数学必修三第一章知识点总结.docx

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数学必修三第一章知识点总结

数学必修三第一章知识点总结

　　数学必修三第一章知识点总结

　　1、算法概念：

　　在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.

　　2.算法的特点:

（1）有限性：

一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.

（2）确定性：

算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.

　　（3）顺序性与正确性：

算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.

　　（4）不唯一性：

求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.

　　（5）普遍性：

很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.

　　1.1.2程序框图

　　1、程序框图基本概念：

（一）程序构图的概念：

程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。

　　一个程序框图包括以下几部分：

表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文字说明。

（二）构成程序框的图形符号及其作用

　　程序框名称功能

　　起止框表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不可少的。

　　输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置。

　　处理框赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。

　　判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”;不成立时明“否”或“N”。

　　学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：

　　1、使用标准的图形符号。

　　2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。

　　3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。

判断框具有超过一个退出点的唯一符号。

　　4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果;另一类是多分支判断，有几种不同的结果。

　　5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。

　　（三）、算法的三种基本逻辑结构：

顺序结构、条件结构、循环结构。

　　1、顺序结构：

顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。

　　顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤。

如在示意图中，A框和B框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执行B框所指定的操作。

　　2、条件结构：

　　条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。

条件P是否成立而选择执行A框或B框。

无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能同时执行A框和B框，也不可能A框、B框都不执行。

一个判断结构可以有多个判断框。

　　3、循环结构：

在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。

循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：

（1）、一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A框，A框执行完毕后，再判断条件P是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件P不成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。

（2）、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P是否成立，如果P仍然不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。

　　注意：

1循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断。

因此，循环结构中一定包含条件结构，但不允许“死循环”。

2在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。

计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果。

计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次。

　　1.2.1输入、输出语句和赋值语句

　　1、输入语句

（1）输入语句的一般格式

（2）输入语句的作用是实现算法的输入信息功能;（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，变量是指程序在运行时其值是可以变化的量;（4）输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式;（5）提示内容与变量之间用分号“;”隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“，”隔开。

　　2、输出语句

（1）输出语句的一般格式

（2）输出语句的作用是实现算法的输出结果功能;（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，表达式是指程序要输出的数据;（4）输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。

　　3、赋值语句

（1）赋值语句的一般格式

（2）赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量;

　　（3）赋值语句中的“=”称作赋值号，与数学中的等号的意义是不同的。

赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量;

　　（4）赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式;（5）对于一个变量可以多次赋值。

　　注意：

①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。

如：

2=X是错误的。

②赋值号左右不能对换。

如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。

③不能利用赋值语句进行代数式的演算。

（如化简、因式分解、解方程等）④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。

　　1.2.2条件语句

　　1、条件语句的一般格式有两种：

（1）IF—THEN—ELSE语句;

（2）IF—THEN语句。

2、IF—THEN—ELSE语句

　　1.2.3循环语句

　　1、WHILE语句

　　循环结构是由循环语句来实现的。

对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）两种语句结构。

即WHILE语句和UNTIL语句。

　　当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循环体;然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。

这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句。

因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。

　　2、UNTIL语句

　　直到型循环又称为“后测试型”循环，从UNTIL型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOPUNTIL语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。

　　1.3.1辗转相除法与更相减损术

　　1、辗转相除法。

也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：

（1）：

用较大的数m除以较小的数n得到一个商和一个余数;

（2）：

若=0，则n为m，n的最大公约数;若≠0，则用除数n除以余数得到一个商和一个余数;（3）：

若=0，则为m，n的最大公约数;若≠0，则用除数除以余数得到一个商和一个余数;……依次计算直至=0，此时所得到的即为所求的最大公约数。

　　2、更相减损术

　　我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。

在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数的步骤：

可半者半之，不可半者，副置分母?

子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。

　　翻译为：

（1）：

任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。

若是，用2约简;若不是，执行第二步。

（2）：

以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。

继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。

　　3、辗转相除法与更相减损术的区别：

（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。

（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到

　　1.3.2秦九韶算法与排序

　　1、秦九韶算法概念：

　　f（x）=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0求值问题

　　f（x）=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=（anxn-1+an-1xn-2+….+a1）x+a0=（（anxn-2+an-1xn-3+….+a2）x+a1）x+a0

　　=......=（...（anx+an-1）x+an-2）x+...+a1）x+a0

　　求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即v1=anx+an-1

　　然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即

　　v2=v1x+an-2v3=v2x+an-3......vn=vn-1x+a0这样，把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。

　　2、两种排序方法：

直接插入排序和冒泡排序

　　1、直接插入排序

　　基本思想：

插入排序的思想就是读一个，排一个。

将第1个数放入数组的第1个元素中，以后读入的数与已存入数组的数进行比较，确定它在从大到小的排列中应处的位置.将该位置以及以后的元素向后推移一个位置，将读入的新数填入空出的位置中.（由于算法简单，可以举例说明）

　　2、冒泡排序

　　基本思想：

依次比较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面.即首先比较第1个数和第2个数,大数放前,小数放后.然后比较第2个数和第3个数......直到比较最后两个数.第一趟结束,最小的一定沉到最后.重复上过程,仍从第1个数开始,到最后第2个数......由于在排序过程中总是大数往前,小数往后,相当气泡上升,所以叫冒泡排序.

　　1.3.3进位制

　　1、概念：

进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。

可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。

现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。

对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。

比如：

十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。

　　数学两个平面的位置关系知识点

（1）两个平面互相平行的定义：

空间两平面没有公共点

（2）两个平面的位置关系：

　　两个平面平行——没有公共点;两个平面相交——有一条公共直线。

　　a、平行

　　两个平面平行的判定定理：

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

　　两个平面平行的性质定理：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。

　　b、相交

　　二面角

（1）半平面：

平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。

（2）二面角：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

二面角的取值范围为[0°，180°]

　　（3）二面角的棱：

这一条直线叫做二面角的棱。

　　（4）二面角的面：

这两个半平面叫做二面角的面。

　　（5）二面角的平面角：

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

　　（6）直二面角：

平面角是直角的二面角叫做直二面角。

　　两平面垂直

　　两平面垂直的定义：

两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

记为⊥

　　两平面垂直的判定定理：

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

　　两个平面垂直的性质定理：

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

　　二面角求法：

直接法（作出平面角）、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法（注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系）

　　高中学数学的技巧

　　1.重视课堂的学习效率

　　新知识的接受和数学能力的培养，主要是在课堂上进行，所以要特别重视课堂的学习效率，上课时要紧跟老师的思路，积极开展思维，预测下面的步骤，比较自己的解题思路与老师所讲的有哪些不同。

课后要及时复习，不留疑点，对不懂的地方要及时请教老师或同学，切忌不懂将懂，或将不懂的地方跳过。

课后还要注重基础知识的学习和基本技能的培养，要多记公式、定理，因为它们是学好数学的关键和必备条件。

　　2.多做习题，养成良好的解题习惯

　　要想学好数学，多做题是不可避免的。

当然，多做题并不等于搞题海战术。

做的题目要有代表性，不能胡子眉毛一把抓，碰到哪道题就做哪道题。

有些题适合我们做，而有些题却超出了我们的能力范围，做这些题目只能是浪费我们宝贵的时间，不会达到任何效果。

做的题要难易适中，通过做些有代表的题目，要力争能举一反三。

数学是一门逻辑性很强的学科，需要缜密的思维，解题要有条理，在做题的过程中学会熟练运用正确的解题方法，掌握一些基本题型的解题规律。

只有平时大量的训练，见多了、做多了，自然就熟能生巧，考试的时候就会应付自如，不至于乱了阵脚。

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