全国硕士研究生入学统一考试数学一试题完整版.docx
《全国硕士研究生入学统一考试数学一试题完整版.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《全国硕士研究生入学统一考试数学一试题完整版.docx(15页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
全国硕士研究生入学统一考试数学一试题完整版
全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题:
1〜10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内
(1)当X>0•时,与、x等价的无穷小量是
(A1-ex(B)In1x(C).1.匸-1(D1—cos、匸[]
1-Vx
1x
(2)曲线yIn1e的渐近线的条数为
x
(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.[]
(3)如图,连续函数y二f(x)在区间1-3^21,1.2,31上的图形分别是直径为1的上、下半
圆周,在区间1-2,01,1.0,21的图形分别是直径为2的下、上半圆周,设F(x)=;f(t)dt,
则下列结论正确的是:
»2匕
12;;
3
(A)F(3)=—:
F(—2)(B)
4
5
F(3)=:
F
(2)
4
—3
5
(C)F(3)=-F
(2)
4
(D)F(3)=-:
F(-2)
4
(4)设函数f(x)在X=0处连续,下列命题错误的是:
(B)若limf(x)—f(x)存在,则f(0)=0.tx
(D若limf^x)—f(x)存在,则f(0)=0.tx
]
(C)若U1:
:
:
U2,则叽』必收敛.
(D)若:
:
:
U2,则沁鳥必发散.
(6)设曲线L:
f(x,y)=1(f(x,y)具有一阶连续偏导数),过第n象限内的点M和第W
象限内的点N,T为L上从点M到点N的一段弧,则下列小于零的是
(A)tf(x,y)dx.(B)Tf(x,y)dy
(C)Tf(x,y)ds.(D)Lfx"(x,y)dx+fy"(x,y)dy.[]
(7)
设向量组九宀,:
/线性无关,则下列向量组线性相关的是
(10)
fx(x),fY(y)分别表示
设随机变量X,Y服从二维正态分布,且X与Y不相关,
X,Y的概率密度,则在Y=y的条件下,X的条件概率密度fx|Y(x|y)为
(A)fx(x).(B)fY(y).
[]
二、填空题:
11〜16小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上
z
(12)设f(u,v)是二元可微函数,Z=f(xy,yx),则二=
dx
(13)二阶常系数非齐次微分方程y"-4y"+3y=2e2x的通解为y=
(14)设曲面龙:
|x|+|y|+|z|=1,则出(x+|y|)dS=
4
‘010
(15)设矩阵a=
0、
0m3,贝VA的秩为
1
0」
1
(16)在区间0,1中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于寸的概率
为.
三、解答题:
17〜24小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•
(17)(本题满分11分)
求函数f(x,y)二f2弋仝『在区域D「;〔x,y|x2•y2岂4,y_0?
上的最大值
和最小值.
(18)(本题满分10分)
计算曲面积分I=xzdydz2yzdzdx3xydxdy,
Z
2
其中为曲面z=1-x2-丿(0乞z乞1)的上侧.
4
(19)(本题满分11分)
设函数f(x),g(x)在la,b1上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,
f(a)=g(a),f(b)二g(b),证明:
存在(a,b),使得f(Hg().
(20)(本题满分10分)
设幕级数7anxn在内收敛,其和函数y(x)满足
n=e
y-2xy-4y=0,y(0)=0,y(0)=1.
2
(I)证明:
an2an,n=1,2111;
n+1
(II)求y(x)的表达式.
(21)(本题满分11分)
为+X2+X3=0
设线性方程组x-i2x2•ax3=0与方程x12x2x3二a-1有公共解,求a的值及
2小
刍+4x2+ax3=0
所有公共解.
(22)(本题满分11分)
设三阶对称矩阵A的特征向量值「=1,,2=2,,3=-2,:
「=(1,一1,1)丁是A的属于
■1的一个特征向量,记B=A5-4A3E,其中E为3阶单位矩阵•
(I)验证:
1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;
(II)求矩阵B.
(23)(本题满分11分)
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
「2—x—y,0cxc1,0cy<1
f(x,y)]0,其他.
(I)求P〈X2Y?
;
(II)求Z=XY的概率密度.
(24)(本题满分11分)
设总体X的概率密度为
(X1,X2,…,Xn)为来自总体X的简单随机样本,X是样本均值•
A
(I)求参数V的矩估计量-;
(II)判断4X2是否为护的无偏估计量,并说明理由•
2007年考研数学试题答案解析(数学一)
一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)
(B)
(1)当x>0•时,与X等价的无穷小量是
A.1_exB.ln__C.+仮-1D.1—cosVX
1-Vx
⑵曲线y=1ln(1•ex),渐近线的条数为(D)
x
A.0B.1C.2D.3
⑶如图,连续函数y=f(x)在区间[-3,-2],[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,
在区间[-2,0],[0,2]的图形分别是直径为
x
2的上、下半圆周,设F(x)=pf(t)dt.则下列结
论正确的是(C)
3535
A.F(3)=F(—2)B.F(3)=F
(2)C.F(3)=F
(2)D.F(3)=F(-2)
4444
⑷设函数f(x)在x=0处连续,下列命题错误的是(C)
A.若lim丄凶存在,则f(0)=0B.若limf(x)f「X)存在,则f(0)=0
x0xx10x
⑸设函数f(乂)在(0,+吆)上具有二阶导数,且f"(x)〉o,令un=f(n)=1,2,…..n,则下列结
论正确的是(D)
A.若U1U2,则{Un}必收敛B.若U1U2,则{Un}必发散
⑹设曲线L:
f(x,y)=1(f(x,y)具有一阶连续偏导数),过第n象限内的点M和第"象限内的
点N,T为L上从点M到N的一段弧,则下列小于零的是(B)
A.r(x,y)dxB.rf(x,y)dyC.rf(x,y)dsD.rf'X(x,y)dxf'y(x,y)dy
(7)设向量组:
1,:
2,:
3线形无关,则下列向量组线形相关的是:
(A)
(A)>1-一,>2一、>3一:
1(B)>1*2*2*3=3*1
^dx=J2.
2
2xx3x2x
(13)二阶常系数非齐次线性方程y”-4y_3y=2e的通解为y=GeC2e-2e.
(14)设曲面迟:
|x|+|y|+|z|=1,则也(x+|y|)ds=巫
主3
'0
<0
1
(16)在区间(0,
3
中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于的概率为一.
24
三、解答题:
17~24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤。
(17)
y-4,y_0}
(本题满分11分)求函数f(x,y)=x2•2y2「x2y2在区域D二{(x,y)x2上的最大值和最小值。
【详解】:
3
|fx=2xy—2xy=0
(1求驻点二(x,y)=(0,0)(f=0)
fy=4xy—2xy=0
或(x,y)^_,2,_1)(f=2);
⑵考察边界y二0,此时最大值为4,最小值为0
(3)考察边界x2y^4,y0
F(x,y)=x22y2-x2y2-,(x2y2-4)
F干;:
F
—=—=—=0
.x:
:
z
<2
2x-2xy—2Xx=0
x2
2
4y_2xy_2,y=0=
x2十y2=4
此时数值为-
4
X2=0,y2=4,此时数值为8
x2=4,y2=0,此时数值为4
综上所述x=0,y=_2时,取得为8最小值x=0,y=0取得为0
(18)(本题满分10分)
计算曲面积分
I二xzdydz2xydzdx3xydxdy,
Z
2
其中v为曲面z=1-X2-普(0辽z乞1)的上侧
【详解】
2
取a为xoy平面上被椭圆x2丫1所围部分的下侧,
4
记门为由与1围成的空间闭区域,贝U
I=xzdydz2zydzdx3xydxdy
11xzdydz2zydzdx3xydxdy
'1
Gauss公式IIxzdydz2zydzdx3xydxdy二(z3z)dxdydz
—「
1
=3zdxdydz二3°dz!
izdxdy=二
:
■■X亠;丄-z
而!
Ixzdydz2zydzdx3xydxdy=—!
i3xydxdy=0,1-:
.
Ux2^1
(19)(本题是11分)
设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),f(b)二g(b)证明:
存在(a,b),使得f"()=g"「)
【详解】
证明:
设f(x),g(x)在(a,b)内某点c・(a,b)同时取得最大值,则f(c)二g(c),此时的c
就是所求点使得f()=g()•若两个函数取得最大值的点不同则有设
f(c)二maxf(x),g(d)二maxg(x)故有f(c)-g(c)0,g(d)-f(d):
:
0,由介值定理,
在(c,d)内肯定存在使得f()=g()由罗尔定理在区间(a,),(,b)内分别存在一点
1,2,使得f'
(1)=f'
(2)=0在区间(1,2)内再用罗尔定理,即
存在:
(a,b),使得f"「)二g"「)
(20)(本题满分10分)
设幕级数7anxn在(-〜*:
)内收敛,其和函数y(x)满足
n£
y-2xy-4y=0,y(0)=0,y(0)=1
、2
(1)证明an2an,n=1,2,|11;
n+1
⑵求y(x)的表达式
【详解】
oo
(1)将已知条件中幕级数7anxn代入到微分方程中,整理即可得到:
n=0
2
an2an,n=1,2,丨I(;
n+1
y(0)=0=a0=0
y(0)=y=a-1
=a<|=1
=12xI2n1x2
xx=xen!
(21)(本题满分11分)
捲+x2+x3=0
设线性方程组必+2x2+ax3=0
(1)
2
0+4x2+ax3=0
与方程x-!
2x2x3=a-1
(2)
有公共解,求a的值及所有公共解
【详解】:
因为方程组
(1)、
(2)有公共解,即由方程组
(1)、
(2)组成的方程组
X1+X2+X3=
=0
Xt+2x2+ax
3=0
2
(3)
的解
x^j+4x2十a
X3=0
“+2x2+x3
=a-1
11
10'
1
1
1
0
02
a0
0
1
a—1
0
即距阵
T
方程组(3)有解的充要条件为
14
a20
0
0
_1
0
J2
1a—1丿
1
1°
0
a2+3a+4
0丿
a=1,a=2.
当a=1时,方程组⑶等价于方程组
(1)即此时的公共解为方程组
(1)的解.解方程组
(1)的基
础解系为£=(1,0,—1)T此时的公共解为:
x=k',k=12lil
的解为Xi=0,x2=1,x3=-1,即公共解为:
k(0,1,-1)T
(22)设3阶对称矩阵A的特征向量值為=1,九2=2,嘉=—2,%=(1,—1,1)是A的属于鮎的
53
一个特征向量,记B=A-4A-E其中E为3阶单位矩阵
(I)验证冷是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值的特征向量;
(II)求矩阵B.
【详解】:
(I)可以很容易验证斗二n=1,2,3...),于是
B%=(A—4A+申“=偽5—4J+1记=-21
于是-:
»是矩阵B的特征向量.
B的特征值可以由A的特征值以及B与A的关系得到,即
(B)「(A)5-4")31,
所以B的全部特征值为—2,1,1.
前面已经求得冷为B的属于一2的特征值,而A为实对称矩阵,
于是根据B与A的关系可以知道B也是实对称矩阵,于是属于不同的特征值的特征
向量正交,设B的属于1的特征向量为(X1,X2,X3)T,所以有方程如下:
%-x2x3=0
于是求得B的属于1的特征向量为—=(一1,0,1)丁「3=(1,1,0)T
_1T11
(n)令矩阵p=匕耳耳】=-101,则P,BP=diag(—2,1,1),所以
110一
-11
1
(23)设二维变量(x,y)的概率密度为
(I)求P{X2Y};(II)求z=XY的概率密度.
【详解】:
P「X2Y:
=(2-x-y)dxdy,
其中D为0:
:
x:
:
:
1,0:
:
:
y:
:
:
1中x2y的那部分
区域;
求此二重积分可得P「X2Ydx尸(2一X-y)dy
*0「0
152
0(气5
24
FZ(z)=P「Z二P〈XYEzl
当z^0时,FZ(z)=0;
当z_2时,Fz(z)-1;
当0z:
:
:
1时,FZ(z)=
当1:
:
:
z:
:
:
2时,
zz-x132
0dx0(2-x-y)dy「-§zz
111325
FZ(z)=1-dx(2-x-y)dyz-2z4z-
33
z4z-x
f2
2z-z,0czcl
于是fZ⑵二z-4z4,1:
:
z2
0,其他
(24)设总体X的概率密度为
0.:
x:
:
v
0其他
X1,X2,…Xn是来自总体X的简单随机样本,X是样本均值(I)求参数V的矩估计量;
22
(II)判断4X是否为的无偏估计量,并说明理由
【详解】:
(I)记EX=:
.二,贝U
1—1
,因此参数二的矩估计量为v-2X-
22
22
(n)只须验证E(4X)是否为'即可,而
2212
,而
E(4X)=4E(X)=4(DX(EX)2)=4(DX(EX)2)n
EX=]■1寸,EX2=1(1:
:
•汀:
N,),
426
22
因此4X不是为二2的无偏估计量•