高中数学 211指数与指数幂的运算三教案 新人教A版必修1.docx

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高中数学211指数与指数幂的运算三教案新人教A版必修1

2019-2020年高中数学2.1.1指数与指数幂的运算（三）教案新人教A版必修1

（一）教学目标

1．知识与技能：

能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简，求值.

2．过程与方法：

通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质.

3．情感、态度、价值观

（1）培养学生观察、分析问题的能力；

（2）培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.

（二）教学重点、难点

1．重点：

运用有理指数幂性质进行化简，求值.

2．难点：

有理指数幂性质的灵活应用.

（三）教学方法

1.启发学生认识根式与分数指数幂实质是相同的.并能熟练应用有理指数幂的运算性质对根式与分数指数幂进行互化.

2.引导学生在化简求值的过程中，注意将根式转化为分数指数幂的形式和积累一些常用技巧.如凑完全平方、分解因式、化小数为分数等等.另外，在运用有理指数幂的运算性质化简变形时，应注意根据底数进行分类，以精简解题的过程.

（四）教学过程

教学

环节

教学内容

师生互动

设计意图

复习

引入

复习

1.分数指数幂的概念.

2.分数指数幂的运算性质.

师：

提出问题

生：

复习回顾

师：

总结完善

复习旧知，为新课作铺垫.

应用

举例

例1．（P56，例4）计算下列各式（式中字母都是正数）

（1）

（2）

例2．（P57例5）计算下列各式

（1）

（2）＞0）

课堂练习：

化简：

（1）；

（2）；

（3）.

学生思考，口答，教师板演、点评．

例1（先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析、提问、解答）

分析：

四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的.整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序.

我们看到

（1）小题是单项式的乘除运算；

（2）小题是乘方形式的运算，它们应让如何计算呢？

其实，第

（1）小题是单项式的乘除法，可以用单项式的运算顺序进行.

第

（2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算.

解：

（1）原式

=

=

=4

（2）原式=

=

例2分析：

在第

（1）小题中，只含有根式，且不是同类根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，同样，第

（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算.

解：

（1）原式=

=

=

=

=

（2）原式

=

.

小结：

运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数.

练习答案：

解

（1）原式=

=；

（2）原式=

=2；

（3）原式=

==.

通过这二个例题的解答，巩固所学的分数指数幂与根式的互化，以及分数指数幂的求值，提高运算能力．

强化解题技巧.

归纳

总结

1.熟练掌握有理指数幂的运算法则，化简的基础.

2.含有根式的式子化简，一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算.

先让学生回顾反思，然后师生共同总结，完善．

巩固本节学习成果，形成知识体系.

课后

作业

作业：

2.1第三课时习案

学生独立完成

巩固新知

提升能力

备选例题

例1已知，求下列各式的值.

【分析】从已知条件中解出a的值，然后再代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值.

【解析】

（1）将两边平方，

得

即

（2）将上式平方，有

（3）由于

【小结】对“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值.

例2化简

【分析】根据本题的特点，须注意到

，

，

应对原式进行因式分解.

【解析】原式

【小结】解这类题，要注意运用下列公式：

2019-2020年高中数学2.1.1指数与指数幂的运算

（二）全册精品教案新人教A版必修1

（一）教学目标

1．知识与技能

（1）理解分数指数幂的概念；

（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；

（3）掌握分数指数幂的运算性质；

（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.

2．过程与方法

通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质.

3．情感、态度与价值观

（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；

（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；

（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.

（二）教学重点、难点

1．教学重点：

（1）分数指数幂的理解；

（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；

2．教学难点：

分数指数幂概念的理解

（三）教学方法

发现教学法

1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.

2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.

（四）教学过程

教学

环节

教学内容

师生互动

设计意图

提出

问题

回顾初中时的整数指数幂及运算性质.

什么叫实数？

有理数，无理数统称实数.

老师提问，

学生回答.

学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课作好了知识上的准备.

复习

引入

观察以下式子，并总结出规律：

＞0

①

②

③

④

小结：

当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.

根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：

即：

老师引导学生“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）”联想“根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.”.从而推广到正数的分数指数幂的意义.

数学中引进一个新的概念或法则时，总希望它与已有的概念或法则是相容的.

形成

概念

为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：

正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.

即：

规定：

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.

说明：

规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是

学生计算、构造、猜想，允许交流讨论，汇报结论．教师巡视指导．

让学生经历从“特殊一一般”，“归纳一猜想”，是培养学生“合情推理”能力的有效方式，同时学生也经历了指数幂的再发现过程，有利于培养学生的创造能力．

深化

概念

由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：

（1）

（2）

（3）

若＞0，P是一个无理数，则P该如何理解？

为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P57——P58.

即：

的不足近似值，从由小于的方向逼近，的过剩近似值从大于的方向逼近.

所以，当不足近似值从小于的方向逼近时，的近似值从小于的方向逼近.

当的过剩似值从大于的方向逼近时，的近似值从大于的方向逼近，（如课本图所示）

所以，是一个确定的实数.

一般来说，无理数指数幂

是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.

思考：

的含义是什么？

由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：

让学生讨论、研究，教师引导．

通过本环节的教学，进一步体会上一环节的设计意图．

应用

举例

例题

例1（P56，例2）求值

；；；.

例2（P56，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（＞0）

；；.

分析：

先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.

解：

；

；

.

课堂练习：

P59练习第1，2，3，4题

补充练习：

1.计算：

的结果；

2.若

.

学生思考，口答，教师板演、点评．

例1解：

①

；

②

；

③

；

④

.

例2分析：

先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.

解：

；

；

.

练习答案：

1.解：

原式=

==512；

2.解：

原式=

=.

通过这二个例题的解答，巩固所学的分数指数幂与根式的互化，以及分数指数幂的求值，提高运算能力．

归纳

总结

1．分数指数是根式的另一种写法.

2．无理数指数幂表示一个确定的实数.

3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.

先让学生独自回忆，然后师生共同总结．

巩固本节学习成果，使学生逐步养成爱总结、会总结的习惯和能力．

课后

作业

作业：

2.1第二课时习案

学生独立完成

巩固新知

提升能力

备选例题

例1计算

（1）

（1）

；

【解析】

（1）原式

（2）原式=

=

=.

【小结】一般地，进行指数幂运算时，化负

指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的.

例2化简下列各式：

（1）

；

（2）

.

【解析】

（1）原式=

=

=

=

=；

（2）原式=

.

【小结】

（1）指数幂的一般运算步骤是：

有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.

（2）根据一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解.如

.

（3）利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，但不能既有根式又有分数指数幂.