《运筹学线性规划》部分练习题.docx
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《运筹学线性规划》部分练习题
《运筹学》线性规划部分练习题
一、思考题
1.什么是线性规划模型,在模型中各系数的经济意义是什么?
2.线性规划问题的一般形式有何特征?
3.建立一个实际问题的数学模型一般要几步?
4.两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么?
5.求解线性规划问题时可能出现几种结果,那种结果反映建模时有错误?
6.什么是线性规划的标准型,如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。
7•试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它
们之间的相互关系。
8•试述单纯形法的计算步骤,如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个
最优解、无界解或无可行解。
9.在什么样的情况下采用人工变量法,人工变量法包括哪两种解法?
10.大M法中,M的作用是什么?
对最小化问题,在目标函数中人工变量的系数取什么?
最大化问题呢?
11•什么是单纯形法的两阶段法?
两阶段法的第一段是为了解决什么问题?
在怎样的情况下,继续第二阶段?
二、判断下列说法是否正确。
1.线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。
2.线性规划的可行解集是凸集。
3.如果一个线性规划问题有两个不同的最优解,则它有无穷多个最优解。
4.线性规划模型中增加一个约束条件,可行域的范围一般将缩小,减少一个约束条件,可行域的范围一般将扩大。
5.线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。
6.如果一个线性规划问题有可行解,那么它必有最优解。
7.用单纯形法求解标准形式(求最小值)的线性规划问题时,与''j'0对应的变量都可以被选作换入变量。
8.单纯形法计算中,如不按最小非负比值原则选出换出变量,则在下一个解中至少有一
个基变量的值是负的。
9.单纯形法计算中,选取最大正检验数二k对应的变量xk作为换入变量,可使目
标函数值得到最快的减少。
10.一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后,该变量及相应列的数字可以从单纯形
表中删除,而不影响计算结果。
三、建立下面问题的数学模型
1.某公司计划在三年的计划期内,有四个建设项目可以投资:
项目I从第一年到
第三年年初都可以投资。
预计每年年初投资,年末可收回本利120%,每年又可以重新
将所获本利纳入投资计划;项目n需要在第一年初投资,经过两年可收回本利150%,
又可以重新将所获本利纳入投资计划,但用于该项目的最大投资额不得超过20万元;项
目川需要在第二年年初投资,经过两年可收回本利160%,但用于该项目的最大投资额
不得超过15万元;项目"需要在第三年年初投资,年末可收回本利140%,但用于该项
目的最大投资额不得超过10万元。
在这个计划期内,该公司第一年可供投资的资金有
30万元。
问怎样的投资方案,才能使该公司在这个计划期获得最大利润?
2.某饲养场饲养动物,设每头动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、
100克维生素。
现有五种饲料可供选用,各种饲料每公斤营养成分含量及单
价如下表2—1所示:
表2—1
饲料
蛋白质(克)
矿物质(克)
维生素(毫克)
价格(元/公斤)
1
3
1
0.5
0.2
2
2
0.5
1.0
0.7
3
1
0.2
0.2
0.4
4
6
2
2
0.3
5
12
0.5
0.8
0.8
要求确定既满足动物生长的营养要求,又使费用最省的选择饲料的方案。
设有某种原料的三个产地为A1,A2,A3,把这种原料经过加工制成成品,再运往销售地。
假设用4吨原料可制成1吨成品,产地A年产原料30万吨,同时需要成品7万吨;产地A2年产原料26万吨,同时需要成品13万吨;产地A3年产原料24万吨,不需要成品。
又知A1与A2间距离为150公里,A1与A3间距离为100公里,A2与A3间距离为200公里。
原料运费为3千元/万吨公里,成品运费为2.5千元/万吨公里;在A1开设工厂加工费为5.5千元/万吨,在A2开设工厂加工费为4千元/万吨,在A3开设工厂加工费为3千元/万吨;又因条件限制,在A2设厂规模不能超过年产成品5
万吨,A1与A3可以不限制(见表2――2),问应在何地设厂,生产多少成品,才使生产费用(包括原料运费、成品运费和加工费)最少?
表2—2
距\产
地
产地、
A1
A2
A3
产原料数
(万吨)
加工费
(千元/万吨)
A1
0
150
100
30
5.5
A2
150
0
200
26
4
A3
100
200
0
24
3
需成品数
(万吨)
7
13
0
4某旅馆每日至少需要下列数量的服务员.(见表2—3)每班服务员从开始上班到下班连续
工作八小时,为满足每班所需要的最少服务员数,这个旅馆至少需要多少服务员。
表2一3
班次
时1
间(日
夜服务)
最少服务员人数
1
上午
6点一
上午10点
80
2
上午
10点一
-下午2点
90
3
下午
2点一
下午6点
80
4
下午
6点一
夜间10点
70
5
夜间
10点—
夜间2点
40
6
夜间
2点一
上午6点
30
5.某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。
农场劳动力情况为秋冬季
3500人日;春夏季4000人日。
如劳动力本身用不了时可外出打工,春秋季收入为25元
/人日,秋冬季收入为20元/人日。
该农场种植三种作物:
大豆、玉米、小麦,并饲
养奶牛和鸡。
种作物时不需要专门投资,而饲养每头奶牛需投资800元,每只鸡投资3
元。
养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲料,并占用人工秋冬季为100人日,春夏季
为50人日,年净收入900元/每头奶牛。
养鸡时不占用土地,需人工为每只鸡秋冬季
0.6人日,春夏季为0.3人日,年净收入2元/每只鸡。
农场现有鸡舍允许最多养1500
只鸡,牛栏允许最多养200头。
三种作物每年需要的人工及收入情况如表2—4所示
表2—4
大豆
玉米]
麦子
秋冬季需人日数
20
35
10
春夏季需人日数
50
75
40
年净收入(元/公顷)
3000
4100
4600
试决定该农场的经营方案,使年净收入为最大。
6.市场对I、n两种产品的需求量为:
产品I在1—4月份每月需1万件,5—9月份
每月需3万件,10—12月份每月需10万0件;产品H在3—9月份每月需1.5万件,其它每月需5万件。
某厂生产这两种产品的成本为:
产品I在1—5月份内生产时每件
5元,6—12月份内生产时每件4.50元;产品H在在1—5月份内生产时每件8元,6—12月份内生产时每件7元;该厂每月生产两种产品能力总和不超过12万件。
产品
I容积每件0.2立方米,产品n容积每件0.4立方米。
该厂仓库容积为1万5千立方米,要求:
(1)说明上述问题无可行解;
(2)若该厂仓库不足时,可从外厂租借。
若占用本
厂仓库每月每立方米需1元,而租用外厂仓库时上述费用增加为1.5元,试问在满足市
场需求情况下,该厂应如何安排生产,使总的生产加库存费用最少?
(建立模型,不求解)
7.某工厂I、n、川三种产品在下一年个季度的合同预定数如表2—5所示,该三种产品
第一季度初无库存,要求在在第四季度末每种产品的库存为150件。
已知该厂每季度生产工
时为15000小时,生产产品I、n、川每件需3,4,3小时。
因更换工艺装备,产品I在第二季度无法生产。
规定当产品不能按期交货时,产品I、n每件每迟交一个季度赔偿20元,
产品川赔偿15元,又生产出来的产品不在本季度交货的,每件每季度的库存费为5元。
问
应如何安排生产,使总的赔偿加库存费用最小。
表2—5
含口
产口仃
季
度
1
2
3
4
I
1500
1000
2000
1200
n
1500
1500
1200
1500
出
1500
2000
1500
2500
&某玩具厂生产I、n、川三种玩具,这三种玩具需在A、E、C三种机器上加工,每60
个为一箱。
每箱玩具在不同的机器上加工所需的时间(天)如表2—6所示,本月可供使
用的机器的时间为:
A为15天,E为20天,C为24天。
每箱玩具的价格为I:
1500元;
n:
1700元;川:
2400元。
问怎样安排生产,使总的产值最大。
表2一6
加工天数
机器
A
B
C
玩具I
2
6
1
玩具n
3
2
2
玩具川
5
2
一
9•某线带厂生产A、E两种纱线和C、D两种纱带,纱带由纱线加工而成。
这四种产品的
产值,可变成本(即材料、人工等随产品数量变化的直接费用),加工工时等由表2—7给
出,工厂有供纺纱的总工时7200h,织带的总工时1200h
(1)列出线性规划模型,以便确定产品数量,使总的利润最大。
(2)如果组织这次生产的固定成本(即与产品数量无关的间接费用)为20万元,线性
规划模型有何变化?
表2—7
项目
A
B
C
D
单位产值(元)
168
140
1050
406
单位可变成本(兀)
42
28
350
140
单位纺纱工时(h)
3
2
10
4
单位织带工时(h)
0
0
2
0.5
10.某制衣厂生产4种规格的出口服装,有三种制衣机可以加工这4种服装,他们的生
产效率(每天制作的服装件数)等有关数据如表2—8所示,试确定各种服装的生产数量,使总的加工费用最小。
表2—8
衣服规格
制衣机
需要生产数量(件)
A
B
C
I
300
600
800
10000
n
280
450
700
9000
出
200
350
680
7000
IV
150
410
450
8000
每天加工费
(元)
80
100
150
11.某制衣厂生产两种服装,现有100名熟练工人。
已知一名熟练工人每小时生产10件服
装I或6件服装n。
据销售部门消息,从本周开始,这两种服装的需求量将持续上升。
见表
2—9,为此,该厂决定到第8周末需培训出100名新工人,两班生产。
已知一名工人一周工作40小时,一名熟练工人每周时间可培训出不多余5名的新工人(培训期间熟练工人和
培训人员不参加生产)熟练工人每周工资400元,新工人在培训期间工资每周80元,培训
合格后参加生产每周工资260元,生产效率同熟练工人。
在培训期间,为按期交货,工厂安
排部分工人加班生产每周工作50小时,工资每周600元。
又若所定的服装不能按期交货,
每推迟交货一周的赔偿费为:
服装I每件10元,服装n每件20元。
工厂应如何安排生产,
使各项费用总和最少。
表2—9(单位:
千件/周)
周次
服装、\
1
2
3
4
5
6
7
8
I
20
20
24
25
33
34
40
42
n
12
14
17
22
22
25
25
25
12•某家具制造厂生产五种不同规格的家具。
每种家具都要经过机械成型、打磨、上漆几种主要工序。
每种家具的每道工序所用时间及每道工序的可用时间,每种家具的利润由表2—
10给出。
问工厂应如何安排生产,使总的利润最大?
表2—10
生产工序
所需时间
(小时)
每道工序
-一-
-二二
四
五
可用时间
成型
3
4
6
2
3
3600
打磨
4
3
5
6
4
3950
上漆
2
3
3
4
3
2800
利润(百元)
2.7
3
4.5
2.5
3
13.某混合饲料场饲养为某种动物配置。
已知此动物的生长速度和饲料中的三种营养成分甲、
乙、丙有关,且每头动物每天需要营养甲85克,乙5克,丙18克。
现有五种饲料都含有这三种营养成分,每种饲料每公斤所含营养成分及每种饲料成本如表2—11所示,求即满足
动物成长需要又使成本最低的饲料配方。
表2—11
饲料
营养甲(克)
营养乙(克)
营养丙(克)
成本(元)
1
0.50
0.10
0.08
2
2
2.00
0.06
0.70
6
3
3.00
0.04
0.35
5
4
1.50
0.15
0.25
4
5
0.80
0.20
0.02
3
投资所得的收益及银行所得利息也可用于投资.求使公司在第五年底收回资金最多的投
资方案.
16.某工厂生产I、n、川、w四种产品,产品I需依次经过aB两种机器加工,产品n需
依次经过AC两种机器加工,产品川需依次经过B、C两种机器加工,产品W需依次经过AB机器加工。
。
有关数据如表2—12所示,请为该厂制定一个最优生产计划。
表2—12
产品
机器生产率(件/小时)
原料成本
(元)
产品价格(元)
A
B
C
I
10
20
16
65
n
20
10
25
80
出
10
15
12
50
w
20
10
18
70
机器成本(元/小时)
200
150
225
每周可用小时数
150
120
70
四、用图解法解下列线性规划
1.
maxZ=x12x2
2.
maxZ二2x12x2
X〔一X?
3-1
*一0.5X[+x2兰2
x1,x^0
4minZ=2X[-10x2
'-x2兰2
<3X[—x?
_5
x1,x20
6maxZ=旳x2
3x15x2_15
«6X[+2x2<12
x1,x2色0
3minZ=2x13x2
%+3x2兰3
«X[+x22
iX[,x230
5maxZ=3x19x2
X+3x2兰32
—X[+x2兰4
*x2兰6
2x〔-5x2乞0
X1,X2-0
五、用单纯形法解下列线性规划问题。
(1)maxZ二2x〔_x2x3
'3X]+x2+x3兰60
X[—x2+2x3兰10
X[x2_x3岂20
为公2公3-0
⑶maxZ=3X[x23x3
2X[+x2+x3兰2
x12x23X3岂5
2x12x2x3乞6
X1,X2,X3一0
⑸maxZ二x12x23x3_x4
'X[+2x2+3x3=15
』2X[+x2+5x3=20
X[+x2+x3+x4=10M,X2,X3,X4A0
⑺maxZ=6旳x2_x3x4
人+2x2+x3=15
2x15x3=18
2X[+4x2+x3+x4=10
“,X2,X3,X4z0
(9)minZ=3x「2x24x38x4
X[+2x2+5X3+6X4艺8«—2X[+5x2+3x3—5x4兰3,Xi,X2,X3,X4KO(伯)maxZ=2X[3x2_x3x4『X[_x2+2x3+x439
2x2+x3-x4兰5
<_2xi+X2—3X3+X4兰_1
x1+x3>3
Xi,X2,X3,X4一0
X[+4x2+x3兰6
«2X[+x2+3x332
x1,x^,x3符号不限
(12)maxZ=5x13x26x3
'X[+2x2+x3兰18
2X[+x2+3x3兰16
1为+x2+x3=10
X[,x2_0,x3符号不限
六、表2—13中给出求极大化问题的单纯形表,问表中ai,a2,C1,C2,d为何值时以及表中
变量属于哪一种类型时有:
(1)表中解为唯一最优解;
(2)表中解为无穷多最优解之一;
(3)表中解为退化的可行解;(4)下一步迭代将以X1代替基变量X5;
(5)该线性规划问题具有无界解;(6)该线性规划问题无可行解。
表2—13
Xb
b
X1
X2
X3
X4
X5
X3
d
4
a1
1
0
0
X4
2
—1
0
1
0
3
a2
—5
—3
0
0
1
X5
Cj-
zj
C1
C2
0
0
0
七、某医院的护士分四个班次,每班工作12h。
报到的时间分别是早上6点,中午12点,
下午6点,夜间12点。
每班需要的人数分别为19人,21人,18人,16人。
问:
(1)每天最少需要派多少护士值班?
(2)如果早上6点上班和中午12点上班的人每月有120元加班费,下午6点和夜间12点上班的人每月分别有100元和150元加班费,如何安排上班人数,使医院支付的加班费最少?
八、某石油公司有两个冶炼厂。
甲厂每天可生产高级、中级和低级的石油分别为200,300
和200桶,乙厂每天可生产高级、中级和低级的石油分别为100,200和100桶。
公司需要
这三种油的数量分别为14000,24000和14000桶。
甲厂每天的运行费是5000元,乙厂是
4000元。
问:
(1)公司应安排这两个厂各生产多少天最经济?
(2)如甲厂的运行费是2000元,乙厂是5000元。
公司应如何安排两个厂的生产。
列出线性规划模型并求解。
《运筹学》习题解答
第二章线性规划模型及其单纯形法
二、
(1)X⑵V(3)V(4)V(5)X⑹X(7)V(8)丸9)X(10)V
1解:
设决策变量x11,x12分别表示第一年投资到项目I、n的资金额;X21,X23分别表
示第二年投资到项目I、川的资金额;X31,X34分别表示第三年投资到项目I、w的资
金额。
则得线性规划模型如下:
maxZ=0.2x“0.2x210.2x310.5x120.6x230.4x34
X11+X12—300000
—0.2X[i+X21+X12*X23—300000
-0.2x〔i-0.2x21+X31—0.5x〔2+X23+X34兰300000
“x12<200000
x23<150000
x34兰100000
、X11,X21,X31,X12,X23,X340
2.解:
设五种饲料分别选取X1,X2,x3,X4,X5公斤,则得下面的数学模型:
minZ=0.2x10.7x20.4x30.3x40.8x5
'3X[+2x2+x3+6X4+12x5>700
X[+0.5x2+0.2x3+2x4+0.5x5兰30
0.5X[+x2+0.2x3+2x4+0.8x5^100
、、Xj^0(j=123,4,5)
;
3•解:
设xij表示由Ai运往Aj的原料数(单位:
万吨)(i,j=1,2,3)。
其中i=j时,表示Ai留用数;yij表示由Ai运往Aj的成品数(单位:
万吨)(i,j"2,3)。
其中i=j时,表示Ai留用数;zi表示在Ai设厂的年产成品数(单位:
万吨)(1,2,3)。
则这一问题的数学模型为:
minZ=3(x12X13X21X23X31X32)2.5(y12y13y21
y23『31『32)5.5^4z?
g
X11
x12x13=30
X21
■X22'X23=13
X31
x32x33-24
X11
X21X31=4乙
X12
x22x32二4z2
X13
X23X33二4Z3
yn
y12%3二Z1
y21
y22y23二Z2
y31
y32y33Z3
yn
『21『31=7
y12
y22y32=13
Z2乞
5
Xij_O,yij—O,Zj-0(i,j=1,2,3)
4•解:
设Xi(i=1,2,3,4,5,6)为第i班开始上班的服务员人数。
则数学模型:
minL=x1x2x3x4x5x6
X6
X1
-80
X1
X2
-90
X2
X3
-80
X3
X4
-70
X4
X5
-40
X5
X6
-30
Xj
-0
(jJ,6)
5.用xl,x2,x3分别表示大豆、玉米、麦子的种植公顷数;x4,x5分别表示奶牛和鸡的饲
养数;x6,x7分别表示秋冬季和春夏季的劳动力(人日)数,则有
maxZ=3000xr4100x24600x3900x420x520x625x7
为+x2+x3+1.5x4<100(土地限制)
400x4+3x5<15000(资金限制)
20为+35x2+10x3+100x4+0.6%+x6兰3500(劳动力限制)
巧0为+175x2+40x3+50x4+0.3%+x7兰4000(劳动力限制)
x4<200(牛栏限制)
x5<1500(鸡舍限制)
、XjA。
(j=1,2,…,7)
6•解:
(1)因为10—12月份市场需求总计45万件,这三个月最多生产36万件,故需10月初有9万件的库存,超过该厂的最大仓库容积,故按上述条件,本题无解。
(2)考虑到生产成本、库存费用和生产能力,该厂10—12月份需求的不足只需在7
—9月份生产出来留用即可,故设:
xi为第i个月生产的产品I的数量;yi为第i个月生
产的产品n的数量;zi,ui分别为第i个月末产品I、n的库存数,sii,s2i分别为用于第(i+1)个月库存的原有及租用的仓库容积(立方米),则所求问题的数学模型为:
51211
minZ八(5Xi8yJ'(4.5为7yJ'(引s?
i)
i=1H6i夕
xiyi<120000(i=7,8,9,10,11,12)
0.2zi0.4u^s1i-s2i(i=7,8,9,10,11,12)
引乞15000(i=7,8,9,10