高中数学培优作业同步辅导 必修5第二章数列 含答案解析改好65页.docx

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高中数学培优作业同步辅导必修5第二章数列含答案解析改好65页

高中数学同步培优作业

同步培优作业

第二章　数　列

§2.1　数列的概念与简单表示法

（一）

课时目标

1．理解数列及其有关概念；

2．理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；

3．对于比较简单的数列，会根据其前n项写出它的通项公式．

1．按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n位的数称为这个数列的第n项．

2．数列的一般形式可以写成a1，a2，…，an，…，简记为{an}．

3．项数有限的数列称有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．

4．如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．

一、选择题

1．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为（　　）

A．an＝nB．an＝n＋1

C．an＝n＋2D．an＝2n

答案　B

2．已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列的前4项依次为（　　）

A．1,0,1,0B．0,1,0,1

C.，0，，0D．2,0,2,0

答案　A

3．若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是（　　）

A．an＝[1＋（－1）n－1]

B．an＝[1－cos（n·180°）]

C．an＝sin2（n·90°）

D．an＝（n－1）（n－2）＋[1＋（－1）n－1]

答案　D

解析　令n＝1,2,3,4代入验证即可．

4．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，则－8是该数列的（　　）

A．第5项B．第6项

C．第7项D．非任何一项

答案　C

解析　n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6（舍去）．

5．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是（　　）

A．an＝n2－n＋1B．an＝

C．an＝D．an＝n2＋1

答案　C

解析　令n＝1,2,3,4，代入A、B、C、D检验即可．排除A、B、D，从而选C.

6．设an＝＋＋＋…＋（n∈N*），那么an＋1－an等于（　　）

A.B.

C.＋D.－

答案　D

解析　∵an＝＋＋＋…＋

∴an＋1＝＋＋…＋＋＋，

∴an＋1－an＝＋－＝－.

二、填空题

7．已知数列{an}的通项公式为an＝.则它的前4项依次为____________．

答案　4,7,10,15

8．已知数列{an}的通项公式为an＝（n∈N*），那么是这个数列的第______项．

答案　10

解析　∵＝，

∴n（n＋2）＝10×12，∴n＝10.

9．用火柴棒按下图的方法搭三角形：

按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______________．

答案　an＝2n＋1

解析　a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴an＝2n＋1.

10．传说古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前570年—公元前500年）学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是______．

答案　55

解析　三角形数依次为：

1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为：

1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.

三、解答题

11．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：

（1）－1,7，－13,19，…

（2）0.8,0.88,0.888，…

（3），，－，，－，，…

（4），1，，，…

（5）0,1,0,1，…

解　

（1）符号问题可通过（－1）n或（－1）n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：

后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝（－1）n（6n－5）（n∈N*）．

（2）数列变形为（1－0.1），（1－0.01），

（1－0.001），…，∴an＝（n∈N*）．

（3）各项的分母分别为21,22,23,24，…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－，因此原数列可化为－，，－，，…，

∴an＝（－1）n·（n∈N*）．

（4）将数列统一为，，，，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16…即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，

∴可得它的一个通项公式为an＝（n∈N*）．

（5）an＝或an＝（n∈N*）

或an＝（n∈N*）．

12．已知数列；

（1）求这个数列的第10项；

（2）是不是该数列中的项，为什么？

（3）求证：

数列中的各项都在区间（0,1）内；

（4）在区间内有、无数列中的项？

若有，有几项？

若没有，说明理由．

（1）解　设f（n）＝

＝＝.

令n＝10，得第10项a10＝f（10）＝.

（2）解　令＝，得9n＝300.

此方程无正整数解，所以不是该数列中的项．

（3）证明　∵an＝＝＝1－，

又n∈N*，∴0<<1，∴0

∴数列中的各项都在区间（0,1）内．

（4）解　令

即.∴

又∵n∈N*，∴当且仅当n＝2时，上式成立，故区间上有数列中的项，且只有一项为a2＝.

能力提升

13．数列a，b，a，b，…的一个通项公式是______________________．

答案　an＝＋（－1）n＋1

解析　a＝＋，b＝－，

故an＝＋（－1）n＋1.

14．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有多少个点．

解　图

（1）只有1个点，无分支；图

（2）除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图（3）除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图（4）除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n个图中除中间一个点外，有n个分支，每个分支有（n－1）个点，故第n个图中点的个数为1＋n（n－1）＝n2－n＋1.

1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：

（1）确定性：

一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．

（2）可重复性：

数列中的数可以重复．

（3）有序性：

一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．

2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，…，它没有通项公式．

3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．例如：

数列－1,1，－1,1，－1,1，…的通项公式可写成an＝（－1）n，也可以写成an＝（－1）n＋2，还可以写成

an＝其中k∈N*.

§2.1　数列的概念与简单表示法

（二）

课时目标

1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；

2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项；

3．了解数列和函数之间的关系，能用函数的观点研究数列．

1．如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an与它的前一项an－1（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．

2．数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1,2,3，…，n}）的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值．

3．一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即an＋1>an，那么这个数列叫做递增数列．如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即an＋1

一、选择题

1．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是（　　）

A．递增数列B．递减数列

C．常数项D．不能确定

答案　A

2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是（　　）

A．an＋1＝an＋n，n∈N*

B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2

C．an＋1＝an＋（n＋1），n∈N*，n≥2

D．an＝an－1＋（n－1），n∈N*，n≥2

答案　B

3．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列第4项是（　　）

A．1B.C.D.

答案　B

4．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3…an＝n2，则：

a3＋a5等于（　　）

A.B.

C.D.

答案　C

解析　a1a2a3＝32，a1a2＝22，

a1a2a3a4a5＝52，a1a2a3a4＝42，

则a3＝＝，a5＝＝.

故a3＋a5＝.

5．已知数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2010的值为（　　）

A.B.C.D.

答案　C

解析　计算得a2＝，a3＝，a4＝，故数列{an}是以3为周期的周期数列，

又知2010除以3能整除，所以a2010＝a3＝.

6．已知an＝，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是（　　）

A．a1，a30B．a1，a9

C．a10，a9D．a10，a30

答案　C

解析　∵an＝

＝＋1

∴点（n，an）在函数y＝＋1的图象上，

在直角坐标系中作出函数y＝＋1的图象，

由图象易知

当x∈（0，）时，函数单调递减．

∴a9

当x∈（，＋∞）时，函数单调递减，

∴a10>a11>…>a30>1.

所以，数列{an}的前30项中最大的项是a10，最小的项是a9.

二、填空题

7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且有a1＝3,4Sn＝6an－an－1＋4Sn－1，则an＝________.

答案　3·21－n

8．已知数列{an}满足：

a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，（n∈N*），则使an>100的n的最小值是________．

答案　12

9．若数列{an}满足：

a1＝1，且＝（n∈N*），则当n≥2时，an＝________.

答案　

解析　∵a1＝1，且＝（n∈N*）．

∴··…·

＝···…·，

即an＝.

10．已知数列{an}满足：

an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N*，则实数λ的最小值是________．

答案　－3

解析　an≤an＋1⇔n2＋λn≤（n＋1）2＋λ（n＋1）

⇔λ≥－（2n＋1），n∈N*⇔λ≥－3.

三、解答题

11．在数列{an}中，a1＝，an＝1－（n≥2，n∈N*）．

（1）求证：

an＋3＝an；　

（2）求a2011.

（1）证明　an＋3＝1－＝1－

＝1－

＝1－＝1－＝1－

＝1－（1－an）＝an.

∴an＋3＝an.

（2）解　由

（1）知数列{an}的周期T＝3，

a1＝，a2＝－1，a3＝2.

又∵a2011＝a3×670＋1＝a1＝，∴a2011＝.

12．已知an＝（n∈N*），试问数列{an}中有没有最大项？

如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．

解　因为an＋1－an＝n＋1·（n＋2）－n·（n＋1）

＝n＋1·＝n＋1·，则

当n≤7时，n＋1·>0，

当n＝8时，n＋1·＝0，

当n≥9时，n＋1·<0，

所以a1a10>a11>a12>…，

故数列{an}存在最大项，最大项为a8＝a9＝.

能力提升

13．已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，则通项公式an＝________.

答案　－

解析　∵an＋1－an＝，

∴a2－a1＝；

a3－a2＝；

a4－a3＝；

…　　　…

an－an－1＝；

以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋

＝1－＋－＋…＋－

＝1－.

∴an＋1＝1－，∴an＝－.

14．设{an}是首项为1的正项数列，且（n＋1）·a－na＋an＋1an＝0（n＝1,2,3，…），则它的通项公式是________．

答案　

解析　∵（n＋1）a－na＋anan＋1＝0，

∴[（n＋1）an＋1－nan]·（an＋1＋an）＝0，

∵an>0，∴an＋an＋1>0，

∴（n＋1）an＋1－nan＝0.

方法一　＝.

∴····…·

＝····…·，

∴＝.

又∵a1＝1，∴an＝a1＝.

方法二　（n＋1）an＋1－nan＝0，

∴nan＝（n－1）an－1＝…＝1×a1＝1，

∴nan＝1，an＝.

函数与数列的联系与区别

一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．

另一方面，还要注意数列的特殊性（离散型），由于它的定义域是N*或它的子集{1,2，…，n}，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高（即an>an－1），则图象呈上升趋势，即数列递增，即{an}递增⇔an＋1>an对任意的n（n∈N*）都成立．类似地，有{an}递减⇔an＋1

§2.2　等差数列

（一）

课时目标

1．理解等差数列的概念．

2．掌握等差数列的通项公式．

1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．

2．若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，并且A＝.

3．若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an＝a1＋（n－1）d.

4．等差数列{an}中，若公差d>0，则数列{an}为递增数列；若公差d<0，则数列{an}为递减数列．

一、选择题

1．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为（　　）

A．2B．3

C．－2D．－3

答案　C

2．△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则角B等于（　　）

A．30°B．60°

C．90°D．120°

答案　B

3．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1（n∈N*），则a101的值为（　　）

A．49B．50

C．51D．52

答案　D

4．一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则等于（　　）

A.B.

C.D.

答案C

解析　∴a＝，b＝x.

∴＝.

5．设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（　　）

A．1B．2C．4D．6

答案　B

解析　设前三项分别为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝12且a（a－d）（a＋d）＝48，解得a＝4且d＝±2，又{an}递增，∴d>0，即d＝2，∴a1＝2.

6．等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是（　　）

A．an＝2n－2（n∈N*）

B．an＝2n＋4（n∈N*）

C．an＝－2n＋12（n∈N*）

D．an＝－2n＋10（n∈N*）

答案　D

解析　由⇒⇒

所以an＝a1＋（n－1）d，即an＝8＋（n－1）×（－2），

得an＝－2n＋10.

二、填空题

7．已知a＝，b＝，则a、b的等差中项是

________________________________________________________________________．

答案　

8．一个等差数列的前三项为：

a,2a－1,3－a.则这个数列的通项公式为________．

答案　an＝n＋1

解析　∵a＋（3－a）＝2（2a－1），∴a＝.

∴这个等差数列的前三项依次为，，.

∴d＝，an＝＋（n－1）×＝＋1.

9．若m≠n，两个等差数列m、a1、a2、n与m、b1、b2、b3、n的公差为d1和d2，则的值为________．

答案　

解析　n－m＝3d1，d1＝（n－m）．

又n－m＝4d2，d2＝（n－m）．

∴＝＝.

10．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是________．

答案　

解析　设an＝－24＋（n－1）d，

由解得：

三、解答题

11．已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．

解　设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题设得

∴　解得或所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.

12．已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－（n≥2），令bn＝.

（1）求证：

数列{bn}是等差数列；

（2）求数列{an}的通项公式．

（1）证明　∵an＝4－（n≥2），

∴an＋1＝4－（n∈N*）．

∴bn＋1－bn＝－＝－＝－＝＝.

∴bn＋1－bn＝，n∈N*.

∴{bn}是等差数列，首项为，公差为.

（2）解　b1＝＝，d＝.

∴bn＝b1＋（n－1）d＝＋（n－1）＝.

∴＝，∴an＝2＋.

能力提升

13．一个等差数列的首项为a1＝1，末项an＝41（n≥3）且公差为整数，那么项数n的取值个数是（　　）

A．6B．7C．8D．不确定

答案　B

解析　由an＝a1＋（n－1）d，得41＝1＋（n－1）d，

d＝为整数，且n≥3.

则n＝3,5,6,9,11,21,41共7个．

14．已知数列{an}满足a1＝，且当n>1，n∈N*时，有＝，设bn＝，

n∈N*.

（1）求证：

数列{bn}为等差数列．

（2）试问a1a2是否是数列{an}中的项？

如果是，是第几项；如果不是，请说明理由．

（1）证明　当n>1，n∈N*时，＝⇔＝

⇔－2＝2＋⇔－＝4⇔bn－bn－1＝4，且b1＝＝5.

∴{bn}是等差数列，且公差为4，首项为5.

（2）解　由

（1）知bn＝b1＋（n－1）d＝5＋4（n－1）＝4n＋1.

∴an＝＝，n∈N*.

∴a1＝，a2＝，∴a1a2＝.令an＝＝，

∴n＝11.

即a1a2＝a11，∴a1a2是数列{an}中的项，是第11项．

1．判断一个数列{an}是否是等差数列，关键是看an＋1－an是否是一个与n无关的常数．

2．由等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1、d、n、an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．

3．三个数成等差数列可设为：

a－d，a，a＋d或a，a＋d，a＋2d；四个数成等差数列可设为：

a－3d，a－d，a＋d，a＋3d或a，a＋d，a＋2d，a＋3d.

§2.2　等差数列

（二）

课时目标

1．进一步熟练掌握等差数列的通项公式．

2．熟练运用等差数列的常用性质．

1．等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d，当d＝0时，an是关于n的常函数；当d≠0时，an是关于n的一次函数；点（n，an）分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．

2．已知在公差为d的等差数列{an}中的第m项am和第n项an（m≠n），则＝d.

3．对于任意的正整数m、n、p、q，若m＋n＝p＋q.则在等差数列{an}中，am＋an与

ap＋aq之间的关系为am＋an＝ap＋aq.

一、选择题

1．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为（　　）

A．4B．6

C．8D．10

答案　C

解析　由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，

∴a6＝16，∴a7－a8＝（2a7－a8）

＝（a6＋a8－a8）＝a6＝8.

2．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan（a2＋a12）的值为（　　）

A.B．±

C．－D．－

答案　D

解析　由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，

∴a7＝.

∴tan（a2＋a12）＝tan（2a7）＝tan

＝tan＝－.

3．已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为（　　）

A．12B．8

C．6D．4

答案　B

解析　由等差数列性质a3＋a6＋a10＋a13＝（a3＋a13）＋（a6＋a10）＝2a8＋2a8＝4a8＝32，

∴a8＝8，又d≠0，

∴m＝8.

4．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7等于（　　）

A．14B．21

C．28D．35

答案　C

解析　∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，

∴a4＝4.∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝（a1＋a7）＋（a2＋a6）＋（a3＋a5）＋a4＝7a4＝28.

5．设公差为－2的等差数列{an}，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于（　　）

A．－182B．－78

C．－148D．－82

答案　D

解析　a3＋a6＋a9＋…＋a99

＝（a1＋2d）＋（a4＋2d）＋（a7＋2d）＋…＋（a97＋2d）

＝（a1＋a4＋…＋a97）＋2d×33

＝50＋2×（－2）×33

＝－82.

6．若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p（p≠q），则ap＋q为（　　）

A．p＋qB．0

C．－（p＋q）D.

答案　B

解析　∵d＝＝＝－1，

∴ap＋q＝ap＋qd＝q＋q×（－1）＝0.

二、填空题

7．若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝________.

答案　24

解析　∵a60＝a15＋45d，∴d＝，

∴a75＝a60＋15d＝20＋4＝24.

8．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝________.

答案　1

解析　∵a1＋a3＋a5＝105，∴3a3＝105，a3＝35.

∴a2＋a4＋a6＝3a4＝99.

∴a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2.

∴a20＝a4＋16d＝33＋16×（－2）＝1.

9．已知是等差数列，且a4＝6，a6＝4，则a10＝______.

答案　

解析　－＝－＝2d，即d＝.

所以＝＋4d＝＋＝，所以a10＝.

10．已知方程（x2－2x＋m）（x2－2x＋n）＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则

|m－n|＝________.

答案　

解析　由题意设这4个根为，＋d，＋2d，＋3d.

则＋＝2，∴d＝，∴这4个根依次为，，，，

∴n＝×＝，

m＝×＝或n＝，m＝，

∴|m－n|＝.

三、解答题

11．等差数列{an}的公差d≠0，试比较a4a9与a6a7的大小．

解