高二数学试题精选淄博七中.docx

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高二数学试题精选淄博七中

淄博七中2018

c2018学年东省淄博七中高二（上）期末数学试卷（科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题10个小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．设a＞b，不等式

（1）a2＞b2，

（2）＞，（3）＞能成立的个数为（）

A．0B．1c．2D．3

【考点】不等关系与不等式．

【分析】通过反例判断

（1）

（2）的正误；通过a，b的取值判断（3）的正误．

【解答】解因为a＞b，不妨a=1，b=﹣2，显然

（1）a2＞b2，不正确；

令a=1，b=01，则=1，，不满足

（2）＞，所以

（2）不正确；

令a=1，b=﹣1，所以=，=1，不满足（3）＞，所以（3）不正确；

故选A．

2．如果关于x的不等式ax2+bx﹣2＜0的解集是{x|x＜﹣2或x＞﹣1}，那么关于x的不等式2x2+bx﹣a＜0的解集为（）

A．（﹣1，）B．（﹣1，﹣）c．（，1）D．（﹣，1）

【考点】一元二次不等式的解法．

【分析】由条利用韦达定理求得a和b的值，则要解的不等式即2x2﹣3x+1＜0，由此求得它的解集．

【解答】解由条利用韦达定理可得﹣2（﹣1）=，a=﹣1，﹣2﹣1=，b=﹣3

要解的不等式即2x2﹣3x+1＜0，解得＜x＜1．

故选c

3．已知命题px∈R，x2+x﹣1＜0，则￢p为（）

A．x∈R，x2+x﹣1＞0B．x∈R，x2+x﹣1≥0

c．xR，x2+x﹣1≥0D．xR，x2+x﹣1＞0

【考点】命题的否定．

【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．

【解答】解命题为特称命题，则￢p为x∈R，x2+x﹣1≥0，

故选B

4．已知等差数列{an}的差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）

A．﹣4B．﹣6c．﹣8D．﹣10

【考点】等差数列的性质．

【分析】利用等差数列{an}的差为2，a1，a3，a4成等比数列，求出a1，即可求出a2．

【解答】解∵等差数列{an}的差为2，a1，a3，a4成等比数列，

∴（a1+4）2=a1（a1+6），

∴a1=﹣8，

∴a2=﹣6．

故选B．

5．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上的点P（，﹣3）到焦点的距离等于5，则等于（）

A．2B．±2c．±D．±2

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】由题意可设抛物线的方程为x2=﹣2p．其准线方程为=．由于抛物线上的点P（，﹣3）到焦点的距离等于5，可得，解得p=4．可得抛物线的方程为x2=﹣8．把点P（，﹣3）代入即可解得．

【解答】解由题意可设抛物线的方程为x2=﹣2p．

其准线方程为=．

∵抛物线上的点P（，﹣3）到焦点的距离等于5，

∴，解得p=4．

∴抛物线的方程为x2=﹣8．

把点P（，﹣3）代入可得2=﹣8×（﹣3），

解得=．

故选D．

6．在△ABc中，若a=7，b=3，c=8，则其面积等于（）

A．12B．c．28D．

【考点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理．

【分析】已知三条边长利用余弦定理求得csc=，再利用同角三角函数的基本关系求得sinc=，代入△ABc的面积式进行运算．

【解答】解在△ABc中，若三边长分别为a=7，b=3，c=8，

由余弦定理可得64=49+9﹣2×7×3csc，

∴csc=，

∴sinc=，

∴S△ABc==，

故选D．

7．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若=，则=（）

A．B．c．D．

【考点】等差数列的性质．

【分析】利用等差数列的性质求得，然后代入=即可求得结果．

【解答】解∵=

∴==

故选B．

8．在下列结论中，正确的是（）

①“x=﹣2”是“x2+3x+2=0”的充分不必要条；

②“a＞b”是“a2＞b2”的充分条；

③“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条；

④“a，b是无理数”是“a+b是无理数”的充要条．

A．①②B．①③c．②④D．③④

【考点】必要条、充分条与充要条的判断．

【分析】①由x2+3x+2=0解得x=﹣1，﹣2．即可判断出；

②“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不条；

③“ab≠0”a≠0，反之不成立，例如a≠0，b=0时，ab=0；

④a，b是无理数，a+b可能是有理数，例如π+（﹣π）=0；反之也不成立，例如2+π是无理数，但是2是有理数．

【解答】解①由x2+3x+2=0解得x=﹣1，﹣2．∴“x=﹣2”是“x2+3x+2=0”的充分不必要条，正确；

②“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不条，不正确；

③“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条，正确；

④a，b是无理数，a+b可能是有理数，例如π+（﹣π）=0；反之也不成立，例如2+π是无理数，但是2是有理数．因此“a，b是无理数”是“a+b是无理数”的既不充分也不必要条．

综上可得只有①③正确．

故选B．

9．等轴双曲线c的中心在原点，焦点在x轴上，c与抛物线2=16x的准线交于A，B两点，，则c的实轴长为（）

A．B．c．4D．8

【考点】圆锥曲线的综合．

【分析】设等轴双曲线cx2﹣2=a2（a＞0），2=16x的准线lx=﹣4，由c与抛物线2=16x的准线交于A，B两点，，能求出c的实轴长．

【解答】解设等轴双曲线cx2﹣2=a2（a＞0），

2=16x的准线lx=﹣4，

∵c与抛物线2=16x的准线lx=﹣4交于A，B两点，

∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），

将A点坐标代入双曲线方程得=4，

∴a=2，2a=4．

故选c．

10．设x，满足条，若目标函数z=ax+b（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为（）

A．B．c．D．4

【考点】基本不等式在最值问题中的应用；简单线性规划的应用；基本不等式．

【分析】先根据条画出可行域，设z=ax+b，再利用几何意义求最值，将最大值转化为轴上的截距，只需求出直线z=ax+b，过可行域内的点（4，6）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．

【解答】解不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，

当直线ax+b=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣+2=0与直线3x﹣﹣6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+b（a＞0，b＞0）取得最大12，

∴4a+6b=12，即2a+3b=6，

∴=（）×=（12+）≥4

当且仅当时，的最小值为4

故选D．

二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在答题纸横线上）

11．双曲线﹣=1的渐近线方程为=±x．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】由双曲线﹣=1的渐近线方程为=x，求出a，b即可得到渐近线方程．

【解答】解双曲线﹣=1的a=6，b=3，

由于渐近线方程为=x，

即为=±x．

故答案为=±x．

12．已知数列{an}的通项式an=，若它的前n项和为10，则项数n为120．

【考点】数列递推式；数列的求和．

【分析】由题意知an=，所以Sn=（﹣）+（﹣）+（）=﹣1，再由﹣1=10，可得n=120．

【解答】解∵an==

∴Sn=（﹣）+（﹣）+（）

=﹣1

∴﹣1=10，解得n=120

答案120

13．已知函数f（x）=csx，则f（π）+f′（）=．

【考点】导数的运算．

【分析】利用积的导数式先求出函数f（x）的导数，然后代入求解即可．

【解答】解∵f（x）=csx，

∴f’（x）=，

∴=．

又f（π）=，

∴f（π）+f′（）=．

故答案为．

14．已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，F1，F2分别是它的左、右焦点，A是椭圆上一点，且=0，||=||，则椭圆的离心率为．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】由题意，=0，可得⊥，||=，利用||=||，可得2c=×，即可求出椭圆的离心率．

【解答】解由题意，=0，可得⊥，∴||=，

∵||=||，

∴2c=×，

∴3ac=2（a2﹣c2），

∴2e2+3e﹣2=0，

∴e=．

故答案为

15．如图，在顶铁塔上B处测得一点铁A的俯角为α，在塔底c处测得A处的俯角为β，若铁塔高为米，则高cD为．

【考点】解三角形的实际应用．

【分析】为了求高，先求Ac，在△ABc中，利用正弦定理可求．

【解答】解由已知，在△ABc中，∠BAc=α﹣β，∠ABc=﹣α，

由正弦定理，得

∴Ac=，

∴cD=Acsinβ=．

故答案为．

三、解答题（本大题共6个小题，共75分．解答应写出字说明、证明过程或演算步骤）

16．锐角△ABc中，边a，b是方程x2﹣2x+2=0的两根，角A，B满足sinAcsB+csAsinB=，求

（Ⅰ）角c的大小；

（Ⅱ）边c的长度及△ABc的面积．

【考点】正弦定理；余弦定理．

【分析】（Ⅰ）由sinAcsB+csAsinB=，得sin（A+B）=，由△ABc为锐角三角形，可得A+B=120°，即可求∠c．

（Ⅱ）由题意a+b=2，ab=2，由余弦定理可求得c2=6，从而可求边c的长度及△ABc的面积．

【解答】解（Ⅰ）由sinAcsB+csAsinB=，得sin（A+B）=…2分

∵△ABc为锐角三角形，

∴A+B=120°，

∴∠c=60°…5分

（Ⅱ）∵a，b是方程x2﹣2x+2=0的两根，

∴a+b=2，ab=2…7分

∴c2=a2+b2﹣2abcsc=（a+b）2﹣3ab=12﹣6=6…9分

∴c=…10分

∴S△ABc=absinc==…12分

17．已知函数f（x）=x3+alnx

（Ⅰ）当a=1时，求曲线=f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程；

（Ⅱ）当a=0时，求曲线=f（x）过点（1，f

（1））处的切线方程．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；

（Ⅱ）设出切点（，n），求得切线的斜率和方程，代入点（1，1）可得，n的值，即可得到所求切线的方程．

【解答】解（I）由函数f（x）=x3+lnx，f

（1）=1，

，f’

（1）=4，

所以在（1，f

（1））处的切线方程为﹣1=4（x﹣1），即4x﹣﹣3=0；

（II）函数f（x）=x3，f’（x）=3x2，

设过（1，1）的直线与曲线相切于（，n），

则切线方程为﹣1=32（x﹣1），

所以，得或，

所求切线方程为3x﹣﹣2=0，3x﹣4+1=0．

18．已知命题px0∈R，使得ax02﹣2x0﹣1＞0成立；命题q函数=lga（x+1）在区间（0，+∞）上为减函数；

（1）若命题￢p为真命题，求实数a的取值范围；

（2）若命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

【考点】复合命题的真假．

【分析】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．

【解答】解

（1）∵命题px0∈R，使得成立

∴￢px∈R，ax2﹣2x﹣1≤0成立

∴①a≥0时ax2﹣2x﹣1≤0不恒成立

②由得a≤﹣1

（2）∵命题q函数=lga（x+1）在区间（0，+∞）上为减函数

∴命题q为真，实数a的取值范围是0＜a＜1

∵命题“p或q”为真，且“p且q”为假，

∴命题p、q一真一假

①当p真q假时，则，得实数a的取值范围，﹣1＜a≤0或a≥1

②当p假q真时，则，实数a的取值范围无解

∴实数a的取值范围是﹣1＜a≤0或a≥1

19．某投资商到一开发区投资72万元建起了一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f（n）表示前n年的纯利润总和，（f（n）=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资额72万元）．

（Ⅰ）该厂从第几年开始盈利？

（Ⅱ）该厂第几年年平均纯利润达到最大？

并求出年平均纯利润的最大值．

【考点】函数模型的选择与应用；函数最值的应用．

【分析】（I）每年的支出构成一个等差数列，每年的收入是一个常数列，故根据f（n）=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资额72万元，可建立函数关系；

（II）求出年平均纯利润，再利用基本不等式，即可求得年平均纯利润的最大值．

【解答】解（I）依题意，根据f（n）=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资额72万元

可得f（n）=50n﹣[12n+×4]﹣72=﹣2n2+40n﹣72

由f（n）＞0，即﹣2n2+40n﹣72＞0

解得2＜n＜18

由于n∈N+，故从第三年开始赢利．

（II）年平均纯利润

∵

∴

∴

当且仅当n=6时等号成立，此时年平均纯利润最大值为16万元，

即第6年，投资商年平均纯利润达到最大，年平均纯利润最大值16万元．

20．设数列{an}的前n项和为

（Ⅰ）求a1，a2

（Ⅱ）设=an+1﹣2an，证明数列{}是等比数列

（Ⅲ）求数列的前n项和为Tn．

【考点】数列的求和；等比关系的确定．

【分析】（Ⅰ）令n=1得到s1=a1=2并推出an，令n=2求出a2，s2得到a3推出a4即可；

（Ⅱ）由已知得an+1﹣2an=（Sn+2n+1）﹣（Sn+2n）=2n+1﹣2n=2n即为等比数列；

（III）将代入数列的前n项和Tn，利用错位相减法即可求得结果．

【解答】解（Ⅰ）∵a1=S1，2a1=S1+2，

∴a1=2，S1=2，

由2an=Sn+2n知，2an+1=Sn+1+2n+1=an+1+Sn+2n+1

得an+1=sn+2n+1①，

∴a2=S1+22=2+22=6；

（Ⅱ）由题设和①式知an+1﹣2an=（Sn+2n+1）﹣（Sn+2n）=2n+1﹣2n=2n，

即=2n，

∴=2（常数），

∴{}是首项为2，比为2的等比数列．

（Ⅲ）∵=an+1﹣2an=2n，

∴=，

∴数列的前n项和Tn=+++…+，

Tn=+++…++，

相减得Tn=++…+﹣=+﹣=﹣﹣，

∴Tn=．

21．已知椭圆的左焦点F为圆x2+2+2x=0的圆心，且椭圆上的点到点F的距离最小值为．

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A、B，点（），证明为定值．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量的坐标运算；椭圆的标准方程．

【分析】（I）先求出圆心坐标，再根据题意求出a、b，得椭圆的标准方程．

（II）根据直线的斜率是否存在，分情况设直线方程，再与椭圆方程联立方程组，设出交点坐标，结合韦达定理根与系数的关系，利用向量坐标运算验证．

【解答】解（I）∵圆x2+2+2x=0的圆心为（﹣1，0），依据题意c=1，a﹣c=﹣1，∴a=．

∴椭圆的标准方程是+2=1；

（II）①当直线L与x轴垂直时，L的方程是x=﹣1，

得A（﹣1，），B（﹣1，﹣），

=（，）（，﹣）=﹣．

②当直线L与x轴不垂直时，设直线L的方程为=（x+1）

（1+22）x2+42x+22﹣2=0，

设A（x1，1），B（x2，2），则x1x2=，x1+x2=﹣，

=（x1+，1）（x2+，2）=x1x2+（x1+x2）++2（x1x2+x1+x2+1）

=（1+2）x1x2+（2+）（x1+x2）+2+=（1+2）（）+（2+）（﹣）+2+

=+=﹣2+=﹣

综上为定值﹣．

2018年8月5日

c