5.（xx·漳州一模）已知|a|=|b|=2,a,b的夹角为90°,向量d满足|d-a-b|=1,则|d|的最大值为 （ ）
A.2+1 B.2-1 C.4 D.2
【解析】选A.|a|=|b|=2,a,b的夹角为90°,不妨设a=（2,0）,b=（0,2）,d=（x,y）,所以d-a-b=（x-2,y-2）,因为|d-a-b|=1,所以（x-2）2+（y-2）2=1,
则d的轨迹是以（2,2）为圆心,以1为半径的圆,
因为|d|2=x2+y2,
所以当点在C处时,|d|有最大值,最大值为1+2,
6.（xx·长沙一模）在如图所示的程序框图中,已知f0（x）=sinx,则输出的结果是 （ ）
A.sinx B.cosx
C.-sinx D.-cosx
【解析】选B.因为f0（x）=sinx,f1（x）=cosx,f2（x）=-sinx,f3（x）=-cosx,
f4（x）=sinx,f5（x）=cosx.所以题目中的函数为周期函数,且周期T=4,
所以fxx（x）=f1（x）=cosx.
7.（xx·太原一模）执行如图所示的程序框图,若输出的S=,则判断框内填入的条件可以是 （ ）
A.k≥7?
B.k>7?
C.k≤8?
D.k<8?
【解题导引】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的k,S的值,当k=8时,退出循环,输出S的值为,故判断框内可填入的条件是k<8?
或k≤6?
.
【解析】选D.模拟执行程序框图,可得:
S=0,k=0,
满足条件,k=2,S=,
满足条件,k=4,S=+,
满足条件,k=6,S=++,
满足条件,k=8,S=+++=.
由题意,此时应不满足条件,退出循环,输出S的值为.
结合选项可得判断框内填入的条件可以是k<8或k≤6?
.
8.（xx·蚌埠一模）已知AC⊥BC,AC=BC,D满足=t+（1-t）,若∠ACD=
60°,则t的值为（ ）
A.B.-
C.-1D.
【解题导引】根据条件可知点D在线段AB上,从而可作出图形,并过D分别作AC,BC的垂线DE,DF,可设AC=BC=a,从而可根据条件得到CE=ta,CF=（1-t）a,这样在Rt△CDE和Rt△CDF中,由余弦函数的定义即可得到=,从而可解出t的值.
【解析】选A.根据题意知,D在线段AB上,过D作DE⊥AC,垂足为E,作DF⊥BC,垂足为F;若设AC=BC=a,则由=t+（1-t）,得,CE=ta,CF=（1-t）a;根据题意,∠ACD=60°,∠DCF=30°;
所以=,即=,解得t=.
9.（xx·全国卷Ⅰ）执行如图的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足 （ ）
A.y=2xB.y=3x
C.y=4xD.y=5x
【解析】选C.如表所示:
循环节运
行次数
x
y（y=ny）
判断
x2+y2≥36
是否
输出
n（n=n+1）
运行前
0
1
/
/
1
第一次
0
1
否
否
2
第二次
2
否
否
3
第三次
6
是
是
输出x=,y=6,满足y=4x.
10.（xx·广州一模）已知集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},在集合A中任取三个元素,分别作为一个三位数的个位数、十位数和百位数,记这个三位数为a,现将组成a的三个数字按从小到大排成的三位数记为I（a）,按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=219,则I（a）=129,D（a）=921）,阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,任意输入一个a,则输出b的值为 （ ）
A.792 B.693 C.594 D.495
【解题导引】利用验证法判断求解即可.
【解析】选D.对于选项A,如果输出b的值为792,则a=792,
I（a）=279,D（a）=972,b=D（a）-I（a）=972-279=693,不满足题意.
B,如果输出b的值为693,则a=693,
I（a）=369,D（a）=963,b=D（a）-I（a）=963-369=594,不满足题意.
C,如果输出b的值为594,则a=594,
I（a）=459,D（a）=954,b=D（a）-I（a）=954-459=495,不满足题意.
D,如果输出b的值为495,则a=495,
I（a）=459,D（a）=954,b=D（a）-I（a）=954-459=495,满足题意.
11.（xx·唐山一模）△ABC是边长为1的等边三角形,已知向量a,b满足=a+b,=a-b,则下列结论错误的是 （ ）
A.|a|=B.|b|=
C.（a+b）·a=-D.a⊥b
【解题导引】可作图,取BC边的中点D,并连接AD,从而可以得出=a,=2b,从而有a⊥b,这样即可求出|a|,|b|和（a+b）·a的值,从而便可找出错误的结论.
【解析】选C.对于选项A,如图,设边BC的中点为D,则:
+=2a=2,||=,所以|a|=,所以该选项正确;对于选项B,因为-=2b=,||=1,所以|b|=,所以该选项正确;对于选项C,=a,=a+b,所以（a+b）·a=·=1××=,所以该选项错误;对于选项D,AD⊥BC,由前面=a,=2b,所以a⊥（2b）,即a⊥b,所以该选项正确.
12.（xx·株洲一模）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是:
设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a,b,c,d∈N*）,则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道π=3.14159…,若令<π<,则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值,即<π<,若每次都取最简分数,那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为 （ ）
A. B. C. D.
【解析】选A.第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值,即
<π<,
第二次用“调日法”后得是π的更为精确的不足近似值,即<π<;
第三次用“调日法”后得是π的更为精确的不足近似值,即<π<,
第四次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值,即<π<.
【加固训练】（xx·长春一模）一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn（n∈N*）,其中xk（k=1,2,…,n）称为第k位码元,二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1,或者由1变为0）,
已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组:
其中运算⊕定义为:
0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于
（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
【解析】选B.由题意可得相同的数字经过运算后为0,不同数字运算后为1.由x4⊕x5⊕x6⊕x7=0可判定后4个数字出错;由x2⊕x3⊕x6⊕x7=0可判定后2个数字没错,即出错的是第4个或第5个;由x1⊕x3⊕x5⊕x7=0可判断出错的是第5个.综上可知,第5位发生码元错误.
【一题多解】选B.依题意,二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,①若k=1,则x1=0,x2=1,x3=0,x4=1,x5=1,x6=0,x7=1,从而由校验方程组,得x4⊕x5⊕x6⊕x7=1,故k≠1;②若k=2,则x1=1,x2=0,x3=0,x4=1,x5=1,x6=0,x7=1,从而由校验方程组,得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1,故k≠2;③若k=3,则x1=1,x2=1,x3=1,x4=1,x5=1,x6=0,x7=1,从而由校验方程组,得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1,故k≠3;④若k=4,则x1=1,x2=1,x3=0,x4=0,x5=1,x6=0,x7=1,从而由校验方程组,得x1⊕x3⊕x5⊕x7=1,故k≠4;⑤若k=5,则x1=1,x2=1,x3=0,x4=1,x5=0,x6=0,x7=1,从而由校验方程组,得x4⊕x5⊕x6⊕x7=0,x2⊕x3⊕x6⊕x7=0,x1⊕x3⊕x5⊕x7=0,故k=5符合题意;⑥若k=6,则x1=1,x2=1,x3=0,x4=1,x5=1,x6=1,x7=1,从而由校验方程组,
得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1,故k≠6;⑦若k=7,则x1=1,x2=1,x3=0,x4=1,x5=1,x6=0,x7=0,从而由校验方程组,得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1,故k≠7;综上,k等于5.
二、填空题（每小题5分,共20分）
13.（xx·全国卷Ⅱ）有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:
“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:
“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:
“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________.
【解题导引】丙拿的卡片上的数字不是“2和3”,只能是1和2,1和3,分类讨论.
【解析】由题意得:
丙不拿（2,3）,
若丙（1,2）,则乙（2,3）,甲（1,3）满足,
若丙（1,3）,则乙（2,3）,甲（1,2）不满足,
故甲的卡片上的数字为1和3.
答案:
1和3
14.（xx·衡阳一模）已知||=1，||=，·=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n（m，n∈R），则=________.
【解析】因为·=0，所以⊥，以OA，OB为边作一个矩形，对角线为OD=2.因为点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，所以C在AD上，
所以tan30°==，所以AC=，
所以==，即=.又=+=+，
所以m=1，n=，所以=3.
答案：
3
【加固练习】在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=,则·的值是________.
【解析】将矩形放入平面直角坐标系,如图,因为AB=,BC=2,点E为BC的中点,所以B（,0）,D（0,2）,C（,2）,E（,1）,设F（x,2）,则=（x,2）,=（,0）,所以·=（,0）·（x,2）=x=,所以x=1.所以=（,1）,
=（x-,2）=（1-,2）,所以·=（,1）·（1-,2）=.
答案:
15.（xx·银川二模）在平面直角坐标系xOy中,满足x2+y2≤1,x≥0,y≥0的点P（x,y）的集合对应的平面图形的面积为;类似地,在空间直角坐标系O-xyz中,满足x2+y2+z2≤1,x≥0,y≥0,z≥0的点P（x,y）的集合对应的空间几何体的体积为________.
【解析】类似地,在空间直角坐标系O-xyz中,满足x2+y2+z2≤1,x≥0,y≥0,z≥0的点P（x,y）的集合对应的空间几何体的体积为球的体积的,即×π×13=.
答案:
【加固训练】（xx·南昌二模）如图,已知点O是△ABC内任意一点,连接AO,BO,CO,并延长交对边于A1,B1,C1,则++=1,类比猜想:
点O是空间四面体VBCD内的任意一点,连接VO,BO,CO,DO并延长分别交面BCD,VCD,VBD,VBC于点V1,B1,C1,D1,则有__________.
【解析】若O是四面体ABCD内任意点,连接AO,BO,CO,DO并延长交对面于A′,
B′,C′,D′,则+++=1.用“体积法”证明如下:
+++
=+++=1,故答案为:
+++=1.
答案:
+++=1
16.（xx·长沙二模）如图所示,将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字标签:
原点处标数字0,点（1,0）处标数字1,点（1,-1）处标数字2,点（0,-1）处标数字3,点（-1,-1）处标数字4,点（-1,0）处标数字5,点（-1,1）处标数字6,点（0,1）处标数字7,…以此类推:
记格点坐标为（m,n）的点（m,n均为正整数）处所标的数字为f（m,n）,若n>m,则f（m,n）=__________.
【解析】从横轴上的点开始,从1开始计数第一周共9个格点,除了四个顶点外每一行每一列各有一个格点,外加一个延伸点;第二周从10开始计,除了四个顶点的四个格点外,每一行每一列有三个格点,外加一个延伸点共17个;第三周从27开始,除了四个顶点的格点外,每一行、每一列有五个格点,外加一个延伸点共25个.拐弯向下到达数轴前的格点以补足起始点所在列的个数,设周数为t,由此其规律是后一周的格点数加上8（t-1）,各周的点数和为St=9+8（t-1）=8t+1,每一行（或列）除了端点外的点数与周数的关系是b=2t-1,由于S1=9,S2=17,S3=25,S4=33,f（1,0）=12,f（2,1）=32,f（3,2）=52,…,f（n+1,n）=（2n+1）2,因为n>m,所以n≥m-1,
所以,当n>m时,f（n+1,n）=（2n+1）2+m-n+1.
答案:
（2n+1）2+m-n+1
（40分钟 80分）
一、选择题（每小题5分,共60分）
1.若复数z满足=ixx+ixx（i为虚数单位）,则复数z= （ ）
A.1 B.2 C.i D.2i
【解题导引】利用虚数单位i的运算性质化简,再由复数代数形式的乘法运算化简得答案.
【解析】选D.由=ixx+ixx=（i4）504+（i4）504·i=1+i,得z=（1+i）2=2i.
2.若θ∈,则复数（cosθ+sinθ）+（sinθ-cosθ）i在复平面内所对应的点在 （ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选B.取θ=π得,（cosθ+sinθ）+（sinθ-cosθ）i=-1+i,则复数对应的点在第二象限.
3.如果执行程序框图,且输入n=6,m=4,则输出的p= （ ）
A.240 B.120 C.720 D.360
【解题导引】根据题中的程序框图,模拟运行,依次计算k和p的值,利用条件k【解析】选D.根据题中的程序框图,模拟运行如下:
输入n=6,m=4,k=1,p=1,
所以p=1×（6-4+1）=3,k=1<4,符合条件,
所以k=1+1=2,p=3×（6-4+2）=12,k=2<4,符合条件,
所以k=2+1=3,p=12×（6-4+3）=60,k=3<4,符合条件,
所以k=3+1=4,p=60×（6-4+4）=360,k=4,不符合条件,
故结束运行,
输出p=360.
4.设a,b是两个非零向量,则下列哪个描述是正确的 （ ）
A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b
B.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|
C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ使得a=λb
D.若存在实数λ使得a=λb,则|a+b|=|a|-|b|
【解析】选C.不妨令a=（-3,0）,b=（1,0）,尽管满足|a+b|=|a|-|b|,但不满足a⊥b,故A不正确,
若a⊥b,则a·b=0,则有|a+b|=|a-b|,即以a,b为邻边的矩形的对角线长相等,故|a+b|=|a|-|b|不正确,即B不正确,
若|a+b|=|a|-|b|,则a,b是方向相反的向量,故这两个向量共线,故存在实数λ使得a=λb,故C正确,
不妨令a=（3,0）,b=（1,0）,尽管满足存在实数λ,使得a=λb,但不满足|a+b|=|a|-|b|,故D不正确.
5.如图所示的流程图中,若输入a,b,c的值分别是2,4,5,则输出的x= （ ）
A.1 B.2 C.lg2 D.10
【解析】选A.由题意可知a6.如图,在△ABC中,已知=3,则= （ ）
A.+ B.-
C.+D.-
【解析】选C.因为=-,=-,
所以由已知=3,得-=3（-）,
化简=+.
7.若a为实数且（2+ai）（a-2i）=8,则a= （ ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
【解析】选D.由（2+ai）（a-2i）=8,得4a+（a2-4）i=8,所以解得a=2.
8.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文（加密）,接收方由密文→明文（解密）,已知加密规则如程序框图所示.例如:
明文（1,2,3,4）对应的密文是（5,7,18,16）.则当接收方收到密文（14,9,23,28）时,解密得到的明文是
（ ）
A.（4,6,1,7）
B.（7,6,1,4）
C.（6,4,1,7）
D.（1,6,4,7）
【解析】选C.由加密规则,得
⇒
9.设a=（,1）,b=（x,-3）,且a⊥b,则向量a-b与b的夹角为 （ ）
A.30°B.60°C.120°D.150°
【解析】选D.因为a⊥b,所以a·b=x-3=0,解得x=,所以a-b=（0,4）,
所以（a-b）·b=-12,
|a-b|=4,|b|==2,
设向量a-b与b的夹角为θ,
所以cosθ===-,
所以θ=150°.
10.已知△ABC的三个顶点A,B,C的坐标分别为（0,1）,（,0）,（0,-2）,O为坐标原点,动点P满足||=1,则|++|的最小值是 （ ）
A.-1B.-1
C.+1D.+1
【解题导引】设点P（x,y）,则动点P满足||=1可得x2+（y+2）2=1.根据|++|=
表示点P（x，y）与点Q（-,-1）之间的距离.显然点Q在圆C:
x2+（y+2）2=1的外部,求得|QC|=,问题得以解决.
【解析】选A.设点P（x,y）,则动点P满足||=1可得x2+（y+2）2=1.
根据++的坐标为（+x,y+1）,可得|++|
=
表示点P（xy）与点Q（-,-1）之间的距离.显然点Q在圆C:
x2+（y+2）2=1的外部,求得|QC|=,|++|的最小值为|QC|-1=-1.
11.如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（ ）
A.2 B.C. D.
【解析】选D.因为=λ+μ
=λ（+）+μ（+）
=λ+μ
=+，
所以
解得
λ+μ=.
12.将向量a1=（x1,y1）,a2=（x2,y2）,…,an=（xn,yn）组成的数列称为向量列{an},并定义向量列{an}的前n项和Sn=a1+a2+…+an.如果一个向量列从第二项起,每一项与前一项的差都等于同一个向量,那么称这样的向量列为等差向量列.若向量列{an}是等差向量列,那么下述四个向量中,与S21一定平行的向量是 （ ）
A.a10B.a11
C.a20D.a21
【解题导引】可设每一项与前一项的差都等于向量d,运用类似等差数列的通项和求和公式,计算可得,S21=a1+a2+…+a21=21（a1+10d）=21a11,再由向量共线定理,即可得到所求结论.
【解析】选B.由新定义可设每一项与前一项的差都等于向量d,
S21=a1+a2+…+a21=a1+（a1+d）+…+（a1+20d）
=21a1+（1+20）·20d=21（a1+10d）=21a11,
即与S21平行的向量是a11.
二、填空题（每小题5分,共20分）
13.已知程序框图如图所示,输出的y值为,则输入的实数x的值为________.
【解题导引】算法的功能是求y=的值,分当x≥0时和当x<0时求得输出y=时的x值即可得解.
【解析】由程序框图知:
算法的功能是求y=的值,
当x≥0时,y=（x+2）2=
⇒x=-（舍去）或-（舍去）;
当x<0时,y=3x=⇒x=-2.
答案:
-2
14.如图，在矩形ABCD中，AB=AD，点Q为线段CD（含端点）上一个动点，且=λ，BQ交AC于P，且=μ，若AC⊥BP，则λ-μ=________.
【解析】以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.
设AB=，则AD=1，B（，0），C（，1）.
直线AC的方程为y=x，
直线BP的方程为y=-x+3，
直线DC的方程为y=1，
由得Q，
由
得P，
所以DQ=，QC=-DQ=，由=λ，得λ=2.
由=μ，得
=μ
=μ，所以μ=3，所以λ-μ=-1.
答案：
-1
15.设函数f（x）=x+，A0为坐标原点，An为函数y=f（x）图象上横坐标为n（n∈N*）的点，向量an=，向量i=（1，0），设θn为向量an与向量i的夹角，则满足tanθk<的最大整数n是________.
【解析】由题意知An=（n，f（n）），又an==，因为θn为向量an与向量i的夹角，所以，tanθn==+，所以tanθ1=+=1，
tanθ2=+=，tanθ3=+=，tanθ4=+=.因为1++=，1+++=，且<<，
所以满足tanθk<的最大整数n是3.
答案：
3
16.公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”,利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出的n值为______.
（参考数据:
sin15°=0.2588,sin7.5°=0.1305）
【解析】由程序框图可知:
n
6
12
24
S
3
3.1056
答案:
24
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