4．线性规划
（1）平面区域
一般地，二元一次不等式
在平面直角坐标系中表示
某一侧所有点组成的平面区域。
我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。
当我们在坐标系中画不等式
所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把直线画成实线。
说明：
由于直线
同侧的所有点的坐标
代入
，得到实数符号都相同，所以只需在直线某一侧取一个特殊点
，从
的正负即可判断
表示直线哪一侧的平面区域。
特别地，当
时，通常把原点作为此特殊点。
（2）有关概念
引例：
设
，式中变量
满足条件
，求
的最大值和最小值。
由题意，变量
所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域。
由图知，原点
不在公共区域内，当
时，
，即点
在直线
：
上，作一组平行于
的直线
：
，
，可知：
当
在
的右上方时，直线
上的点
满足
，即
，而且，直线
往右平移时，
随之增大。
由图象可知，当直线
经过点
时，对应的
最大，
当直线
经过点
时，对应的
最小，所以，
，
。
在上述引例中，不等式组是一组对变量
的约束条件，这组约束条件都是关于
的一次不等式，所以又称为线性约束条件。
是要求最大值或最小值所涉及的变量
的解析式，叫目标函数。
又由于
是
的一次解析式，所以又叫线性目标函数。
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
满足线性约束条件的解
叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。
在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。
其中可行解
和
分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解。
5.合情推理与演绎推理
（1）归纳推理：
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．显然归纳的个别情况越多，越具有代表性，推广的一般性命题也就越可靠，应用归纳推理可以获得新的结论．
归纳推理的一般步骤
①通过观察一系列情形发现某些相同的性质．
②从已知的相同的性质中推出一般性命题．
（2）类比推理：
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．类比推理是由特殊到特殊的推理．类比的结论不一定为真，在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似性之间越相关，那么类比得到的结论也就越可靠．
类比推理的一般步骤
①找出两类事物之间的相似性或一致性．
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．
注：
归纳推理与类比推理都属于合情推理，两种推理所得的结论未必是正确的（例如费马猜想就被大数学家欧拉推翻了），但它们对于发现新的规律和事实却是十分有用的．
（3）演绎推理
（1）从一个一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法叫做演绎推理，它是一种由一般到特殊的推理过程，是一种必然性推理．演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但是错误的前提可能导致错误的结论．
（2）“三段论”推理是演绎推理的一般模式，它包括：
①大前提：
已知的一般性推理．
②小前提：
所研究的特殊情况．
③结论：
根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
也可表示为：
大前提：
是
，小前提：
是
，结论：
是
．
用集合的知识可以理解为：
若集合
的所有元素都具有性质
，
是
的子集，那么
中所有元素都具有性质
．
例 指出下面三段论的大前提、小前提和结论．
（1）这两个正多边形的边数相同；
（2）凡相同边数的正多边形都是相似的；
（3）所以这两个正多边形也是相似的．
解析：
（1）是“小前提”；
（2）是“大前提”；（3）是“结论”．
点评：
三段论的论断基础是这样一个公理：
“凡肯定（或否定）了某一类对象的全部，也就肯定（或否定）了这一类对象的各部分或个体．”简言之，“全体概括个体．”
（4）合情推理与演绎推理的区别与联系
区别：
①从定义上看：
合情推理：
前提为真，结论可能为真的推理．
演绎推理：
根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理．
从定义上可以看出，合情推理与演绎推理的区别是结论是否为真．合情推理的结论可能为真，但演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，其结论必定为真．故在数学论证中，证明命题的正确性，都是用演绎推理，而合情推理不能用作证明．
②从推理形式上看：
合情推理是由特殊到一般（归纳推理），或由特殊到特殊（类比推理）的认识过程，而演绎推理是由一般到特殊的认识过程．
联系：
二者相辅相成，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理．
6.直接证明与间接证明
1．综合法
一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
用
表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，
表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
综合法的特点：
从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．
2．分析法
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归纳为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）．这种证明的方法叫做分析法．
用
表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：
分析法的特点：
从“未知”看“需知”，逐步靠拢已知，其逐步推理，实际上是寻找它的充分条件．
3．反证法
（1）定义：
一般地，假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
（2）用反证法导出的矛盾主要有：
①与假设矛盾；
②与数学公理、定理、定义、公式或与已被证明了的结论矛盾；
③与公认的简单事实矛盾．
（3）步骤：
①分清命题的条件和结论；
②作出命题结论不成立的假设；
③由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；
④否定假设，从而间接的证明了结论．
4．三种证明方法的总结
在解决问题时，经常把综合法和分析法结合起来使用：
根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论
；根据结论的特点去转化条件，得到中间结论
．若由
可以推出
成立，就可以证明结论成立．在证明一个问题时，如果不容易从条件到结论证明时，采取分析的方法或者是间接证明的方法———反证法．有时证明一道题需多法并用．
五、经典例题
在复习的过程中不要就题解题，一定要在解题的过程中提炼出做题时所用的方法和思想，这样才能达到举一反三、触类旁通的效果.在本章的复习中要提炼的主要方法和思想有：
1、分离变量法
我们经常见到有关不等式恒成立的问题，如“f（x,k）＞0或f（x,k）
0（其中x∈A）恒成立，求k的取值范围.”这类问题通常可以分离变量为h（k）＞g（x）或h（k）
g（x）,再利用求函数最值的方法解决.
例1（2006江西）若不等式x2＋ax＋10对一切x
成立，则a的最小值为
解：
因为x
，且x2＋ax＋10，所以
，所以
，
又
在
内是单调递减的，所以
，
2、分离常数法
有很多同学认为只有一次分式函数才可以用分离常数法求解,其实不然.形如
的函数很多情况下均可采用分离常数法求解.
例2求函数
的值域.
解：
∵
，当且仅当x
时等号成立,故值域为
.
评析：
其中将
变形为
就是分离常数法.
3、反客为主法
反客为主法，就是从处于主“地位”的对象入手问题难以解决时，将处于客“地位”的对象转化为处于主“地位”的一种解题方法.
例3对于满足0≤
≤4的所有实数
，使不等式
＞
成立的
的取值范围是.
解：
设
，据题意，对于满足0≤
≤4的所有实数
，“一次”函数
＞0恒成立.
在0≤P≤4上恒正
解得
＞3或
＜－1.
4、数形结合的思想
例4若不等式|x-4|+|x-3|解：
|x-4|+|x-3|表示的是数轴上坐标为
的点到数轴上坐标分别为4、3的两个点的距离之和，其最小值显然为1，所以|x-4|+|x-3|
，因此要不等式|x-4|+|x-3|1.
5、分类讨论的思想
求解有字母系数的不等式，关键是分类对论.在复习的时候，教师关键是要让学生知道，在该讨论的地方为什么要讨论？
怎样讨论？
讨论题的解法更能说明“数学使人周密（培根）”.
例5解关于x的不等式
.
解：
等价于
.
（1）若
，则
，不等式变为
，无解；
（2）若
，则
，不等式变为
，无解；
（3）若
，则
，所以
；
（4）若
或
，则
，所以
.
综上所述，当
或
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
；
当
或
时，原不等式的解集为
.
6、函数与方程的思想
使不等式
成立的x就是使函数
的值非负的x,而方程
的解正是不等式解的临界点或极限点，
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