北京高考数学及答案.docx
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北京高考数学及答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试
B.-C.-D.—
12
结束后，将本试卷和答题卡一并交回•
第部分（选择题共40分）
5
一、选择题共8小题，每小题成，共40分.
1.已知集合Axx2，B2,0,1,2,则AB
1,0,1,2
A0,1B.1,0,C.2,0,1,2
11
复数・
2.在复平面内,
।的共宛复数对应的点位于（
1i
4•“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载埴最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献-十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率
为（）
>432fB.322fC.1225fD.1227f
5.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
9.设an是等差数列，a2a536，贝Uan的通项公式为
10.在极坐标系中，直线cossinaa0与圆2cos相切，则a
11.设函数fxcosx—。
，若，％，7对任意的实数x都成立，则的最小值为
6
四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的
离心率为
三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程
1
13.（本小题13分）在ABC中，a7,b8,cosB
7
（I）求A；
（n）求AC边上的高.
16.（本小题14分）
如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC,平面ABC,D,E,F,G分别为AA,,AC,AG,BB.
的中点，ABBC、5,ACAA2.
（I）求证：
AC平面BEF；
（n）求二面角BCDC1的余弦值；
（川）证明：
直线FG与平面BCD相交.
17.（本小题12分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表:
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：
一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
假设所有电影是否获得好评相互独立.
（I）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
门”表示第k类电影得
（n）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
（川）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“到人们喜欢，“kO”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1,2,3,4,5,6）.写出方差Di,D2
D3,D4,D5,D6的大小关系.
18.（本小题13分）设函数fxax24a1x4a3ex.
（i）若曲线yfx在点1,f1处的切线与x轴平行，求a;
（n）若fx在x2处取得极小值，求a的取值范围.
2
19.（本小题14分）已知抛物线C:
y2px经过点P1,2.过点Q0,1的直线I与抛物线C有两个不同的交点A,B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.
（i）求直线I的斜率的取值范围；
——,~111
为定值.
（n）设0为原点，QMQ。
，QNQ0，求证：
20.（本小题14分）设n为正整数，集合A|
Jnln
0,1,k1,2,,n，对于集合A中的
任意元素
XZ,
Xn和
，yn
，记
（口）当
奇数；当
1
2x1y1
3时，若
4时，设
XiyiX272
1,1,0,0,1,1
X2
y2
yn
yn
求M,
的
侑：
B是A的子集，且满足：
对于B中的任意元素
是偶数-求集合B中元素个数的最大值;
（川）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：
对于B中的任意两个不同的元素
M,0•写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由.
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
13.y=sinx（答案不唯一）
三、解答题
（15）（共13分）
解：
⑴在AABC中，•,・cosB=-,•••B€（,n）,「・sinB=Jicos2B空。
.
72
由正弦定理得J—b/广匚3,•sinA=-3.
cinAuinRuinA-2
7
TB€（n,n/A€（0,n）,•/个11
223
o
（n）®AABC中，TsinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=—（-4-3=
14
2727
如图所示，在^ABC中，・--sinC=±,-h=BCsinC=7沁沁BC142,
•
AC边上的高为出.
解：
（I）在三棱柱ABC・AiBiC中,
TCCi_L平面ABC,
•四边形AiACC为矩形.
又E,F分别为AC,AQ的中点，
•AC±EF.
•/AB=BC.
•••AC±BE,•••AC_L平面BEF.
（口）由⑴知AC±EF,AC±BE,EFIICG.
又CC，平面ABC,:
EF_L平面ABC.
•/BE平面ABC,-EF±BE
如图建立空间直角坐称系E-xyz.
由题意得B（0,2,0）,C（-1,0,uuiuir
•CD=（2,0,1）,CB=（1,2,0）,
设平面BCD的法向量为n（a,b,c）,uuu
nCD02ac0a2b
uur,
nCBO°，
令a=2，则b=-1,c=-4,
•平面BCD的法向量n（2,1,4）,
uir
又・・・平面CDC的法向量为EB=（O,2,0）,
（17）（共12分）
解：
（1）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000,
第四类电影中获得好评的电影部数是200X0.25=50
故所求概率为匹J0025.2000
（n）设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，
事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”.
故所求概率为P（ABAB）=P（AB）+P（AB）
=P（A）（1-P（B））+（1-P（A））P（B）.
由题意知：
P（A）估计为0.25,P（B）估计为0.2.
故所求概率估计为0.25X0.8+0.75X0.2=0.35
（山）Dl>D4>D2=D5>D3>D6.
（18）（共13分）
解：
（I）因为f（x）=[ax2（4a1）x4a3]ex,
所以f*（x）=：
2ax-（4a+1）]ex+[ax2-（4a+1）x+4a+3]ex（x€R）=[ax2-（2a+1）x+2]ex.
f
（1）=（1-a）e.
由题设知f⑴=0，即（1・a）e=0,解得a=1.
此时f
（1）=3eA0.
所以a的值为1.
（n）由⑴得f1（x）=:
ax2-（2a+1）x+2]ex=（ax-）（x-0ex.
11
若a>一，则当x€（-,2）时，f（x）v0；2a
当x€（2,+s）时，f*（x）>0.
所以f（x）<0在x=2处取得极小值.
21
若aw—,则当x€（0,2）时，x-2v0,ax-<-x-1<0,
32
所以f1（x）>0.
所以2不是f（x）的极小值点.
综上可知，a的取值范围是I,+R）.
2
（19）（共14分）
解：
⑴因为抛物线y2=2px经过点P（1,2）,
所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x.
由题意可知直线I的斜率存在且不为0,设直线I的方程为丫=1^+1（k老）.
4X得k2x2（2k4）xkx1
X3,X4中1的个数为1或3.
（1,1,0,1）,（1,1,1,0）}.
将上述集合中的元素分成如下四组:
1,0,0,0），；（0,1,0,0），；（0,0,1,0），
（1）；（0，0，07），（0，1，1，1）.
经验证，对于每组中两个元素a,伏均有M（a,3）=1.
所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素.
所以集合B中元素的个数不超过4.
又集合｛（1，00，0），（0，1，0，0），（0，0，1，。
），（0，0。
，1）
所以集合B中元素个数的最大值为4.
（川）设Sk=（Xi,X2,…，Xn）I（Xi,X2,…，Xn）€A,2,…，n）,
Sn+1={（Xi,X2,…，Xn）|Xl=X2二•••=Xn=0},
则A=SiuSiU…USn+1.
对于S.（k=1,2,…，n-1）中的不同元素a,3经验证，M（a,3）生
所以3（k=1,2,…，n.）中的两个元素不可能同时是集合B的元素.
所以B中元素的个数不超过n+1.
取ek=（X1,X2,»Xn）€Sk£LXk+i=••・=Xn=0（k=1,2，・••，n.）.
令8=（ei,e2,…，en.）USUs+1，则集合B的元素个数为n+1,且满足条件.
故B是一个满足条件且元素个数最多的集合・
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