四年级十六讲 统筹与对策教师版.docx

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四年级十六讲统筹与对策教师版

第16讲统筹与对策

整理人：

张肖

内容概述

生活中的统筹规划问题，包括合理安排顺序、选择最短或最长路线、人员分配、货物调度等，一般采用枚举、比较和逐步调整的方法.各种游戏对策问题，在必胜方案中通常要占据关键位置或选取特殊数值，分析对一般从简单情形出发进行逆推.

典型问题

1．妈妈让冬冬给客人烧水沏茶．洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟．冬冬估算了一下，完成这些工作要花20分钟.为了尽快给客人沏茶，你认为最合理的安排，最少需要多少分钟?

答案：

16分钟

解析：

在试题中，烧开水之前一定要洗开水壶，但是在烧开水的同时，可以把洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶三件事都做完。

所以根据先洗水壶，然后烧开水，在烧水的时候去洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，共需要1+15=16分钟。

2．理发店里同时来了A、B、C三个顾客，A理板寸需要7分钟，B理光头需要10分钟，C烫卷发需要40分钟．请问：

如何安排这三个人的理发顺序才能使得他们三人所花的时间总和最短?

这个最短的时间是多少?

答案：

A先理发，然后B，最后C；81分钟

解析：

因为理发时间固定，为使所花时间总和最短，则只需三人等待时间最短，因此按照理发时间从短到长的顺序理发，这样A只理板寸，花费7分钟，B等待A并理光头，共花费7+10=17分钟，C等待A、B并烫卷发，共花费7+10+40=57分钟，三人共花费7+17+57=81分钟。

3．西点店里卖的面包都是5个一袋或3个一袋的，不拆开零售．已知5个一袋的售价是8元，3个一袋的售价是5元，要给47位同学每人发1个面包最少要花多少钱?

答案：

76元

解析：

5个一袋的面包单价为8÷5=1.6元，3个一袋的面包单价为5÷3=1.67元，1.6<1.67，所以要尽量多购买5个一袋的面包，同时不要让面包有剩余。

47÷5=9……2，2不能被3整除，将两袋5个的与剩余的两个凑成12个，可正好换成4袋3个的，因此需购买7袋5个的和4袋3个的，共花8×7+5×4=76元。

4．如图16-1的方格屏幕上，每个小方格的边长是1厘米，一条贪吃蛇从左下角出发，沿着格线爬行，如果它想吃掉图中的3个“★”，最少要爬多远?

请画出路线.

答案：

8厘米

解析：

路线如右图红线所示

5．如图16-2所示，一条环形公路上有A、B、C、D四个仓库．A仓库存盐40吨，B仓库存盐5吨，C仓库存盐35吨，D仓库没有盐．现在要调整存放数量，计划A、B、C、D每个仓库各存盐20吨．已知每吨盐运l千米需要运费2元．试问：

为完成上述调运计划，最少需要多少元运费?

（图16-2中公路旁的数字表示相邻仓库间的里程数，单位为千米）

答案：

700元

解析：

每个仓库各存盐20吨，则A仓库需运出20吨，B仓库需运入15吨，C仓库需运出15吨，D仓库需运入20吨，为使运费最少，则我们只选择相邻仓库进行转运。

方案可为A仓库向D仓库运20吨，C仓库向B仓库运15吨，这样运费为2×10×20+2×10×15=700元。

6．2008个小方格从左到右排成一行，甲、乙两人轮流在空格内放棋子，每人每次放一枚．规定如下：

每个空格至多放一枚棋子；当甲放好一枚棋子后，乙必须在紧挨着这枚棋子的空格内放；而当乙放好棋子后，甲必须隔一个位子放；谁放不了就判谁输．如果乙一开始在左数第一个方格内放了一枚棋子，谁将有必胜策略?

答案：

甲

7．有9根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可以取1根或者2根火柴，以取走最后一根火柴的人为胜者．试问：

如果甲先取，谁有必胜的策略?

答案：

乙

解析：

1+2=3，使用倒推法，假设现在一个人取到第6根火柴，那么无论另一个人下一次取1根还是2根，这个人都可以通过取2根或者1根取到最后一根火柴，所以要想取到最后一根即第9根火柴，那这个人必须也得取到第6、3根火柴，因为甲先取了，且只能取1根或2根，所以乙肯定可以取到第3根火柴，所以乙有必胜的策略，即无论甲每次取几根，乙都在甲的基础上凑够3根即可。

8．有100根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可以取1根、2根、3根或4根火柴，谁取到最后一根火柴谁输．甲先取．问：

谁有必胜的策略?

答案：

甲

解析：

1+4=5，使用倒推法，取到最后一根火柴的人输，则取到第99根火柴的人赢，所以问题转化为谁对取到第99根火柴有必胜的策略。

假设现在一个人取到第94根火柴，那么无论另一个人下一次取1根、2根、3根还是4根，这个人都可以通过取4根、3根、2根或者1根取到第99根火柴，所以要想取到第99根火柴，那这个人必须也得取到第94、89、84……9、4根火柴，因为甲先取，且他能取4根，所以甲只要第一次取4根火柴，以后无论乙每次取几根，他都在乙的基础上凑够5根即可。

因此，甲有必胜的策略，

9．黑板上写有l，2，3，4，5，…，2009这些自然数，甲先乙后，两人轮流擦去一个自然数．如果最后剩下的两个自然数奇偶性不同，那么甲就胜，否则乙胜．请问：

谁有必胜的策略，具体的策略是怎样的?

答案：

甲有必胜的策略，甲先擦去一个奇数，以后每次擦去和乙不同奇偶性的一个数

解析：

l，2，3，4，5，…，2009擦到剩最后两个数时，甲比乙多擦了一次，且2009个数中奇数比偶数多1个，所以甲先擦去一个奇数，以后每次擦去和乙不同奇偶性的一个数，这样最后会剩下一奇一偶，甲获胜。

10．两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币，规则是：

每人每次只能放一枚，硬币不许重叠，谁放完最后一枚硬币而使对方再也无处可放，谁就获胜．问：

先放者如何取胜?

答案：

先放者先在桌面中心放一枚，无论后者放在哪里，先放者都将硬币放在与之关于中心对称的位置上。

解析：

因为圆为中心对称图形，先放者占据了中心点后，无论对方放那个位置他都有对称位置可放。

拓展篇

1．小悦中午做烧豆腐，共需要七道工序，每道工序的时间如下：

切豆腐2分钟，切肉片2分钟，准备葱姜蒜3分钟，准备佐料1分钟，烧热锅2分钟，烧热油2分钟，炒菜4分钟．那么小悦烧好这道菜最短需要多少分钟?

答案：

12分钟

解析：

题目中在炒菜之前一定要准备好所有材料并将锅烧热，油烧热，但是在烧热锅的时候可以切豆腐，在烧热油的时候可以切肉片，所以共需要的时间是3+1+2+2+4=12分钟。

2．小杂货店里有一位售货员卖货，同时来了A、B、C、D、E五个顾客．A买糖果需要2分钟；B买大米需要6分钟；C买香烟和啤酒需要4分钟；D买水果需要3分钟；E买蔬菜需要5分钟．请问：

售货员应该如何安排五个人的顺序，使得这五个人排队等候的时间总和最短?

这个最短的时间是多少?

（只计算每个人排队的时间，不计算买东西的时间．）

答案：

按照ADCEB的顺序进行购买；这个最短时间是30分钟。

解析：

若使排队等候的时间最短，则需按照购物时间从短到长的顺序排队，即这五人按照ADCEB的顺序进行购买，总共需要等候的时间是2×4+3×3+4×2+5×1=30分钟。

3．有47位小朋友，老师要给每人发1支红笔和1支蓝笔．商店中每种笔都是5支一包或3支一包，不能打开零售．5支一包的红笔61元，蓝笔70元，3支一包的红笔40元，蓝笔47元．老师买所需要的笔最少要花多少元?

答案：

1265元

解析：

红笔5支一包的单价为61÷5=12.2元，3支一包的单价为40÷3=13.33元

蓝笔5支一包的单价为70÷5=14元，3支一包的单价为47÷3=15.67元

两种笔均是5支一包的比较便宜，因此我们尽量购买5支一包的，且保证没有多余的笔。

47÷5=9……2，2不能被3整除，拿出两包5支的与2支凑够12支，可以被三整除。

因此老师需购买5支装的红笔与蓝笔各7包，购买3支装的红笔与蓝笔各4包，需花费

（61+70）×7+（40+47）×4=1265元

4．图16-3是一张道路图，每段路旁标注的数值表示小悦走这段路所需的分钟数．问：

小悦从A出发走到B最快需要多少分钟?

答案：

18分钟

解析：

路线如右图红线所示

5+1+10+2=18分钟

5．如图16-4，一条路上从西向东有A、B、C、D、E五所学校，分别有200人、300人、400人、500人、600人．任意相邻的两所学校之间的距离都是100米，现在要在某所学校的门口修建一个公共汽车站，要使所有人到达车站的距离之和最小，车站应该建在什么地方?

距离的总和最少是多少?

答案：

车站建在D，距离总和为220千米

解析：

当人数相同时，将车站建在C比较好，但现在从A到E人数逐渐增加，所以车站应该偏右，即考虑在D或E建车站，计算比较D建学校距离总和最少。

距离和为

200×300+300×200+400×100+600×100=220000米=220千米

6．北京和上海分别制成同样型号的车床10台和6台，这些车床准备分配给武汉11台、西安5台，每台车床的运费如图16-5所示，单位为百元．那么总运费最少是多少元?

答案：

9700元

解析：

运费排序从低到高依次为北京到武汉、北京到西安、上海到武汉以及上海到西安，因此，上海的6台全部运到武汉，北京分配给武汉和西安各5台，运费总计6×7+5×5+5×6=97（百元）=9700元

7．甲拿若干枚黑棋子，乙拿若干枚白棋子，他们轮流向如图16-6所示的3×3的方格中放棋子，每次放1枚，谁的棋子中有3枚连成一条线（横、竖、斜均可），谁就获胜．如果甲首先占据了中问位置，乙要想不败，第1枚棋子应该放在哪里?

答案：

左上角、右上角、左下角或者右下角

解析：

角上的位置可以堵住两天通路，使乙可以不败。

8．有12枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定每次至少取1枚，最多取3枚，以取走最后一枚棋子者为胜者．如果甲先取，那么谁有必胜策略?

如果取走最后一枚棋子者为败者，并且仍然是甲先取，那么谁有必胜策略?

答案：

乙；甲

解析：

1+3=4，取到最后一枚棋子为胜者，则他还必须取到第8和第4枚棋子，因为甲先取，以4个为一组，甲取不到4个，而乙每次在甲后面取，每次甲取完，乙就凑够4根，这样乙肯定可以取到最后一枚。

同样道理，只是如果取走最后一枚棋子者为败者，则取到第11枚棋子者为胜，取到第11枚棋子的人必须取到第7根和第3根，因为每次最多取3根，所以只要甲第一次取3根，以后每次乙取后甲都凑够四根，便可以让乙取最后一根，甲胜。

9．现有2008根火柴，甲、乙两个人轮流从中取出火柴．每次最少从中取出2根，最多取出4根．谁无法再次取出火柴谁就赢．如果甲先取，请问谁有必胜的策略?

答案：

甲

解析：

2+4=6，题目意思为取到最后一根火柴者为胜，由题意得取到第2002根火柴的人肯定可以取到最后一根火柴，以此倒推，胜利者一定取到了第1996、1990……10、4根火柴，所以，第一次甲先取出四根火柴，以后每次乙取完火柴，甲都取能与其凑够6根的火柴，这样甲肯定能赢。

10．甲、乙两人玩一个游戏：

有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取，个数不为零即可，规定取到最后一个球的人赢，现在甲先取球．

（1）如果开始时两堆球数分别是两个和两个，那么谁有必胜策略?

请说明理由；

（2）如果开始时两堆球数分别是两个和三个，那么谁有必胜策略?

请说明理由；

（3）如果开始时两堆球数分别是五个和八个，那么谁有必胜策略?

请说明理由．

答案：

乙有必胜策略，乙每次都和甲取相同数目的球；甲有必胜策略，甲先从三个堆里取走一个，以后乙取几个，甲就取几个；甲有必胜策略，甲先从八个里取走三个，以后乙取几个甲取几个。

解析：

见答案理由部分回答。

11．如图16-7，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿450角走1步，最终将棋子走到方格B的人获胜．请问：

谁有必胜策略，策略是什么?

如果每次允许往同一方向（上、右或右上）走任意多步，结果又如何呢?

答案：

甲有必胜策略；甲有必胜策略

解析：

图a中

处为第一种情况下的制胜点，甲先向上走一步，以后乙每走一步，甲都走到制胜点处，最后到达B;

图b中

处为第二种情况下的制胜点,每一个制胜点到B至少要走两步。

甲先向右走三步，以后乙每走一步，甲或者直接到达B或者走到下一处制胜点，最终到达B

12．桌上有一块巧克力，它被直线划分成3行7列的21个小方块，如图16-8所示．现在让你和对手进行一种两人轮流切巧克力的游戏，规则如下：

①每次只许沿一条直线把巧克力切成两块；

②拿走其中一块，把另一块留给对手再切；

③谁能留给对手恰好是一个小方块，谁就取胜．

如果请你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能使你最后获胜?

答案：

第一次切走3×4=12个小方块，才能获胜。

解析：

依据倒推法，每次都留一个正方形，因此第一次切下12块，留给对方一个3×3的正方形，这样才能获胜。

超越篇

1．甲、乙、丙三名车工准备在同样效率的三个车床上车出七个零件，加工各零件所需要的时间分别为4、5、6、6、8、9、9分钟．三人同时开始工作。

问：

经过合理分工，最少经过多少分钟可以车完全部零件?

答案：

17分

解析：

七个零件最省时的分配是三个人分别加工3个、2个、2个零件，且使每组零件加工时间中的最大值最小，因此可以如下分配4+5+6=156+9=158+9=17，这样所需最短时间为17分钟。

2．图16-9是某县的道路分布图．小唐要驾车从县城出发，经过甲、乙、丙、丁、戊这些乡镇中的每个至少一次，并且最后回到县城．已知道路旁边的数值表示汽车通过此段公路所需的分钟数，那么小唐完成计划的行程最少需要多少分钟?

答案：

300分

解析：

从县城出发，走遍各乡镇，为使时间最短，则应依次走过各乡镇，所以出县城到达某镇，肯定从其隔壁乡镇回城，相邻乡镇到县城所花时间最短的为甲乙，所以可从乙出发，依次选择到下一乡镇的最短时间路线前进，具体为：

县城→乙→丙→县城→丁→戊→甲→县城，共需时间20+60+50+40+20+60+50=300分钟。

3．如图16-10，有10个村坐落在从县城出发的一条公路上，图中的数字表示各段公路的长度，单位是千米．现在要安装水管，从县城送自来水供给各村．可以用粗细两种水管，粗管足够供应所有各村用水，细管只能供一个村用水。

粗管每千米要用8000元，细管每千米要用2000元．把粗管和细管适当搭配，互相连接，可以降低工程的总费用．按你认为最节约的办法，费用应是多少元?

答案：

414000元

解析：

粗管虽然单价高，但其可供各村用水，所以不需重复使用，所需长度短，粗管的单价为细管的4倍，所以当路段重复次数大于等于4时，用粗管合算，因此，从倒数第四个村开始用三根细管，一根到倒数第三个村，一根到倒数第二个村，一根到最后一个村。

费用为8000×48+2000×（2+4+9）=414000元。

4．甲和乙两人做数学游戏：

在黑板上写一个自然数，轮到谁走时，谁就从该自然数中减去它的某个非零数字，并用所得的差替换原数．两人轮流走．谁所得到的数是零，就算谁赢．如果开始在黑板上写着数1994，并且甲先走，问谁有必胜策略?

答案：

甲

解析：

甲先拿走四个，以后无论乙拿什么，甲对应都拿个位上的数，即凑10.

5．如图16-11，五角星上共有10个交点和15条小线段．甲首先将一枚棋子放在A点上，并由此出发沿某条小线段将棋子移到相邻的一个交点上，之后乙再将棋子沿某条小线段移到下一个相邻的交点上，之后甲再走，……，如此下去．如果要求每条小线段都不能重复经过，并且轮到某人无路可走时便判其失败，那么甲是否有必胜策略?

答案：

甲没有必胜策略，而是乙有必胜策略。

解析：

甲走每一步时，乙都走到角上，这样甲只能从角上走到中间，当乙走回A点时，甲便无路可走了。

6．把一枚棋子放在图16-12中左下角的方格内，甲、乙两人玩这样一个游戏：

双方轮流移动棋子，只能向上、向右或者向右上方沿450角移动，一次可以移动任意多格．谁把棋子移到了右上角的方格中即为输，试问：

如果甲先走，是否有必胜的策略，为什么?

答案：

甲没有必胜策略，乙有。

如图从右上角开始分析，

处是必胜的，×处是必败的，因为甲第一步必然走到必胜处，而乙必然每一步都给甲留下必败处走，所以乙有必胜策略。

解析：

详见答案。

7．冬冬中午要炒一个菜，煮一锅饭，烧一壶水．用煤气炉炒菜每道工序的时间如下：

切菜4分钟，准备佐料4分钟，烧热锅2分钟，烧热油2分钟，炒菜4分钟．用煤气炉烧水每道工序的时间如下：

洗水壶2分钟，用火烧水15分钟，把开水灌到热水瓶中需要2分钟．用电饭锅煮饭每道工序的时间如下：

淘米4分钟，煮饭18分钟．冬冬家的煤气炉只有一个煤气灶．请问：

冬冬做完这三件事情最短需要多少分钟?

答案：

25分钟

解析：

洗水壶2分钟，烧水15分钟，这时可以先淘米、煮上饭，同时切菜、准备佐料，待烧好水后烧热锅、烧热油和炒菜，共需2+15+2+2+4=25分钟。

8．甲、乙两人轮流报数，每人都只能报2、3、5、7中的一个，把两人报的数累加．如果某个人报完数后，累加的和第一次为三位数，那么这个人就获胜．请问：

谁有必胜策略?

答案：

甲有必胜策略

解析：

报到91或92的人有必胜策略，所以必胜者只要每次让自己报数完后的总和除以9余1或2即可，这样甲第一次报2，那么乙第一次无法满足条件，甲就占据了凑除以9余1或2的主动权，甲必胜。