B05 南通市届高三数学第一次模拟考试数学试题.docx
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B05南通市届高三数学第一次模拟考试数学试题
南通市2017届高三第一次调研测试
数学试题Ⅰ
一：
填空题
1．函数
的最小正周期为。
2．设集合
，则
=。
3．复数
，其中
为虚数单位，则
的实部为。
4．口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球。
摸出红球
的概率为0.48，摸出黄球的概率是0.35，则摸出蓝球的概率为。
5．如图是一个算法流程图，则输出的
的值为。
6．若实数
满足
，则
的最大值为。
7．抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：
分），
结果如下：
学生
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
65
80
70
85
75
乙
80
70
75
80
70
则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为。
8．如图，在正四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，
则三棱锥D1–A1BD的体积为cm3。
9．在平面直角坐标系
中，直线
为双曲线
的一条渐近线，则该双曲线的离心率为。
10．《九章算术》中的“竹九节”问题：
现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为
11．在
中，若
，则
的值为。
12．已知两曲线
相交于点P。
若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数
的值为。
13．已知函数
，则不等式
的解集用区间表示为。
14．在平面直角坐标系
中，已知B，C为圆
上两点，点
，且
，则线段BC的长的取值范围是。
二：
解答题
15．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系
中，以
轴正半轴为始边作锐角
，其终边与单位圆交于点A，以OA为始边作锐角
，其终边与单位圆交于点B，
。
（1）求
的值；
（2）若点A的横坐标为
，求点B的坐标。
16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P–ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC、BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PA⊥PD。
求证：
（1）直线PA∥平面BDE；
（2）平面BDE⊥平面PCD。
17．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系
中，已知椭圆
的离心率为
，焦点到相应准线的距离为1.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线
于点Q，求
的值；
18．（本题满分16分）如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪。
已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪。
（1）当
时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；
（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由。
19．（本题满分16分）已知函数
。
（1）当
时，求函数
的最小值；
（2）若
，证明：
函数
有且只有一个零点；
（3）若函数
又两个零点，求实数
的取值范围。
20．（本题满分16分）
已知等差数列
的公差
不为0，且
成等比数列，公比为
。
（1）若
，求
的值；
（2）当
为何值时，数列
为等比数列；
（3）若数列
为等比数列，且对于任意
，不等式
恒成立，求
的取值范围。
21、【选做题】
[选修4-2：
矩阵与变换]
已知向量
是矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量，在平面直角坐标系
中，点
在矩阵A对应的变换作用下变为
，求矩阵A.
[选修4-4：
坐标系与参数方程]
在极坐标系中，求直线
被直线
所截得的弦长.
【必做题】（每小题10分）
22、如图，在棱长为2的正方体
中，P为棱
的中点，Q为棱
上的点，且
.
（1）若
，求AP与AQ所成角的余弦值；
（2）若直线
与平面APQ所成的角为
，求实数
的值.
23、在平面直角坐标系
中，已知抛物线
上的点
到焦点F的距离为2.
（1）求抛物线的方程；
（2）如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与
轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求
面积的最小值。
南通市2017届高三第一次调研测试
数学试题Ⅰ参考答案
一：
填空题
1．
2．
3．
4．0.175．56．77．208．
9．
10．
11．
12．
13．
14．
二：
解答题
15.解
（1）在
中，由余弦定理得：
，
所以
…………………………………………2分
，即
；…………………………………………6分
（2）因为
，且
为锐角，所以
，……8分
因为点A的横坐标为
，由三角函数定义可得：
，
因为
为锐角，所以
，…………………………10分
所以
，…………12分
，
所以点
。
……………………………………………………………………14分
16.证明：
（1）连结OE，因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，所以O为AC的中点，
又E为PC的中点，所以OE//PA，………………4分
因为OE
平面BDE，PA
平面BDE，
所以直线PA//平面BDE；…………………………6分
（2）因为OE//PA，PA⊥PD，所以OE⊥PD，……8分
因为OP=OC，E为PC的中点，所以OE⊥PC，……10分
又PC∩PD=P，PD
平面PCD，PC
平面PCD，
所以OE⊥平面PCD，………………………………12分
因为OE
平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD。
………………………………14分
17.解：
（1）由题意得：
，………………2分
解得：
，所以椭圆的标准方程为
；……4分
（2）由题意知OP的斜率存在，
当OP的斜率为0时，
，所以
=1，……6分
当OP的斜率不为0时，设直线OP的方程为
，
由
得：
，解得：
，所以
，
所以
，…………………………………………………………9分
因为
，所以直线OQ的方程为
，
由
得：
，所以
，……………………12分
所以
=
，
综上，可知
=1.………………………………………………14分
18.解：
（1）当
时，
，
所以
，即
，所以四边形MNPE为矩形，………………3分
所以四边形MNPE的面积为
；…………………………5分
（2）设
，由条件知：
，
，
，
，……8分
由
得：
，所以
解得：
，
所以四边形MNPE的面积为
………………………………………………………………12分
当且仅当
，即
，
时取“=”……14分
答：
当
时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，为
。
…16分
19.解：
（1）当
时，
，
所以
，…………………………2分
令
=0，得
，
当
时，
<0，当
时，
>0，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，
有最小值
；…………………………4分
（2）由
，得：
所以当
时，
，函数
在
上单调递减，
所以当
时，函数
在
上最多有一个零点，……………………6分
又当
时，
，
所以当
时，函数
在
上有零点，
综上，当
时，函数
有且只有一个零点；……………………8分
（3）由
（2）知：
当
时，函数
在
上最多有一个零点，
因为函数
有两个零点，所以
，……………………………………9分
由
，得：
令
，因为
，
所以函数
在
上有且只有一个零点，设为
，
当
时，
<0，
<0，当时
，
>0，
>0，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
要使得函数
在
上有两个零点，只需要函数
的最小值
，
即
，又因为
，
消去
得：
，
又因为
在
上单调递增，且
，所以
>1，
则
，因为
，所以
，
所以2
在
上单调递增，所以
，………………………………………13分
以下验证当
时，函数
有两个零点。
当
时，
，所以
，
因为
，且
，
所以函数
在
上有一个零点，
又因为
（因为
），且
，
所以函数
在
上有一个零点，
所以当
时，函数
在
上有两个零点。
综上，实数
的取值范围是
。
…………………………………………16分
（注：
的证明过程，同学不妨自己证明书写）
20.解：
（1）由已知可得：
成等比数列，所以
，…2分
整理得：
，因为
，所以
；………………………………4分
（2）设数列
为等比数列，则
，又因为
成等比数列，
所以
，
整理，得
，
因为
，所以
，
因为
，所以
=
，即
=1；………………………………6分
当
=1时，
，所以
，
又因为
，所以
，
所以
，数列
为等比数列，
综上，当
=1时，数列
为等比数列；……………………………………8分
（3）因为数列
为等比数列，由
（2）知：
=
，
，
因为对于任意
，不等式
恒成立，
所以不等式
，所以
，
即
恒成立，…………………………10分
下面证明：
对于任意的正实数
，总存在正整数
，使得
，
要证
，即证
，
因为
，则
，
解不等式
，即
，
可得
，所以
，
不妨取
，则当
时，原式得证，
所以
，所以
，即得
的取值范围是
。
…………16分
附加题
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