九年级同步第7讲相似三角形综合.docx

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九年级同步第7讲相似三角形综合

相似三角形是初中数学中的重点，也是难点．相当多的知识点可以与相似三角形综合起来考察．本讲将从以下几个方面学习相似三角形的应用，旨在灵活运用相似三角形的判定和性质解决问题．

1、平行线与相似三角形

利用平行线构造的相似主要有两个基本的模型，即：

“A”字型和“X”字型．

【例1】过的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F、E．

求证：

．

【难度】★★

【答案】略．

【解析】过点作交于点．

　，；

是中线，　，　；．

【总结】题考查三角形一边的平行线知识，要学会构造平行基本模型．

【例2】如图，已知中，AD、BE相交于G，，．

求的值．

【难度】★★

【答案】．

【解析】点作交于点．

　，；

，　，

，，，

，的值为．

【总结】本题考查了三角形一边的平行线知识，要学会构造平行基本模型．

【例3】如图，在中，点D在线段BC上，，，AD=2，

BD=2DC，求AC的长．

【难度】★★

【答案】．

【解析】过点作交于点．

，　；

又，

，，

．

，．　

又，．

．

【总结】本题考查了三角形一边的平行线及等腰三角形的相关知识．

【例4】已知：

P为的中位线MN上任意一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于点D和点E．

求证：

．

【难度】★★

【答案】略．

【解析】过点作分别交、的延长线

于点、．

是中位线，

．

；

．

【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线、三角形中位线的相关知识．

【例5】AD是的中线，将BC边所在直线绕点D顺时针旋转角，交边AB于点M，交射线AC于点N，设AM=x·AB，AN=y·AC，（，）．

（1）如图1，当为等边三角形且时，求证：

∽；

（2）如图2，证明．

【难度】★★★

【答案】略

【解析】

（1）是等边三角形，是中线，

；

（2）过作交延长线于点，过作交于点，

是中线

．

【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线、相似三角形的判定等的相关知识，构造辅助线是个难点．

1、角平分线与相似三角形

角平分线类的相似模型如下：

分为“内角平分线”和“外角平分线”两种类型，虚线部分为辅助线的作法．

【例6】如图，AD是的内角平分线．求证：

．

【难度】★★

【答案】略．

【解析】过点作交的延长线于点．

，

是角平分线

；

．

【总结】本题考查了三角形一边的平行线、角平分线及等腰三角形的相关知识．

【例7】如图，AD是的外角平分线．求证：

．

【难度】★★

【答案】略．

【解析】过点作交的延长线于点．

，　，

是外角平分线，；

，又，

．

．．

【总结】本题考查了三角形一边的平行线、角平分线及等腰三角形的相关知识．

【例8】在中，，AD平分交BC于点D．

求证：

．

【难度】★★

【答案】略．

【解析】过点作交于点．

，

平分，．；

，是等边三角形．

．即．

．

【总结】本题考查了三角形一边的平行线、角平分线及等边三角形的相关知识．

【例9】如图，在中，，过点C作CE//AB，交的平分线AD于E．

（1）不添加字母，找出图中所有的相似三角形，并证明；

（2）求证：

．

【难度】★★

【答案】略．

【解析】

（1）①、②．

证明①：

证明②：

（2）由得

，

．

【总结】本题考查相似三角形的判定和性质等知识．

【例10】如图，中，AI、BI分别平分、，CE是的外角的平分线，交BI延长线于E，连接CI．

（1）变化时，设．若用表示和，那么______，______；

（2）若AB=1，且与相似，求AC长．

【难度】★★

【答案】

（1），；

（2）略．

【解析】

（1），

．

AI、BI分别平分、，

，CI平分．．

．

CE是的外角的平分线，．

．

，

．

（2）与相似，

，是直角三角形时，分三种情况：

1当时，，，．

．．；

2当时，，，．

，，；

3当时，，．；

综上所述，．

【总结】本题考查相似三角形的性质及其两三角形相似分类讨论，还考查了三角形角平分线的知识．

1、a2=b·c与相似三角形

常见及扩展模型如下：

由图1可证：

；

由图2可证：

，，．

【例11】如图，中，，于点D．

求证：

．

【难度】★

【答案】略．

【解析】，．

．，

，．

．

【总结】本题考查相似三角形的性质及判定等知识．

【例12】如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，高AD，BE相交于点H．

求证：

．

【难度】★★

【答案】略．

【解析】、是高，．

，．

即

，．

．

，．

【总结】本题考查“双高”模型相似的知识．

【例13】如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，ABBC，对角线ACBD，垂足为E，AD=BD，过E的直线EF//AB交AD于点F．

（1）AF=BE；

（2）AF2=AE·EC．

【难度】★★

【答案】略．

【解析】

（1），不平行，

四边形是梯形．

又，．

四边形是等腰梯形，；

（2），

，．

．．

．

，．

【总结】本题考查等腰梯形及相似三角形的判定及性质．

【例14】如图，在中，AD平分，AD的垂直平分线交AB于点E，交AD于点H，交AC于点G，交BC的延长线于点F．

求证：

．

【难度】★★

【答案】略．

【解析】联结

点在的垂直平分线上，

，．

，

．

又平分，，．

又，，．

，．

【总结】本题考查线段垂直平分线、外角定理及相似三角形的判定及性质知识．

【例15】如图1，在中，P是边AB上的一点，联结CP，要使∽，还需要补充一个条件．

（1）补充的条件是___________________，或者____________________．

（2）请你参考上面的图形和结论，解答下面的问题：

如图2，在中，，，求的度数．

【难度】★★★

【答案】略．

【解析】

（1）；；（或者）

（2）延长到，使

而

．

【总结】本题考查相似三角形的判定及性质、三角形内角和、外角定理等知识．

1、内接矩形与相似三角形

相关模型如下图所示：

【例21】已知，在等腰中，AB=AC=10，以BC的中点D为顶点作，分别交AB、AC于点E、F，AE=6，AF=4，求底边BC的长．

【难度】★★

【答案】．

【解析】，

而，

．

又，．

，．

．．

，．

又，．

【总结】本题是对“一线三等角”模型的考查．

【例22】如图，直角梯形ABCD中，AB//CD，，点E在边BC上，且，AD=10，求的面积．

【难度】★★

【答案】24．

【解析】，，

．

又，．

．．

，

．．

在中，，．．

【总结】本题考查一线三等角模型的相似问题，还有外角知识、平行的判定等．

【例23】矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C．

（1）设的面积为，的面积为，的面积为，则______（用“>”、“=”、“<”填空）；

（2）写出图中的3对相似三角形，并选择其中一对进行证明．

【难度】★★

【答案】

（1）=；

（2）；

；

．

【解析】

（1）过点作交于点，易得；

（2），

而．．．

【总结】本题主要是考查“一线三等角”模型的相似以及矩形的性质．

【例24】在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作APPE，垂直为P，PE交CD于点E．

（1）连接AE，当与全等时，求BP的长；

（2）若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式；当x取何值时，y的值最大？

最大值是多少？

（3）若PE//BD，试求出此时BP的长．

【难度】★★★

【答案】

（1）；

（2），

当时，取最大值，最大值为；

（3）．

【解析】

（1）与全等，

，，而，

．．

在中，，．

（2）易证，得，即．

．

，

当时，取最大值，最大值为；

（3）联结交于点．

，．

．

，．，．

【总结】本题考查三角形全等，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值的知识，题目比较综合．

【例25】如图，直角梯形ABCD中，，AD//BC，BC=CD，E为梯形内一点，且，将绕点C旋转90°使BC与DC重合，得到，联结EF交CD于M．已知BC=5，CF=3，则DM:

MC的值为（）

A．B．C．D．

【难度】★★

【答案】C．

【解析】旋转后，．

，，

，．

在中，，

．

，

．

又

．

【总结】本题考查旋转的相关知识，平行的判定、三角形一边的平行线的知识．

【例26】在中，CA=CB，在中，DA=DE，点D、E分别在CA、AB上．

（1）如图1，若，则CD与BE的数量关系是____________；

（2）若，将绕点A旋转至如图2所示的位置，则CD与BE的数量关系是____________．

【难度】★★

【答案】

（1）；

（2）．

【解析】

（1）

；

（2）过点作交于点

由，得：

，

，．

【总结】本题考查旋转的相关知识，等腰三角形的相关知识．

【例27】把两块全等的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中，，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．

（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证∽，则此时______；

（2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时间方向旋转，设旋转角为．其中，问的值是否改变？

请说明理由．

【难度】★★

【答案】

（1）8；

（2）不改变．

【解析】

（1）略；

（2）易证，得：

．

又，，．

【总结】本题考查旋转的相关知识，等腰三角形，“一线三等角”得相似等的相关知识．

【例28】如图1，在中，，BC=2，，点E、F分别是线段BC、AC的中点，联结EF．

（1）线段BE与AF的位置关系是______，______；

（2）如图2，当绕点C顺时针旋转时（），联结AF、BE，则

（1）中的结论是否仍然成立？

如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；

（3）如图3，当绕点C顺时针旋转时（），延长FC交AB于点D，如果，求旋转角的度数．

【难度】★★★

【答案】

（1）垂直，；

（2）成立；（3）略．

【解析】

（1）略；

（2）由，得：

．

，．；

（3）过点作交于点，

，．

在中，，，．

，，．．

．

【总结】本题考查旋转的相关知识，特殊的直角三角形边的关系，题目比较综合，第3小题由边求角要会添置辅助线．

【例29】如图，已知与都是等边三角形，点D在BC边上（点D不与B、C重合），DE与AC相交于点F．

（1）求证：

∽；

（2）若BC=1，设BD=x，CF=y，求y关于x的函数解析式及定义域；

（3）当x为何值时，？

【难度】★★

【答案】略．

【解析】

（1）、是等边三角形

；

（2）由

（1）得，

；

（3）易证，

是等边三角形

，

解得当时，．

【总结】本题考查旋转的相关知识，“一线三等角”模型，相似的性质等的相关知识．

【例30】如图，已知平面直角坐标系中三点A（2，0），B（0，2），P（a，0）（a<0），联结BP，过点P作PCPB交过点A的直线l于点C（2，b）．

（1）求b与a之间的函数关系式；

（2）当a取得最大的整数时，求BC与x轴的交点Q的坐标．

【难度】★★

【答案】

（1）；

（2）．

【解析】

（1）

即

；

（2）

取得最大的整数时

，即

．

【总结】本题考查相似的判定及性质等知识．

【例31】函数和（）的图像关于y轴对称，我们把函数和（）叫做互为“镜子”函数，类似地，如果函数y=f（x）和y=h（x）的图像关于y轴对称，那么我们就把函数y=f（x）和y=h（x）叫做互为“镜子”函数．

（1）函数y=3x–4的“镜子”函数是________________；

（2）函数的“镜子”函数是________________；

（3）如图所示，一条直线与一对“镜子”（x>0）和（x<0）的图像分别交于点A、B、C，如果CB:

AB=1:

2，点C在函数（x<0）的“镜子”函数上的对应点的横坐标是，求点B的坐标．

【难度】★★

【答案】略

【解析】

（1）；

（2）；

（3）分别过点、、作

垂直于轴，垂足分别为．

设点、，其中，．

由题意，得点．

，，,．

易知,又

所以，可得，化简得，

解得（负值舍去），．

【总结】本题主要难在第3问，学生不知识怎么下手，要灵活应用相似的相关知识解决问题．

【例32】如图，已知梯形ABCD，AD//BC，AB=AD=5，．E为射线BD上一点，过点E作EF//DC交射线BC于点F，连接EC，设BE=x，．

（1）求BD的长；

（2）当点E在线段BD上时，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

【难度】★★★

【答案】

（1）；

（2）．

【解析】

（1），．

，．

过点作交于点，

，．．

（2），，．

．

，

．

【总结】本题考查相似三角形的面积比等于相似比的平方，同高（或同底）的三角形面积比可以转化为底边（或者高）的比．

【习题1】如图，ABBD，CDBD，垂足分别为B、D，AC和BD相交于点E，EFBD，垂足为F．求证：

．

【难度】★★

【答案】略．

【解析】ABBD，CDBD，EFBD，

，

，即．

【总结】本题考查了三角形一边的平行线知识的应用．

【习题2】如图，在中，，BC=4cm，AB=8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边的中点，点P为AB边上一点，过点P作PQ//BC交AC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，若AP=3cm，求正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积．

【难度】★★

【答案】．

【解析】是中位线，．

是中点，．

，．

．

【总结】本题考查了三角形一边的平行线等知识的应用．

【习题3】如图，已知和是两个全等的等腰直角三角形，且，的顶点E与的斜边BC的中点重合．将绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．

（1）如图1，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：

≌；

（2）如图2，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：

∽；并求当BP=a，时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）．

【难度】★★★

【答案】

（1）略；

（2）．

【解析】

（1）是中点，．，．

，．．

（2），而，．

，，

，

．

在中，，

，．

在中，．

【总结】本题考查了“一线三等角”相似模型．

【作业1】如图，已知AB//EF//CD，找出、、之间的关系，并证明你的结论．

【难度】★★

【答案】略

【解析】

，，又，

，即．

【总结】本题考查了三角形一边的平行线及同高三角形的面积比可转化为底的比．

【作业2】已知AD、AE分别为的内、外角平分线，M为DE的中点，求证：

．

【难度】★★

【答案】略．

【解析】联结，

分别是内、外角的平分线，

．

是的中点，，，

．

又，．

，，

．

【总结】本题考查相似三角形的判定及性质，还有角平分线的相关知识．

【作业3】如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，，它们的斜边长为2，若绕点旋转，AF、AG与边BC的交点分别为点D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．

（1）请在图1中找出两对相似而不全等的三角形，并选择其中一对进行证明；

（2）的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2）．在边BC上找一点D使BD=CE，求出点D的坐标，并通过计算验证；

（3）在旋转过程中，

（2）中的等量关系是否始终成立？

若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．

【难度】★★★

【答案】略．

【解析】

（1）；；；

证明：

而

又；

（2）解：

、是等腰直角三角形，

，．

是等腰直角三角形，，．

，．

，．．

．．

，．

，．；

由此可知：

，

；

（3）成立，将绕点旋转，使得与重合，如图，此时的对应点是，

联结，可得．

，，，

；，

在中，，

，，即

，．．

．．

【总结】本题考查相似的判定和性质，以及全等的判定和性质，要会构造全等三角形来解决问题，本题比较综合．

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