函数定义域.docx
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函数定义域
一．函数的解析式、定义域、值域
求定义域。
①分式函数:
分母不为0;
②偶次方根:
被开方数为非负数;
③对数函数:
真数大于0,底数大于0且不为1;
④正切函数:
y=tanx的定义域为{x|x≠kπ+ ,k∈Z};
函数类型
解析式
定义域
值域
一次函数
y=kx+b（k≠0）
R
R
反比例函数
y= （k≠0）
{x|x≠0}
{y|y≠0}
指数函数
y=a（a>0且a≠1）
R
（0,+∞）
对数函数
y=log（a>0且a≠1）
（0,+∞）
R
正、余弦函数
y=sinx,
R
[-1,1]
正切函数
y=tanx
{x|x≠kπ+ ,k∈Z}
R
练习。
1.（2011年福建上杭一中）函数y= 的定义域是
2.（2012届沈阳二中月考题）下列各组函数中,表示同一函数的是 （）
3.（2011年长春实验中学）函数f（x）=lo （x2-2x+5）的值.
变式训练1
（1）二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x,且f（0）=1,求f（x）的解析式.
（2）已知f（x）= f[φ（x）]=4-x,求φ（x）的解析式.
变式训练2 已知函数f（x）=loga（ax2+2x+1）.
若a=1/2，求函数f（x）的定义域;
若函数f（x）的定义域为R,求实数a的取值范围.
变式训练3 函数f（x）= 的定义域为 .
变式训练4已知函数f（x）= ,x∈[-2,1）∪（1,2],则函数f（x）的值域为 （ ）
（A）（-∞,0]∪[4,+∞）.（B）（-∞,1]∪[5,+∞）.
（C）（-∞,2]∪[6,+∞）.（D）（-∞,3]∪[7,+∞）.
二函数的奇偶性与周期性
1.函数的奇偶性
（1）定义:
如果对于函数f（x）在定义域内的任意x都有f（-x）=-f（x）,则称f（x）为奇函数;
如果对于函数f（x）在定义域内的任意x都有f（-x）=f（x）,则称f（x）为偶函数;
如果对于函数f（x）不具有上述性质,则称f（x）不具有奇偶性;如果对于函数f（x）同时具有上述两条性质,则称f（x）既是奇函数又是偶函数.
2）判断函数奇偶性的方法:
①定义法（辨析f（-x）与f（x）的关系）:
若f（-x）=-f（x）,则f（x）为奇函数;若f（-x）=f（x）,则f（x）为偶函数
②图象法（利用函数图象对称性确定函数的奇偶性）
（x）为奇函数⇔f（x）的图象关于原点对称;
f（x）为偶函数⇔f（x）的图象关于y轴对称.
（3）性质:
若函数f（x）具有奇偶性,则函数的定义域关于原点对称;
若函数f（x）为奇函数且在x=0处有意义,则f（0）=0;
奇函数f（x）在相对应的区间上单调性一致;偶函数在相对应的区间上单调性相反.
2.函数的周期性
（1）定义:
如果存在一个非零常数T,使得对于函数f（x）定义域内的任意
x,都有f（T+x）=f（x）,则称f（x）为周期函数.不为零的常数T叫做这个函数的周期.如果在所有的周期中存在着一个最小的正数,这个最小的正数叫做最小正周期.
（2）性质:
①周期函数的周期不止一个.如果T是函数f（x）的周期,则nT（n∈Z,且n≠0）也是f（x）的周期.
②如果函数f（x）的周期为T,则f（ωx）（ω≠0）也是周期函数,且周期为 .
③如果函数f（x）的周期为T,则T也是 的周期.
练习1.f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a=b=
2.函数f（x）为奇函数,且x∈（-∞,0）时,f（x）=x（x-1）,则x∈（0,+∞）时,f（x）为 （ ）
（A）-x（x+1）. （B）-x（-x+1）.
（C）x（-x+1）. （D）x（x-1）.
3.已知奇函数f（x）的周期为4.当x∈[0,2]时,f（x）=2x,则f（-1009）=
变式训练1设f（x）是R上任意的一个函数,则下列叙述正确的是（）
（A）f（x）f（-x）是奇函数.（C）f（x）-f（-x）是偶函数.
2.（2011年山东卷）已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f（x）=x3-x,则函数y=f（x）的图象在区间[0,6）上与x轴的交点的个数为 （）
3.（2011年全国大纲卷）设f（x）是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f（x）=2x（1-x）,则f（-2/5）等于.
三 函数的单调性与最值
1.函数的单调性
一般地,设函数f（x）的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f（x2）,那么就说函数f（x）在区间D上是减函数.
2.函数
（1）函数的最大值的定义:
一般地,①对于任意的x∈I,都有f（x）≤M;
设函数f（x）的定义域为I,如果存在实数M满足:
②存在x∈I,使得f（x）=M.
那么,我们称M是函数y=f（x）的最大值.
函数的最小值的定义:
一般地,设函数f（x）的定义域为I,如果存在实数M满足:
对于任意的x∈I,都有f（x）≥M;
②存在x∈I,使得f（x）=M.
那么,我们称M是函数y=f（x）的最小值.
练习1已知函数f（x）= 是定义在（-1,1）上的奇函数,且f（ ）= .
（1）确定函数f（x）的解析式;
（2）用定义证明f（x）在（-1,1）上是增函数;
（3）解不等式f（t-1）+f（t）<0.
2函数f（x）=log7（ax2+2x+1）在（1,+∞）上是增函数,则实数a的取值范围为.
3.定义在R上的函数y=f（x）在（-100,2]上是增函数,且y=f（x+2）的图象关于y轴对称,则 （）
A）f（-1）（2）（2）.
（C）f（-1）（2）.（D）f（3）（2）变式训练1.（2011年重庆南开）函数f（x）=x2-3x,x∈[2,4]的最大值是（）
（A）-2. （B）4. （C）-3. （D）2.
2.（2011年浙江宁海模拟）四个函数中,在（0,1）上为增函数的是 （ ）
（A）y=-log2x. （B）y=sinx.
（C）y=. （D）y=2
3偶函数f（x）在[0,+∞）上是增函数,则不等式f（ ）>f
（2）的解集为 .
4函数f（x）= 在区间[2,3]的最小值为 ,最大值为.
四．二次函数与幂函数
1.二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式:
①一般式:
y=ax2+bx+c（a≠0）.
②顶点式:
f（x）=a（x-k）2+h（其中点（k,h）为二次函数的顶点）.
③零点式:
f（x）=a（x-x1）（x-x2）（其中二次函数的零点为x1与x2）.
2.二次函数的图象与性质
f（x）=ax2+bx+c
a>0
a<0
图象
Δ
分Δ>0,Δ=0,Δ<0三种情况
定义域
R
值域
[ ,+∞）
（-∞, ]
f（x）=ax2+bx+c
a>0
a<0
单调性
在（-∞,- ）上单调递减
在（- ,+∞）上单调递增
在（-∞,- ）上单调
递增
在（- ,+∞）上单调递减
对称性
图象关于直线x=- 对称
a、b、c的作用
a决定图象开口方向,a与b决定对称轴,c决定与y轴的交点,a、b、c共同决定图象的顶点.
3.幂函数
（1）幂函数的概念:
形如y=xα的函数称为幂函数,其中α为常数.
（2）幂函数（y=xα）的性质:
当α>0时
①图象都通过点（1,1）.
②在第一象限内,函数值随x的增大而增大.
③在第一象限内,α>1与0<α<1的图象凹凸性不一样.
④图象在点（1,1）处发生交叉.
当α<0时
①图象都通过点（1,1）.
②在第一象限内,函数值随x的增大而减小.
③图象在点（1,1）处发生交叉.
练习1已知函数f（x）=-2x2+6x-m的值恒小于0,则实数m取值范围为.
2若-13．若函数f（x）=x2+ax（a∈R）,则下列结论成立的是
A函数f（x）一定是偶函数.
B函数f（x）一定存在零点.
C函数f（x）在（0,+∞）上一定是增函数.
D函数f（x）在（a,+∞）上一定是增函数.
4．当x∈（0,+∞）时,幂函数f（x）=（m2-m-1）x为减函数,则实数m=.
一．lo （2x-1）≥0,∴0<2x-1≤1,∴ 1/22A中对应关系不一致,C、D中定义域不一致,
3（-∞,-2]
变1
（1）f（x）=x2-x+1.
变2
变3{x|x≥3}
变4f（x）= =2+ ,x∈[-2,1）∪（1,2],
∴-3≤x-1<0或0∴f（x）≤1或f（x）≥5.故选B.
二
三1
2当a=0时,f（x）=log7（2x+1）在（1,+∞）上是增函数;当a<0时,f（x）=log7（ax2+2x+1）在（1,+∞）上不可能是增函数;当a>0时,y=ax2+2x+1的对称轴为x=- <0,且开口向上,∴y=ax2+2x+1在（1,+∞）上是增函数,∴f（x）=log7（ax2+2x+1）在（1,+∞）上是增函数.
综上:
实数a的取值范围为[0,+∞）.
3y=f（x+2）的图象向右平移2个单位后为y=f（x）的图象,∵y=f（x+2）的图象关于y轴对称,∴y=f（x）的图象关于x=2对称,∴f
（1）=f（3）,y=f（x）在（-100,2]上是增函数,∴f（-1）（1）（2）,即f（-1）（2）,故选C.
四1
2.0.5=2,5=0.2,∵-1且y=xα（α>0）在（0,+∞）上是增函数,
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