函数定义域.docx
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函数定义域
一.函数的解析式、定义域、值域
求定义域。
①分式函数:
分母不为0;
②偶次方根:
被开方数为非负数;
③对数函数:
真数大于0,底数大于0且不为1;
④正切函数:
y=tanx的定义域为{x|x≠kπ+ ,k∈Z};
函数类型
解析式
定义域
值域
一次函数
y=kx+b(k≠0)
R
R
反比例函数
y= (k≠0)
{x|x≠0}
{y|y≠0}
指数函数
y=a(a>0且a≠1)
R
(0,+∞)
对数函数
y=log(a>0且a≠1)
(0,+∞)
R
正、余弦函数
y=sinx,
R
[-1,1]
正切函数
y=tanx
{x|x≠kπ+ ,k∈Z}
R
练习。
1.(2011年福建上杭一中)函数y= 的定义域是
2.(2012届沈阳二中月考题)下列各组函数中,表示同一函数的是 ()
3.(2011年长春实验中学)函数f(x)=lo (x2-2x+5)的值.
变式训练1
(1)二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1,求f(x)的解析式.
(2)已知f(x)= f[φ(x)]=4-x,求φ(x)的解析式.
变式训练2 已知函数f(x)=loga(ax2+2x+1).
若a=1/2,求函数f(x)的定义域;
若函数f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.
变式训练3 函数f(x)= 的定义域为 .
变式训练4已知函数f(x)= ,x∈[-2,1)∪(1,2],则函数f(x)的值域为 ( )
(A)(-∞,0]∪[4,+∞).(B)(-∞,1]∪[5,+∞).
(C)(-∞,2]∪[6,+∞).(D)(-∞,3]∪[7,+∞).
二函数的奇偶性与周期性
1.函数的奇偶性
(1)定义:
如果对于函数f(x)在定义域内的任意x都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数;
如果对于函数f(x)在定义域内的任意x都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数;
如果对于函数f(x)不具有上述性质,则称f(x)不具有奇偶性;如果对于函数f(x)同时具有上述两条性质,则称f(x)既是奇函数又是偶函数.
2)判断函数奇偶性的方法:
①定义法(辨析f(-x)与f(x)的关系):
若f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数;若f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数
②图象法(利用函数图象对称性确定函数的奇偶性)
(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称;
f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称.
(3)性质:
若函数f(x)具有奇偶性,则函数的定义域关于原点对称;
若函数f(x)为奇函数且在x=0处有意义,则f(0)=0;
奇函数f(x)在相对应的区间上单调性一致;偶函数在相对应的区间上单调性相反.
2.函数的周期性
(1)定义:
如果存在一个非零常数T,使得对于函数f(x)定义域内的任意
x,都有f(T+x)=f(x),则称f(x)为周期函数.不为零的常数T叫做这个函数的周期.如果在所有的周期中存在着一个最小的正数,这个最小的正数叫做最小正周期.
(2)性质:
①周期函数的周期不止一个.如果T是函数f(x)的周期,则nT(n∈Z,且n≠0)也是f(x)的周期.
②如果函数f(x)的周期为T,则f(ωx)(ω≠0)也是周期函数,且周期为 .
③如果函数f(x)的周期为T,则T也是 的周期.
练习1.f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a=b=
2.函数f(x)为奇函数,且x∈(-∞,0)时,f(x)=x(x-1),则x∈(0,+∞)时,f(x)为 ( )
(A)-x(x+1). (B)-x(-x+1).
(C)x(-x+1). (D)x(x-1).
3.已知奇函数f(x)的周期为4.当x∈[0,2]时,f(x)=2x,则f(-1009)=
变式训练1设f(x)是R上任意的一个函数,则下列叙述正确的是()
(A)f(x)f(-x)是奇函数.(C)f(x)-f(-x)是偶函数.
2.(2011年山东卷)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6)上与x轴的交点的个数为 ()
3.(2011年全国大纲卷)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f(-2/5)等于.
三 函数的单调性与最值
1.函数的单调性
一般地,设函数f(x)的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.
2.函数
(1)函数的最大值的定义:
一般地,①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;
设函数f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
②存在x∈I,使得f(x)=M.
那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值.
函数的最小值的定义:
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;
②存在x∈I,使得f(x)=M.
那么,我们称M是函数y=f(x)的最小值.
练习1已知函数f(x)= 是定义在(-1,1)上的奇函数,且f( )= .
(1)确定函数f(x)的解析式;
(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数;
(3)解不等式f(t-1)+f(t)<0.
2函数f(x)=log7(ax2+2x+1)在(1,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围为.
3.定义在R上的函数y=f(x)在(-100,2]上是增函数,且y=f(x+2)的图象关于y轴对称,则 ()
A)f(-1)(2)(2).
(C)f(-1)(2).(D)f(3)(2)变式训练1.(2011年重庆南开)函数f(x)=x2-3x,x∈[2,4]的最大值是()
(A)-2. (B)4. (C)-3. (D)2.
2.(2011年浙江宁海模拟)四个函数中,在(0,1)上为增函数的是 ( )
(A)y=-log2x. (B)y=sinx.
(C)y=. (D)y=2
3偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,则不等式f( )>f
(2)的解集为 .
4函数f(x)= 在区间[2,3]的最小值为 ,最大值为.
四.二次函数与幂函数
1.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式:
①一般式:
y=ax2+bx+c(a≠0).
②顶点式:
f(x)=a(x-k)2+h(其中点(k,h)为二次函数的顶点).
③零点式:
f(x)=a(x-x1)(x-x2)(其中二次函数的零点为x1与x2).
2.二次函数的图象与性质
f(x)=ax2+bx+c
a>0
a<0
图象
Δ
分Δ>0,Δ=0,Δ<0三种情况
定义域
R
值域
[ ,+∞)
(-∞, ]
f(x)=ax2+bx+c
a>0
a<0
单调性
在(-∞,- )上单调递减
在(- ,+∞)上单调递增
在(-∞,- )上单调
递增
在(- ,+∞)上单调递减
对称性
图象关于直线x=- 对称
a、b、c的作用
a决定图象开口方向,a与b决定对称轴,c决定与y轴的交点,a、b、c共同决定图象的顶点.
3.幂函数
(1)幂函数的概念:
形如y=xα的函数称为幂函数,其中α为常数.
(2)幂函数(y=xα)的性质:
当α>0时
①图象都通过点(1,1).
②在第一象限内,函数值随x的增大而增大.
③在第一象限内,α>1与0<α<1的图象凹凸性不一样.
④图象在点(1,1)处发生交叉.
当α<0时
①图象都通过点(1,1).
②在第一象限内,函数值随x的增大而减小.
③图象在点(1,1)处发生交叉.
练习1已知函数f(x)=-2x2+6x-m的值恒小于0,则实数m取值范围为.
2若-13.若函数f(x)=x2+ax(a∈R),则下列结论成立的是
A函数f(x)一定是偶函数.
B函数f(x)一定存在零点.
C函数f(x)在(0,+∞)上一定是增函数.
D函数f(x)在(a,+∞)上一定是增函数.
4.当x∈(0,+∞)时,幂函数f(x)=(m2-m-1)x为减函数,则实数m=.
一.lo (2x-1)≥0,∴0<2x-1≤1,∴ 1/22A中对应关系不一致,C、D中定义域不一致,
3(-∞,-2]
变1
(1)f(x)=x2-x+1.
变2
变3{x|x≥3}
变4f(x)= =2+ ,x∈[-2,1)∪(1,2],
∴-3≤x-1<0或0∴f(x)≤1或f(x)≥5.故选B.
二
三1
2当a=0时,f(x)=log7(2x+1)在(1,+∞)上是增函数;当a<0时,f(x)=log7(ax2+2x+1)在(1,+∞)上不可能是增函数;当a>0时,y=ax2+2x+1的对称轴为x=- <0,且开口向上,∴y=ax2+2x+1在(1,+∞)上是增函数,∴f(x)=log7(ax2+2x+1)在(1,+∞)上是增函数.
综上:
实数a的取值范围为[0,+∞).
3y=f(x+2)的图象向右平移2个单位后为y=f(x)的图象,∵y=f(x+2)的图象关于y轴对称,∴y=f(x)的图象关于x=2对称,∴f
(1)=f(3),y=f(x)在(-100,2]上是增函数,∴f(-1)(1)(2),即f(-1)(2),故选C.
四1
2.0.5=2,5=0.2,∵-1且y=xα(α>0)在(0,+∞)上是增函数,