第7讲中心对称原卷版.docx

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第7讲中心对称原卷版

第七讲：

中心对称

知识框架

知识概述

知识点

1.中心对称的性质

2.中心对称图形的综合应用

教学目标

1.认识中心对称的概念。

2.能综合运用变换解决有关问题。

3.通过观察、探索等过程，使学生更深刻地理解轴对称、平移、旋转及组合等几何变换的规律和特征，并体会图形之间的变换关系。

知识讲解

知识点1中心对称的性质

1.如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或者中心对称，这个点叫做它们的对称中心。

2.成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。

3.中心对称指两个全等图形的相互位置关系,中心对称图形指一个图形本身成中心对称.

4.如果将中心对称图形的两个图形看成一个整体,则它们是中心对称图形.如果将中心对称图形对称的部分看成两个图形,则它们成中心对称.

知识点2中心对称图形的综合应用

中心对称与平移和旋转类似，综合应用中重点考察的是图形的全等，中心对称可以看成是特殊的旋转。

典型例题

例一：

【题干】如图,已知ΔABC和ΔDEF关于点O成中心对称,则AO＝，BO＝　　　，CO＝　　　，点A关于对称中心O的对称点是，点B关于对称中心O的对称点是，点C关于对称中心O的对称点是．

例二：

【题干】如图，在4张背面完全相同的卡片上分别印有不同的图案．现将印有图案的一面朝下洗匀后，从中随机抽取一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率是（）．

A．

B．

C．

D．1

例三：

【题干】点A（3，﹣1）关于原点的对称点A′的坐标是（）

A．（﹣3，﹣1）B．（3，1）C．（﹣3，1）D．（﹣1，3）

例四：

【题干】如图,已知△ABC和点O,画出△DEF,使△DEF和△ABC关于点O成中心对称.（画出图形并写出解答过程）

课堂基础夯实

一．选择题

1．（2019秋•门头沟区期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

2．（2019秋•惠城区期末）在下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

3．（2019秋•信阳期末）已知a＜1，则点（﹣a2，﹣a+1）关于原点的对称点在（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

4．（2019秋•昌平区校级期末）已知点P（﹣2，3），则点P关于原点的对称点的坐标是（　　）

A．（3，﹣2）B．（2，﹣3）C．（﹣3，2）D．（﹣2，﹣3）

5．（2019秋•江城区期中）下列说法正确的是（　　）

A．成中心对称的两个图形全等

B．全等的两个图形成中心对称

C．成中心对称的两个图形一定关于某条直线对称

D．关于某条直线成轴对称的两个图形一定关于某一点成中心对称

二．填空题

6．（2019秋•太仓市期末）若点P（3m﹣1，2+m）关于原点的对称点P′在第四象限的取值范围是　　．

7．（2019秋•霍林郭勒市期末）在平面直角坐标系中，若点A（x+1，2y+1）与点A'（y﹣2，x）关于原点O对称，则代数式x2﹣y2的值为　　．

8．（2020•封开县一模）在平面直角坐标系中，点P（4，﹣5）与点Q（﹣4，m+1）关于原点对称，那么m＝　　．

9．（2019秋•镇原县期末）已知点A（a，1）与点B（﹣3，b）关于原点对称，则ab的值为　　．

10．（2019秋•雷州市期末）点P（2，﹣1）关于原点的对称点坐标为（﹣2，m），则m＝　　．

11．（2018秋•徽县期末）点A（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是　　．

三．解答题

12．（2019秋•吉安期中）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示．

（1）顶点A关于x轴对称的点A′的坐标（　　，　　），顶点B的坐标（　　，　　），顶点C关于原点对称的点C′的坐标（　　，　　）．

（2）△ABC的面积为　　．

13．（2019春•秦淮区期末）如图，是5个全等的小正方形组成的图案，请用不同的两种方法分别在两幅图中各添加1个正方形，使整个图案称为中心对称图形．

14．（2018秋•余干县期中）将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC．

（1）试猜想AE与BF有何关系？

说明理由．

（2）若△ABC的面积为3cm2，求四边形ABFE的面积．

15．（2017秋•简阳市期末）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示．

（1）分别写出△ABC各个顶点的坐标；

（2）分别写出顶点A关于x轴对称的点A′的坐标、顶点B关于y轴对称的点B′的坐标及顶点C关于原点对称的点C′的坐标；

（3）求线段BC的长．

16．（2017秋•淮南月考）已知点A（1﹣2x，y﹣4）与点b（2y+1，x﹣1）关于原点对称，求yx．

17．（2017秋•东丰县期中）已知点A（2a+2，3﹣3b）与点B（2b﹣4，3a+6）关于坐标原点对称，求a与b的值．

18．（2016秋•松山区期中）当m为何值时：

（1）点A（2，3m）关于原点的对称点在第三象限；

（2）点B（3m﹣1，0.5m+2）到x轴的距离等于它到y轴距离的一半？

提高培优训练

一．选择题

1．（2018秋•乐清市校级月考）已知：

点A（﹣3，4）与点B关于y轴对称，点P与点B关于原点对称，则点P的坐标为（　　）

A．（﹣3，4）B．（3，﹣4）C．（3，4）D．（﹣3，﹣4）

2．（2017秋•裕华区期末）下列图形中，△A′B′C′与△ABC成中心对称的是（　　）

A．

B．

C．

D．

3．（2018秋•富顺县期中）如图，△ABC与△A′B′C′关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（　　）

A．OC＝OC′B．OA＝OA′

C．BC＝B′C′D．∠ABC＝∠A′C′B′

4．（2014•雅安）在平面直角坐标系中，P点关于原点的对称点为P1（﹣3，﹣

），P点关于x轴的对称点为P2（a，b），则

＝（　　）

A．﹣2B．2C．4D．﹣4

5．（2012秋•合川区校级期末）有以下图形：

平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、菱形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）

A．5个B．4个C．3个D．2个

6．（2011秋•香河县期末）如图，△DEC是由△ABC经过了如下的几何变换而得到的：

①以AC所在直线为对称轴作轴对称，再以C为旋转中心，顺时针旋转90°；②以C为旋转中心，顺时针旋转90°得△A′B′C′，再以A′C′所在直线为对称轴作轴对称；③将△ABC向下向左各平移1个单位，再以AC的中点为中心作中心对称，其中正确的变换有（　　）

A．①②B．①③C．②③D．①②③

二．填空题

7．（2019秋•南平期末）如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，则AE的长是　　．

8．（2019秋•天津期末）已知点A（a，1）与点A′（5，b）关于原点对称，则a+b＝　　．

9．（2019秋•天河区期末）在直角坐标系中，点A（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是　　．

10．（2018秋•新疆期末）已知点P（a+1，1）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围是　　．

11．（2019秋•连江县期中）点P（﹣1，2）关于原点对称的点P′的坐标是　　．

12．（2018秋•汶上县期末）六张完全相同的卡片上，分别画有等边三角形、正方形、矩形、平行四边形、圆、菱形，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为　　．

三．解答题

13．（2019秋•莫旗期末）如图，△ABO与△CDO关于O点中心对称，点E，F在线段AC上，且AF＝CE，求证：

FD＝BE．

14．（2019秋•沙坪坝区校级期中）在学习函数的过程中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象研究其性质﹣﹣运用函数解决问题”的学习过程，根据你所经历的学习过程，现在来解决下面的问题：

在函数y＝ax3﹣bx+2中，当x＝﹣1时，y＝4；当x＝﹣2时y＝0．

（1）根据已知条件可知这个函数的表达式　　．

（2）根据已描出的部分点，画出该函数图象．

（3）观察所画图象，回答下列问题：

①该图象关于点　　成中心对称；

②当x取何值时，y随着x的增大而减小；

③若直线y＝c与该图象有3个交点，直接写出c的取值范围．

15．（2019春•宿州期中）如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE．

（1）图中哪两个图形成中心对称？

（2）若△ADC的面积为4，求△ABE的面积．

16．（2018秋•呼和浩特期中）如图，△ABC中，D是BC上一点，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．

（1）求证：

四边形AEDF是中心对称图形；

（2）若AD平分∠BAC，求证：

点E、F关于直线AD对称．

17．（2017秋•三台县期中）如图，已知A（2，3）和直线y＝x．

（1）分别写出点A关于直线y＝x的对称点B和关于原点的对称点C的坐标．

（2）若点D是点B关于原点的对称点，判断四边形ABCD的形状，并说明理由．

18．（2019春•港南区期中）如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC＝4，BC＝6，

（1）画出△BCD关于点D的中心对称图形；

（2）根据图形说明线段CD长的取值范围．

19．（2018秋•随州期中）直角坐标系第二象限内的点P（x2+2x，3）与另一点Q（x+2，y）关于原点对称，试求x+2y的值．

20．（2013春•武昌区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下：

（1）分别写出点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标．

（2）从中你发现了什么特征？

请你用文字语言表达出来．

（3）根据你发现的特征，解答下列问题：

若△ABC内有一个点M（2a+5，1﹣3b）经过变换后，在△PRQ内的坐标称为N（﹣3﹣a，﹣b+3），求关于x的方程

的解．

课后作业强化

一．选择题

1．（2007秋•海陵区期末）已知点A关于x轴的对称点坐标为（﹣1，2），则点A关于原点的对称点的坐标为（　　）

A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（2，﹣1）D．（1，﹣2）

2．（2019春•西湖区校级月考）如图，在平直角坐标系中，平行四边形ABCO的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（2，4），若直线y＝kx+k将平行四边形ABCO分割成面积相等的两部分，则k的值是（　　）

A．1B．3C．﹣1D．无法确定

3．（2019春•德惠市期末）如图，△ABC与△A'B'C'关于O成中心对称，下列结论中不一定成立的是（　　）

A．∠ABC＝∠A'C'B'B．OA＝OA'

C．BC＝B'C'D．OC＝OC'

4．（2019秋•东城区校级期中）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（　　）

A．3B．4C．5D．6

5．（2016•防城港二模）下列五种图形：

①平行四边形②矩形③菱形④正方形，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的共有（　　）

A．1种B．2种C．3种D．4种

6．（2018秋•瑞安市校级月考）如图，菱形ABCD的边AD⊥EF，垂足为点E，点H是菱形ABCD的对称中心．若FC＝

，EF＝

DE，则菱形ABCD的边长为（　　）

A．

B．3

C．4D．5

二．填空题

7．（2018秋•余干县期中）有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，…，则第10次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是　　．

8．（2020•武汉模拟）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为（3，﹣4），则点P关于原点对称的点的坐标为　　．

9．（2019•成都模拟）平面直角坐标系中，一点P（﹣2，3）关于原点的对称点P′的坐标是　　．

10．（2018春•天心区校级期末）已知点P（﹣2，a﹣1）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围是　　．

11．（2018秋•咸安区期末）点A（m，n﹣2）与点B（﹣2，n）关于原点对称，则点A的坐标为　　．

12．（2016•营口）下列图形中：

①圆；②等腰三角形；③正方形；④正五边形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有　　个．

三．解答题

13．（2018春•灌阳县期中）如图，矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称，

（1）四边形BDEG是菱形吗？

请说明理由．

（2）若矩形ABCD面积为8，求四边形BDEG的面积．

14．（2018秋•矿区校级月考）如图，在平面直角坐标系中A，B坐标分别为（2，0），（﹣1，3），若△OAC与△OAB全等

（1）试尽可能多的写出点C的坐标；

（2）在

（1）的结果中请找出关于点（1，0）成中心对称的两个点．

15．（2017春•淮安区期中）由16个边长相等的小正方形组成的图形如图所示，请你用一条割线（可以是折线）将它分割成两个图形，使之关于某一点成中心对称，要求给出两种不同的方法．

16．（2017春•景德镇期中）如图，由4个全等的正方形组成的L形图案，请按下列要求画图：

（1）在图案①中添加1个正方形，使它成轴对称图形（不能是中心对称图形）；

（2）在图案②中添加1个正方形，使它成中心对称图形（不能是轴对称图形）；

（3）在图案③中改变1个正方形的位置，从而得到一个新图形，使它既成中心对称图形，又成轴对称图形．

17．（2012•包河区一模）如图，已知点A（2，3）和直线y＝x，

（1）点A关于直线y＝x的对称点为点B，点A关于原点（0，0）的对称点为点C；写出点B、C的坐标；

（2）若点D是点B关于原点（0，0）的对称点，判断四形ABCD的形状，并说明理由．

18．指出下列图形哪些是中心对称图形？

并写出每个图形的旋转角．（最小旋转角度）

19．（2017秋•宁晋县期末）若点A（a﹣2，3）和点B（﹣1，2b+2）关于原点对称，求a，b的值．

20．（2017春•昭通期末）在平面直角坐标系中，把点P（﹣5，3）向右平移8个单位得到点P1，P1关于原点的对称点是点P2，求点P2的坐标及P2到原点的距离．