高中数学函数知识点总结.docx

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高中数学函数知识点总结

函数

一、函数的定义：

1．

函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系

f，使对于集合A中的任意一个数

x，

在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称

f：

A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：

y=f（x），x∈A．

（1）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；

（2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合

{f（x）|x

∈A}叫做函数的值域．

2．

函数的三要素：

定义域、值域、对应法则

3．

函数的表示方法：

（1）解析法：

明确函数的定义域

（2）图想像：

确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。

（3）列表法：

选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。

4、函数图象知识归纳

（1）定义：

在平面直角坐标系中，以函数y=f（x）,（x∈A）中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P（x，y）

的集合C，叫做函数y=f（x）,（x∈A）的图象．C上每一点的坐标（x，y）均满足函数关系y=f（x），反

过来，以满足y=f（x）的每一组有序实数对x、y为坐标的点（x，y），均在C上.

（2）画法

A、描点法：

B、图象变换法：

平移变换；伸缩变换；对称变换，即平移。

（3）函数图像平移变换的特点：

1

）加左减右——————只对

x

2

）上减下加——————只对

y

3

）函数y=f（x）

关于X轴对称得函数

y=-f（x）

4）函数y=f（x）

关于Y轴对称得函数

y=f（-x）

5）函数y=f（x）

关于原点对称得函数

y=-f（-x）

6）函数y=f（x）

将x轴下面图像翻到

x轴上面去，x轴上面图像不动得

函数y=|f（x）|

7）函数y=f（x）

先作x≥0

的图像，然后作关于

y轴对称的图像得函数f（|x|）

二、函数的基本性质

1、函数解析式子的求法

（1）、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）、求函数的解析式的主要方法有：

1）代入法：

2）待定系数法：

3）换元法：

4）拼凑法：

2．定义域：

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

（1）

分式的分母不等于零；

（2）

偶次方根的被开方数不小于零；

（3）对数式的真数必须大于零；

（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

（5）

如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的

.那么，它的定义域是使各部分都有意义的

x的值组成

的集合.

（6）指数为零底不可以等于零，

（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

3、相同函数的判断方法：

①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）②定义域一致（两点必须同时备）

4、区间的概念：

（1）区间的分类：

开区间、闭区间、半开半闭区间

（2）无穷区间

（3）区间的数轴表示

5、值域（先考虑其定义域）

（1）观察法：

直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域；

（2）反表示法：

针对分式的类型，把Y关于X的函数关系式化成X关于Y的函数关系式，由

X的范围类似

求Y的范围。

（2）配方法：

针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的值域，注意定义域的范围。

（4）代换法（换元法）：

作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的类型。

6.分段函数

（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

（2）各部分的自变量的取值情况．

（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

（4）常用的分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的函数

7．映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：

A

f，使对于集合B为从集合A到集合

A中的任意一个元素

B的一个映射。

记作“

x，

f

（对应关系）：

A（原象）B（象）”

对于映射f：

A→B来说，则应满足：

（1）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

（2）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

（3）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

注意：

映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说的。

所以函数是映射，而映射不一定的函数

8、函数的单调性（局部性质）及最值

（1）、增减函数

（1）设函数y=f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当

时，都有f（x1）

（2）如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

个区间上是减函数.区间D称为y=f（x）的单调减区间.

注意：

函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种

（2）、图象的特点

x1

如果函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f（x）调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的

在这一区间上具有

.

（严格的）单调性，在单

（3）、函数单调区间与单调性的判定方法

（A）定义法：

○1任取x1，x2∈D，且x1

2作差f（x）－f（x）；

○12

○3变形（通常是因式分解和配方）；

○4定号（即判断差f（x1）－f（x2）的正负）；

○5下结论（指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）．

（B）图象法（从图象上看升降

（C）复合函数的单调性

）

复合函数：

如果y=f（u）（u∈M）,u=g（x）（x∈A）,则y=f[g（x）]=F（x）（x∈A）称为f、g的复合函数。

复合函数f[g（x）]的单调性与构成它的函数u=g（x），y=f（u）的单调性密切相关，其规律：

“同增异减”

注意：

函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.9：

函数的奇偶性（整体性质）

（1）、偶函数

一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=f（x），那么f（x）就叫做偶函数．

（2）、奇函数

一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=—f（x），那么f（x）就叫做奇函数．

（3）、具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

a、首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；若是不对称，则是非奇非偶的函数；若对称，则进行下面判断；

b、确定f（－x）与f（x）的关系；

c、作出相应结论：

若f（－x）=f（x）或f（－x）－f（x）=0，则f（x）是偶函数；

若f（－x）=－f（x）或f（－x）＋f（x）=0，则f（x）是奇函数．

（4）利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性

a、在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；

奇数个奇函数的乘除认为奇函数；

偶数个奇函数的乘除为偶函数；

一奇一偶的乘积是奇函数；

a、复合函数的奇偶性：

一个为偶就为偶，两个为奇才为奇。

注意：

函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，

（1）再根据定义判定;

（2）

由f（-x）±f（x）=0或f（x）／f（-x）=±1来判定;

（3）

利用定理，或借助函数的图象判定.

10、函数最值及性质的应用

（1）、函数的最值

a利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

b利用图象求函数的最大（小）值

c利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，在区间如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间

[b，c]上单调递减则函数

[b，c]上单调递增则函数

y=f（x）

y=f（x）

在x=b在x=b

处有最大值处有最小值

f（b）

f（b）

；

；

（2）、函数的奇偶性与单调性

奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。

（3）、判断含糊单调性时也可以用作商法，过程与作差法类似，区别在于作差法是与0作比较，作商法是与1作比

较。

（4）、绝对值函数求最值，先分段，再通过各段的单调性，或图像求最值。

（5）、在判断函数的奇偶性时候，若已知是奇函数可以直接用f（0）=0

数。

（高一阶段可以利用奇函数f（0）=0）。

，但是

f（0）=0

并不一定可以判断函数为奇函

三、基本初等函数

指数函数

（一）指数

1、指数与指数幂的运算：

复习初中整数指数幂的运算性质：

mnm+n

a*a=a

（a*b）n=anbn

2、根式的概念：

一般地，若

xn

a，那么x叫做a的n次方根，其中

n>1，且n∈N*．

当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数。

此时，a的n次方根用符号

表

示。

当n为偶数时，正数的

n次方根有两个，这两个数互为相反数。

此时正数

a的正的n次方根用符号

表示，

负的n的次方根用符号

表示。

正的n次方根与负的

n次方根可以合并成

（a>0）。

注意：

负数没有偶次方根；

0的任何次方根都是

0，记作n0

0。

当n是奇数时，n

an

a，当n是偶数时，n

an

|a|

a

（a

0）

a（a

0）

式子n

a

叫做根式，这里

n叫做根指数，a叫做被开方数。

3、

分数指数幂

正数的分数指数幂的

m

m

1

1

n

nm

*

，

n

（

0,

*

1）

a

a

（a0,m,n

N

n1）

a

m

n

am

a

mn

N

n

an

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

4、

有理数指数米的运算性质

（1）ar

·ar

ars

（a0,r,sR）；

（2）（ar）s

ars

（a0,r,sR）；

（3）（ab）r

aras

（a0,r,s

R）．

5、无理数指数幂

一般的，无理数指数幂aa（a>0,a是无理数）是一个确定的实数。

有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。

（二）、指数函数的性质及其特点

1、指数函数的概念：

一般地，函数

yax（a

0,且a

1）叫做指数函数，其中

x是自变量，函数的定义域为

R．

注意：

指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．为什么？

2、指数函数的图象和性质

a>10

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

2

4

6

-4

-2

2

4

6

0

0

-1

-1

定义域R

定义域R

值域y＞0

值域y＞0

在R上单调递增

在R上单调递减

非奇非偶函数

非奇非偶函数

函数图象都过定点（

0，1）

函数图象都过定点（

0，1）

注意：

利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上，值域是[f（a）,f（b）]或[f（b）,f（a）]；

（2）若

x

0，则

f（x）

1；

f（x）取遍所有正数当且仅当

xR；

（3）对于指数函数

f（x）

ax（a

0且a

1），总有

f

（1）

a；

（4）当a>1时，若X1

对数函数

（一）对数

1．对数的概念：

一般地，如果ax

N

（a0,a1）

，那么数

x

叫做以为底

N的对数，记作：

x

logaN

（

a

．a．．

—底数，N—真数，loga

N—对数式）

说明：

1

注意底数的限制

a0，且a

1；

○

○a

x

NlogaN

x；

2

3注意对数的书写格式：

logaN

○

两个重要对数：

○1常用对数：

以10为底的对数lgN；

○2自然对数：

以无理数e2.71828为底的对数的对数lnN．

（二）对数的运算性质

如果a0，且a

1，M

0，N0，那么：

1

loga

M＋logaN；

○loga（M·N）

○2

M

logaM－logaN；

loga

N

○3

logaMn

nlogaM

（n

R）．

注意：

换底公式

logab

logcb

0，且a

1；c

0，且c

1；b

0）．

（a

logca

利用换底公式推导下面的结论

（1）logambn

nlogab；

（2）logab

1

．

m

logba

（二）对数函数

1、对数函数的概念：

函数

y

loga

x（a

0

，且a1）叫做对数函数，其中

x是自变量，函数的定义域是（

0，+

∞）．

注意：

1

对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。

如：

y

x都不是对

○

2log2x，ylog5

5

数函数，而只能称其为对数型函数．

2对数函数对底数的限制：

（a

0，且a

1）．

○

2、对数函数的性质：

a>1

0

3

3

2.5

2.5

2

2

1.5

1.5

11

11

0.5

0.5

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

0-0

1

0

.5

1

-0

.5

-1

-1

-1

.5

-1

.5

-2

-2

-2

.5

-2

.5

定义域x＞0

定义域x＞0

值域为R

值域为R

在R上递增

在R上递减

函数图象都过定点（

1，0）

函数图象都过定点（

1，0）

幂函数

1、幂函数定义：

一般地，形如

y

x

（a

R）的函数称为幂函数，其中

为常数．

2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（

0，+∞）都有定义并且图象都过点（

1，1）；

（2）

0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,

）上是增函数．特别地，当

1时，幂函数的图象下

凸；当0

1时，幂函数的图象上凸；

（3）

0时，幂函数的图象在区间

（0,

）上是减函数．在第一象限内，当

x从右边趋向原点时，图象在

y轴

右方无限地逼近

y轴正半轴，当

x趋于

时，图象在x轴上方无限地逼近

x轴正半轴．