矩阵的初等行变换与矩阵的秩.docx

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矩阵的初等行变换与矩阵的秩

矩阵的初等行变换与矩阵的秩

一、矩阵的初等行变换

矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：

1.互换矩阵两行的位置（对换变换）；

2.用非0常数遍乘矩阵的某一行（倍乘变换）；

3.将矩阵的某一行遍乘一个常数k加到另一行（倍加变换）上。

二、阶梯形矩阵

满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵

1.各个非0行（元素不全为0的元素）的第一个非0元素的列标随着行标的递增而严格增大；

2.如果矩阵有0行，0行在矩阵的最下方。

例如

重要定理一

任意一个矩阵经过若干次初等行变换可以化成阶梯形矩阵。

例题

注意：

一个矩阵的阶梯形矩阵不唯一

例如：

三、矩阵的秩

矩阵A的阶梯形矩阵非0行的行数称为矩阵A的秩，记作秩（A）或r（A）

例如下列矩阵的秩分别为2、3、4

、

、

例题

求矩阵

秩及秩（

）

解

所以，秩（A）=3

所以，

可以证明：

对于任意矩阵A，

；矩阵的秩是唯一的。

问题：

矩阵：

的秩等于4？

对否，为什么？

满秩矩阵（非奇异矩阵、非退化矩阵）

设A是n阶矩阵，若秩（A）=n，则称A为满秩矩阵（非奇异矩阵、非退化矩阵）

重要定理二

定理9.2

任何满秩矩阵都能经过初等行变换化成单位矩阵。

例

3阶矩阵A的秩：

秩（A）=3，所以A是满秩矩阵。

练习P329,练习9.5

4.设

解：

对A进行初等行变换，化为阶梯形矩阵