实变函数与泛函分析要点.docx

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实变函数与泛函分析要点

实变函数与泛函分析概要

第一章集合基本要求：

仁理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。

2、掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。

3、会求已知集合的并、交、差、余集。

4、了解对等的概念及性质。

5、掌握可数集合的概念和性质。

6、会判断己知集合是否是可数集。

7、理解基数、不可数集合、连续基数的概念。

8、了解半序集和Zorn引理。

第二章点集基本要求：

1、理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。

2、掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。

掌握聚点的性质。

3、掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。

4、会求己知集合的开集和导集。

5、掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。

6、会判断一个集合是非是开（闭）集，完备集。

7、了解Peano曲线概念。

主要知识点：

一、基本结论：

1、聚点性质§2中T1聚点原则：

P0是E的聚点OP0的任一邻域内，至少含有一个属于E而异于P0的点O存在E中

互异的点列{Pn},使Pn-PO（n-*x）

2、开集、导集、闭集的性质§2中T2、T3

T2：

设AuB,则AuB,Ac

T3：

（AUB）'=ArUB‘・

3、开（闭）集性质（§3中T1、2、3、4、5）

T1：

对任何EuRn,E是开集，E'和召都是闭集。

（E称为开核，舌称为闭包的理由也在于此）

T2：

（开集与闭集的对偶性）设E是开集，则CE是闭集；设E是闭集，则CE是开集。

T3：

任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。

T4：

任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。

T5：

（Heine-Borel有限覆盖定理）设F是一个有界闭集，W是一开集族{Ui}iel它覆盖TF（即Fc：

右Ui）,则虫中一定存在有限多个开集U1,U2-Um,它们同样覆盖TF（即Fu丹Ui）（iel）

4、开（闭）集类、完备集类。

开集类：

Rn,①，开区间，邻域、E.Po

闭集类：

Rn,①，闭区间，有限集，E'、E、P完备集类：

Rn,①，闭区间、P

二、基本方法：

仁判断五种点的定义；2、利用性质定理，判断导集、邻域等；3、判断开集、闭集；4、关于开闭集的证明。

第三章测度论基本要求：

1、理解外测度的概念及其有关性质。

2、掌握要测集的概念及其有关性质。

3、掌握零测度集的概念及性质。

4、熟悉开集、闭集、区间、波雷乐集等可测集，掌握一批可测集的例子。

5、会利用本章知识计算一些集合的测度。

6、掌握“判断集合可测性”的方法，会进行有关可测集的证明。

要点归纳：

外测度：

①定义：

EuRnli（开区间）3linEm*（E）=inffIHi

2性质：

（1）0Wm*EW+8（非负）

（2）若AcB则m*B（单调性）

（3）m*（（JAi）WyrrTAi（次可列可加性）

3可测集：

EcRn对任意的TER"有：

m*（T）=m*（TAE）+m*（TACE）

称E为可测集，记为mE其性质：

1）T1：

E可测oVAcEBeCE使itT（AUB）=m*A+m*B

2）T2：

E可测oCE可测

4运算性质：

设Si、S2可测=>SiUS2可测（T3）；

设Si、S2可测=>SiClS2可测（T4）；

设Si、S2可测=>Si-S2可测（T5）o

5Si,S2-Sn可测nUSi可测（推论3）"Si可测（T7）

6Si、S2…Sn…可测，SiDSj=（p=>USi可测m（USi）=Im（Si）（T6）

7Si递增,S〔uS2cS3ulim（USi）=limmSj=Ms（T8）

8Si递降可测，SidS2dS3o…当mS1<+~=>

limm（nSi）=limmSn（T9）

9可测集类：

1）零测度集:

可数集、可列点集、Q、[0,1]CIQ.①、P零测度集的子集是有限个、可数个零测度集之并是~。

2）区间是可测集ml=lII3）开集、闭集；

4）Borel集定义，设G可表为一列开集的交集，且称G为G&型集

如卜1,1];设F可表为一列闭集之并，则称为F。

型集，如[0,1]

Borel集定义：

从开集出发，用取余集、取有限个或可列个集合的并集或交集（不超过可数次）的集合。

T6：

设E是任一可测集，存在G6集，使EcG,且m（G-E）=0

T7：

设E是任一可测集，存在G。

集,使FuE,且m（F-E）=0

可测集是存在的。

第四章可测函数基本要求：

1、掌握可测函数的概念和主要性质。

2、掌握点集上的连续函数、简单函数、几乎处处成立（几乎处处相等、几乎处处有限、几乎处处收敛…）的概念。

3、掌握一批可测函数的例子。

4、掌握判断函数可测性的方法，会进行关于可测函数的证明。

5、理解叶果洛夫定理和鲁金定理。

6、了解依测度收敛的概念及其性质。

7、理解三种收敛之间的关系。

（―）基本概念

1可测函数：

.f是定义在可测集EuRn上的实函数，任意的aWR

E[/>a]是可测集，称f（x）是E上的可测函数

f可测o任意的aWRE[f2a]是可测集

O任意的aERE[/va]是可测集

o任意的aWRE[/Sa]是可测集

o任意的a,BERE[a

几乎处处成立

2连续函数、简单函数

3依测度收敛、收敛、一致收敛

（二）基本结论：

可测函数的性质（8个定理）

（1）充要条件（Ti）4个等价条件

（2）集合分解Ta

（2）,f在Ei之并名Ei上，且在Ei上可测=>f在名Ei上可测

（3）（四则运算）f,g在E上可测f+g,fg,IfI,1仃在E上可测。

（4）极限运算｛九｝是可测函数列，则P=inf/n入g=supfn痂g

=>F=lim/nG=ljmfn可测

（5）与简单函数的关系：

/•在E上可测nf总可以表成一列简单函数｛5｝的极限

函数f~n^n,而且可以办到I

2.EropOB定理：

mEv+8fn庶上a.e于-个a.e和的砒f的可测函数=>对任意的5>0存在子集E5CE使得fn在Ed上一致收敛

且m（E-E5）

3/ly3HH定理汀是E上a.e有限可测函数，任意6>0m闭子集EjuE使得/•在E5上连续且m（E-Ed）<6即在E上a.e有限的可测函数是：

“基本上连续”的函数。

4可测函数类：

连续函数（T2）、简单函数、R上单调函数、零测度集上函数。

Lebesgue：

1）mE<+~；2）fnE上a.e有限的可测函数列；

3）fnE上a.e收敛于a.e有限的f

■=>fn=>f（x）在此mE<+~条件下，可见测度收敛弱于a.e收敛

补充定理（见复旦§3.2T5）mEv+8,fn是E上可测函数列

fn=>fo{fn}的（任何子列）Vfm，总可以找到

子子列（日）fnij-fa.e于E

三、基本方法：

1判函数可测

（1）集合判别法，任意的awRE[f>a]是可测集

（2）集合分解法，E=UEiEiflEj=Of在Ei上可测

（3）函数分解法，f可表为若干函数的运算时

（4）几乎处处相等的函数具有相同的可测性（§1,T8）

（5）可测函数类

2判断三种函数之间的关系

第五章积分论基本要求：

1、了解可测分划、大（小）和、上（下）积分、有界函数L可积和L积分的概念。

2、掌握有界函数L积分的性质。

3、理解非负函数L积分与L可积的概念。

4、理解一般函数的L积分确定、L积分与L可积的概念。

5、掌握一般函数的L积分的性质。

6、掌握L积分极限定理。

7、弄清L积分与R积分之间的关系。

8、熟练掌握计算L积分的方法。

9、会利用L积分极限定理进行有关问题的证明。

10、了解有界变差函数的概念及其主要性质。

11、了解不定积分、绝对连续函数的概念及它们的主要性质。

Lebesgue积分

1>Riemann积分分割、作和、取确界、求极限。

2、Lebesgue积分

定义仁E=jEi,各Ei互不相交，可测，则称{EJ为E的一个分划，记作D={Ei}

定义2：

设f是定义在EuR"（mE<~）上的有界函数，D={Ei}令Bi=xeEiPf（X）bi='xgEjff（x）

大和S（D,f）=S（D,f）

小和》（D,f）=jbimEi=s（D,f）

s（D,f）

定义3：

设f是定义在EuRn（mE<~）上的有界函数

上积分：

jEf（x）dx=inf{S（D,f）}

下积分：

!

ef（X）dx=sups（D,f）若上下积分相等，则称f在E上可积，其积分值叫做L积分值，记（L）JEf（x）dx

T1：

设f是定义在EuRq（mE<8）上的有界函数，则f在E±L可积<=»任意的£>0

S（D,f）・s（D,f）<£

T2：

f在E上L可积of在E上可测（T

对有界函数而言，L可积o可测

T3：

f,g有界，在E上可测，f±g,fg,f/g,Ifl可积

T4：

f在［a,b］上R可积=»L可积，且值相等*

L积分的性质：

T-1

（1）：

f在E上L可积，则在E的可测子集上也L可积；反之,

E=E1UE2EGE2=（t>Ei、E2可测，若f在Ei上L可积，则f在E上可积

JEfdx=北fdx+JE2fdx（积分的可加性）

（2）f,g在E上有界可测Je（f+g）dx=JEfdx+jEgdx

（3）任意cwRJECfdx=cJEfdx

（4）f,g在E上L可积,且fsg则Rdx纣Egdx

特别地，b

推论1：

（1）当mE=OJEfdx=O

（2）f=cjEfdx=cmE

（5）f在E上可积，则丨fl可积，且|Jefdx|

T-2

（1）设f在E上L可积fRJEfdx=O则f=0a.e于E

（2）彳在£上1_可积，则对任意的可测集A属于E

使初：

I%；Afdx=O（绝对连续性）

推2：

设f,g在E上有界可积，且仁ga.e于E

则jEfdx=J*egdx

证明思路：

E=EiUE2EGE2=（l）Ei=E[f^g]

Je（f-g）dx=Jei+北（f-g）dx=O

注:

1）在零测度集上随意改变函数值，不影响积分值,甚至在E的一个零测度子集垃上无定义亦可.

2）从E中除去或添加有限个或可数个点L积分值不变

一般函数的积分

一、非负函数：

f,EueQ

二、定义：

f>0ECEqmE<~

[f（x加二订/Sn称[彷为（E上）截断函数

性质：

（1）V[f（x）]n有界非负，f

（2）单调[f]1<[f]2<[f]3<-

（3）'丄2[f]n=f（x）

定义1：

设f为非负（于E）可测（mE<~）

称JEfdx=JE^_L2[f]ndx（若存在含无穷大）为f在E上的L积分

当丄爰[f]ndx为有限时，称f为在E上的非负可积函数

注：

①非负可积一定存在分

②L积分'|■►非负可积

三、一般函