画片x张
x-12=64
x=76
分析:
雷江送12张画片给王兰后,两人的画片数才相等。
也就是说,雷江减少12张,王兰增加12张之后,他们的画片数才同样多。
此解法把等量关系弄错了,误认为雷江的画片减少12张后与王兰原有的画片数相等。
改正:
设雷江原有画片x张。
x-12=64+12
x=76+12
x=88
答:
雷江原有画片88张。
【解题技巧指点】
1.列方程解应用题时,往往列出来的是一个算术式,误以为是方程。
如:
广水市吉阳村有粮食作物84公顷,比经济作物的4倍多2公顷,经济作物有多少公顷?
解:
设经济作物有x公顷
x=(84-2)
4
x=82
4
x=20.5
答:
经济作物有20.5公顷。
本题中的“x=(84-2)
4”是一个算术式。
出现上述错误,原因在于没有弄清方程式和算术式的区别。
算术式是由已知数和运算符号组成的,用来表示未知数;而在方程里,未知数则是参加运算的。
本题的方程应该列为:
4x+2=84或4x=84-2或84-4x=2
2.按照题意,恰当地设未知数。
如:
第一教工食堂运来一批煤,原计划每天烧煤210千克,可烧24天,改进炉灶后这批煤可烧28天。
问:
改进炉灶后平均每天比原计划节约多少千克?
设未知数时一般有两种方法:
一种是直接设未知数为x,题目中问什么,就设什么为x;另一种是间接设未知数为x,再通过这个量与所求问题的关系,求出应用题中要求的未知量。
如果按直接设未知数为x的方法解答,那么本题中所列方程应该是:
解:
设每天比原计划节约x千克煤
(210-x)
28=210
24
210-x=180
x=210-180
x=30
如果采用间接设未知数x的方法:
解:
设改进炉灶后每天烧煤x千克,则每天比原计划节约(210-x)千克。
28x=210
24
x=180
210-180=30(千克)
答:
每天比原计划节约30千克。
【课本难题提示】
[P112-113练习二十七]
12.分析:
被除数是一个数的3倍,为3x,被除数等于商乘以除数加上余数。
3x=4
5+4这个方程是正确的,这个数是8。
13.分析:
等边三角形的每个角是60°,因此:
∠2=60°
2=30°,∠4=60°
2=30°,∠2+∠4=x°=180°。
x是多少就很容易求出来了。
30+30+x=180x=120
[P116-117练习二十八]
14.2x+3
3=17x=4
[P119-120练习二十九]
13.分析:
甲乙两人所走路程的和是860-300。
37
7+7x=860-300x=43
思考题:
分析:
从第一个条件可以推断:
小明所跑的路程的2倍比爸爸的路程长,从第二条件可以推断:
妈妈跑的路程的2倍比爸爸跑的路程短。
由此可以推断:
小明跑的路程的2倍比妈妈跑的路程的2倍长,所以,小明比妈妈跑的路程长。
[P122-124练习三十]
16.设每本《故事大王》x元
(1.6+x)
4=20-7.6x=1.5
17.设杏树x棵,则桃树为3x+20棵。
x+3x+20=340x=803
80+20=260(棵)
18.乙车每小时行x千米,则甲车每小时行2x千米。
(x+2x)
4=480x=40
[P126-127练习三十一]
1.
(1)×
(2)×(3)√
2.S=ah20
15=300(平方厘米)
S=ah2.3x
2=2.07x=1.8
9.第一个x表示甲数,第二个x表示乙数,第三个x表示甲数,都符合题意。
10.设宽为x厘米,则(2x+x)=30
2x=5,则面积为:
5
2
5=50
思考题:
分析:
一共取了x次,乒乓球比羽毛球多取了6个。
5x-3x=6x=33
5=15(个)
【同步达纲练习】
1.填空
(1)______________叫方程;____________叫解方程;____________叫方程的解。
(2)用含有字母的式子表示。
①甲比乙大a,甲是x,乙是______;如果乙是x,那么甲是_______。
②与a相邻的两个整数是______、______;它们的和是_______。
③长方形的周长是x,长是a,宽是______,正方形的周长是x,边长是______。
④甲骑自行车每小时行x千米,5小时行______千米,a小时行______千米,行24千米要______小时,行s千米要_______小时。
⑤食堂买来200千克的煤,烧了a天,还剩b千克,平均每天烧煤______千克。
⑥x的一半与y的3倍的差是_______。
⑦m与n的和的3.5倍是_______。
⑧3与a的7.43倍的差是_______。
(3)先写出应用题中数量间的相等关系,再列方程。
①粮店运来大米和面粉480包,大米的包数是面粉的3倍,运来大米和面粉各多少包?
()()=()______
②阿姨买4块肥皂、2条毛巾共用去2.8元,已知肥皂每块0.26元,毛巾每条多少元?
()()=()______
③爷爷今年71岁,比小华年龄的6倍还多5岁,小华今年几岁?
()()=()______
④甲乙两站相距255千米,一列客车从甲站开出,一列货车从乙站开出,2.5小时后相遇。
客车每小时行48千米,货车每小时行多少千米?
()()=()______
2.选择(把正确答案的序号填在横线上)
(1)下面各式中_____是方程。
①8x+7<15②7x-3x③41y=89
④6+x=12⑤a+b=b+a
(2)83-12x=23,在0、1、2、3、4、5、6、7各数中,______是方程的解。
①0②1③2④4⑤4⑥5⑦6⑧7
(3)4x-13.5=85.5,x=_____是方程的解。
①24.75②18
3.化简
(1)(5x+7)-(4x+0.18)
(2)6x-28-2.5x+30.5
(3)6x
(3+0.8)(4)8a-(5a+8)
4.解方程
(1)3
(x+2)-96=0
(2)0.3
7+4x=12.5
(3)(x+3)
5=1.5(4)3
(x+2)=4
(x+1)
5.列方程并求解
(1)某数的8倍加上10等于它的10倍减去8,求这个数。
(2)4.9减去2.9与0.5的积比x的5倍少1.65,求x。
(3)一个数加它的1.8倍是0.56,求这个数。
6.列方程解应用题
(1)要运走一堆土,每天运36车,需要15天运完,现在要求提前5天运完,每天应多运几车?
(2)三个数的平均数是13.5,甲是乙的4倍,丙比甲多4.5,求三个数各是多少?
(3)一个长方形周长是240米,长是宽的1.5倍,这个长方形的面积是多少?
(4)一个三角形ABC中,角A是角B的3倍,角C比角A与角B的和还大12°。
求三个角的度数。
(先用算术法,再用方程解。
)
(5)每边长度相差5厘米的三角形周长是120厘米,最短的一边是几厘米?
最长的呢?
(6)有一分、二分、五分三种硬币共10元,已知每种硬币的个数相同,求三种硬币共有多少个?
【思维拓展训练】
三年前母亲的岁数是儿子的6倍,今年母亲33岁,儿子今年几岁?
参考答案
【同步达纲练习】
1.填空:
(1)含有未知数的等式;求方程的解的过程;使方程左右两边相等的未知数的值
(2)用含有字母的式子表示
①x-a;x+a
②a-1;a+1;3a
③x÷2-a;x÷4
④5x;ax;24÷x;s÷x
⑤(200-b)÷a
⑥x÷2-3y
⑦(m+n)×3.5
⑧3-7.43a
(3)先写出应用题中数量间的相等关系,再列方程
①(大米的包数)+(面粉的包数)=(大米和面粉的总包数)
解:
设运来面粉x包,大米则是3x包
3x+x=480
②(肥皂的总价)+(毛巾的总价)=(一共用去的钱数)
解:
设毛巾每条x元
0.26×4+2x=2.8
③(小华的年龄×6)+(5岁)=(爷爷的年龄)
解:
设小华今年x岁
6x+5=71
④(客车的速度+货车的速度)×(相遇时间)=甲、乙两站间的距离
解:
设货车每小时行x千米
(48+x)×2.5=255
2.选择:
(1)(③、④)
(2)(⑥)
(3)(①)
3.化简:
(1)(5x+7)-(4x+0.18)
=5x+7-4x-0.18
=5x-4x+7-0.18
=x+7-0.18
=x+6.82
(2)6x-28-2.5x+30.5
=6x-2.5x-28+30.5
=3.5x+30.5-28
=3.5x+2.5
(3)6x×(3+0.8)
=6x×3.8
=22.8x
(4)8a-(5a+8)
=8a-5a-8
=3a-8
4.解方程
(1)3×(x+2)-96=0
解:
3x+6-96=0
3x-90=0
3x=90
x=30
(2)0.3×7+4x=12.5
解:
2.1+4x=12.5
4x=12.5-2.1
x=10.4÷4
x=2.6
(3)(x+3)÷5=1.5
解:
x+3=1.5×5
x=7.5-3
x=4.5
(4)3×(x+2)=4×(x+1)
解:
3x+6=4x+4
4x-3x=6-4
x=2
5.列方程并求解:
(1)解:
设这个数为x
8x+10=10x-8
10x-8x=10+8
2x=18
x=9
(2)解:
5x-2.9×0.5=1.65
5x-1.45=1.65
5x=1.65+1.45
x=3.1÷5
x=0.62
(3)解:
设这个数为x
x+1.8x=0.56
2.8x=0.56
x=0.56÷2.8
x=0.2
6.列方程解应用题:
(1)解:
设每天应多运x车
(36+x)×(15-5)=36×15
(36+x)×10=540
36+x=540÷10
x=54-36
x=18
(2)解:
设乙为x,则甲数为4x,丙数为(4x+4.5)
x+4x+4x+4.5=13.5×3
9x+4.5=40.5
9x=40.5-4.5
x=36÷9
x=4
(3)解:
设长方形的宽为x米,则长为1.5x米
(x+1.5x)×2=240
2.5x×2=240
2.5x=240÷2
x=120÷2.5
x=48
48×1.5=72
72×48=3456(平方米)……面积
(4)解法一:
算术方法:
(180-12)÷(1+3+4)
=168÷8
=21(度)……∠B
21×3=63(度)……∠A
21×4+12
=84+12
=96(度)……∠C
解法二:
方程:
解:
设∠B为x度,则∠A为3x度,∠C为(4x+12)度
x+3x+4x+12=180
8x+12=180
8x=180-12
x=168÷8
x=21
21×3=63
21×4+12
=84+12
=96
(5)解:
设最短边是x厘米,最长边是(x+5+5)厘米
x+(x+5)+(x+5+5)=120
x+x+5+x+10=120
3x+15=120
3x=120-15
x=105÷3
x=35
35+5+5=45
(6)解:
设三种硬币共有x个
10元=1000分
(1+2+5)x=1