二次函数中考压轴题附答案整理.docx

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二次函数中考压轴题附答案整理

中考压轴题

1、如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（

，0）、（0，4），抛物线

经过B点，且顶点在直线

上．

（1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；

（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．

解：

（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为

∴

∴

∴所求函数关系式为：

（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，

∴

∵四边形ABCD是菱形

∴BC=CD=DA=AB=5

∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）．

当

时，

当

时，

∴点C和点D在所求抛物线上．

（3）设直线CD对应的函数关系式为

，则

解得：

．∴

∵MN∥y轴，M点的横坐标为t，

∴N点的横坐标也为t．

则

，

，

∴

∵

，∴当

时，

，

此时点M的坐标为（

，

）

2、如图，已知抛物线

交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B．

（1）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式；

（2）设

（

）是直线

上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF．若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围；

（3）在

（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值．

解：

（1）令

，得

，即

，解得

，

，所以

．令

，得

，所以

．

设AB为

，则

，解得

，

所以直线AB的解析式为

．

（2）当点

在直线AB上时，

，解得

，

当点

在直线AB上时，

，解得

所以，若正方形PEQF与直线AB有公共点，则

．

（3）当点

在直线AB上时，（此时点F也在直线AB上）

，解得

．

①当

时，直线AB分别与PE、PF有交点，设交点分别为C、D，

此时，

，

又

，所以

，

从而，

．

因为

，所以当

时，

．

②当

时，直线AB分别与QE、QF有交点，设交点分别为M、N，

此时，

，

又

，

所以

，即

．

其中当

时，

．

综合①②得，当

时，

．

3、如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线

经过坐标原点O和x轴上另一点E（4,0）

（1）当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？

（2）将矩形ABCD以每秒

1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）.

①当

时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；

②以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．

图1　　　图2

解：

（1）因抛物线

经过坐标原点O（0,0）和点E（4,0）

故可得c=0,b=4

所以抛物线的解析式为

由

得当x=2时，该抛物线的最大值是4.

（2）①点P不在直线ME上.

已知M点的坐标为（2,4），E点的坐标为（4,0），

设直线ME的关系式为y=kx+b.

于是得

，解得

所以直线ME的关系式为y=-2x+8.

由已知条件易得，当

时，OA=AP=

，

∵P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8.

∴当

时，点P不在直线ME上.

②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5

∵点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，

∴OA=AP=t.

∴点P，N的坐标分别为（t,t）、（t,-t2+4t）

∴AN=-t2+4t（0≤t≤3）,

∴AN-AP=（-t2+4t）-t=-t2+3t=t（3-t）≥0,∴PN=-t2+3t（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点

P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，∴S=

DC·AD=

×3×2=3.

（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形

∵PN∥CD，AD⊥CD，

∴S=

（CD+PN）·AD=

[3+（-t2+3t）]×2=-t2+3t+3

当-t2+3t+3=5时，解得t=1、2

而1、2都在0≤t≤3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5

综上所述，当t=1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5，

当t=1时，此时N点的坐标（1,3）

当t=2时，此时N点的坐标（2,4）

（2012•乐山）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．

①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；

②求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标．

考点：

二次函数综合题。

分析：

（1）首先解方程得出A，B两点的坐标，进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可；

（2）①首先求出AB的直线解析式，以及BO解析式，再利用等腰三角形的性质得出当OC=OP时，当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，当OC=PC时分别求出x的值即可；

②利用S△BOD=S△ODQ+S△BDQ得出关于x的二次函数，进而得出最值即可．

解答：

解

（1）解方程x2﹣2x﹣3=0，

得x1=3，x2=﹣1．

∵m＜n，

∴m=﹣1，n=3…（1分）

∴A（﹣1，﹣1），B（3，﹣3）．

∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax2+bx．

∴

解得：

，

∴抛物线的解析式为

．…（4分）

（2）①设直线AB的解析式为y=kx+b．

∴

解得：

，

∴直线AB的解析式为

．

∴C点坐标为（0，

）．…（6分）

∵直线OB过点O（0，0），B（3，﹣3），

∴直线OB的解析式为y=﹣x．

∵△OPC为等腰三角形，

∴OC=OP或OP=PC或OC=PC．

设P（x，﹣x），

（i）当OC=OP时，

．

解得

，

（舍去）．

∴P1（

，

）．

（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，

∴P2（

，﹣

）．

（iii）当OC=PC时，由

，

解得

，x2=0（舍去）．

∴P3（

，﹣

）．

∴P点坐标为P1（

，

）或P2（

，﹣

）或P3（

，﹣

）．…（9分）

②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H．

设Q（x，﹣x），D（x，

）．

S△BOD=S△ODQ+S△BDQ=

DQ•OG+

DQ•GH，

=

DQ（OG+GH），

=

，

=

，

∵0＜x＜3，∴当

时，S取得最大值为

，此时D（

，﹣

）．…（13分）

点评：

此题主要考查了二次函数的综合应用以及等腰三角形的性质和三角形面积求法等知识，求面积最值经常利用二次函数的最值求法得出．

（2012•烟台）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？

最大值为多少？

（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？

请直接写出t的值．

点：

二次函数综合题。

分析：

（1）根据矩形的性质可以写出点A得到坐标；由顶点A的坐标可设该抛物线的顶点式方程为y=a（x﹣1）2+4，然后将点C的坐标代入，即可求得系数a的值（利用待定系数法求抛物线的解析式）；

（2）利用待定系数法求得直线AC的方程y=﹣2x+6；由图形与坐标变换可以求得点P的坐标（1，4﹣t），据此可以求得点E的纵坐标，将其代入直线AC方程可以求得点E或点G的横坐标；然后结合抛物线方程、图形与坐标变换可以求得GE=4﹣

、点A到GE的距离为

，C到GE的距离为2﹣

；最后根据三角形的面积公式可以求得

S△ACG=S△AEG+S△CEG=﹣

（t﹣2）2+1，由二次函数的最值可以解得t=2时，S△ACG的最大值为1；

（3）因为菱形是邻边相等的平行四边形，所以点H在直线EF上．

解答：

解：

（1）A（1，4）．…（1分）

由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4

∵抛物线过点C（3，0），

∴0=a（3﹣1）2+4，

解得，a=﹣1，

∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3．…（2分）

（2）∵A（1，4），C（3，0），

∴可求直线AC的解析式为y=﹣2x+6．

∵点P（1，4﹣t）．…（3分）

∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+

．…（4分）

∴点G的横坐标为1+

，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4﹣

．

∴GE=（4﹣

）﹣（4﹣t）=t﹣

．…（5分）

又点A到GE的距离为

，C到GE的距离为2﹣

，

即S△ACG=S△AEG+S△CEG=

•EG•

+

•EG（2﹣

）

=

•2（t﹣

）=﹣

（t﹣2）2+1．…（7分）

当t=2时，S△ACG的最大值为1．…（8分）（3）t=

或t=20﹣8

．…（12分）