33解对初值的连续性和可微性定理.docx
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33解对初值的连续性和可微性定理
§3.3解对初值的连续性和可微性定理
f(x,v)经过点(Xo,Vo)的解•但是假如(Xo,Vo)变动,则相应初值问题的解也随之变动,也就是dx
说初值问题的解不仅依赖于自变量x,还依赖于初值(xo,Vo).例如:
f(x,v)=v时,方程v'=v的解
是y=cex,将初始条件
y(xo)=yo带入,可得v^voeX*.很显然它是自变量x和初始条件(xo,yo)的
函数.因此将对初值问题
型=f(x,y)、
dX'的解记为v护(X,Xo,vo),它满足vo=(Xo,Xo,vo).
y。
二v(Xo)
当初值发生变化时,对应的解是如何变化的?
当初始值微小变动时,方程解的变化是否也很小呢?
为此就要讨论解对初值的一些性质•
1解关于初值的对称性
设方程(3.1)满足初始条件y(xo)=vo的解是唯一的,记为v=(x,xo,vo),则在此关系式中
(x,v)与(xo,vo)可以调换其相对位置.即在解的存在范围内成立关系式
voV(Xo,x,v)
证明在方程(3.1)满足初始条件v(xo)=vo的解的存在区间内任取一点x1,显然
vi=(Xi,xo,yo,)则由解的唯一性知,过点(xi,yi)的解与过点(xo,vo)的解是同一条积分曲线,即此解
也可写为
v=^(x,xi,vJ
并且,有yo二(xo,xi,vi).又由(捲,比)是积分曲线上的任一点,因此关系式yo二(xo,x,v)对该积分
曲线上的任意点均成立.
2、解对初值的连续依赖性
由于实际问题中初始条件一般是由实验测量得到的,肯定存在误差.有的时候误差比较大,有的
时候误差比较小,在实际应用中我们当然希望误差较小,也就是说当(xo,yo)变动很小的时候,相应的
方程的解也只有微小的变动,这就是解对初值的连续依赖性所要研究的问题:
在讨论这个问题之前,我们先来看一个引理:
引理:
如果函数f(x,v)于某域D内连续,且关于y满足Lipschtiz条件(Lipschtiz常数为L),则
对方程(3.1)的任意两个解(x)及(x),在它们公共存在的区间内成立着不等式
|「(X)亠(X)凶「(X。
)(X0)|eL|xJ其中X。
为所考虑区域内的某一值•
证明设(X),(X)于区间a乞x^b上均有定义,令
2
V(x)=[「(X)—(x)]2,azx^b
则
V(x)=2[「(x)」(x)][f(x,「)一f(x「)]
于是V(x)<|V(x)|=2|(x^'-(x)||f(x,)-f(x「)|乞2LV(x)
V(x)e^Lx-2LV(x)e2L^0
从而—(V(x)e^LxVi0
dx
所以,对-Xo•[a,b],有
V(x)乞V(x0)e2L(X^),x0乞x^b
对于区间a^x^x。
,令-x_t,并记-x°_t0,则方程(3.1)变为
—f(-t,y)dx
而且已知它有解y=「(-t)和y=「(-t).
类似可得V(x)W(X0)e2L%?
a空x^X0
因此,V(x)—Vaje^x^Ia_x_b,a_x0_b
两边开平方即得(3.17).
利用此引理我们可以证明解对初值的连续依赖性:
解对初值的连续依赖定理
假设f(x,y)在区域G内连续,且关于y满足局部李普希兹条件,如果(怡』0),G,初值问题
凹=f(xy)
dx有解y二(X,X0,y°),它于区间a乞X空b上有定义(aZx°^b),则对任意;0,
y。
二y(x。
)
-=-(;,a,b)0,使得当伍-x°)2■(孑0-y0『仝2时,方程(3.1)满足条件y(X°)=%的解
y=(x,X0,y°)在区间a二x^b上也有定义,并且有
(x,%,yo)-「(X,xo,y°)|•;:
amxeb.
证明记积分曲线段S:
y=(x,x0,y0)三匚(x),a岂x岂b是xy平面上一个有界闭集•
第一步:
找区域D,使SD,而且f(x,y)在D上关于y满足Lipschitz条件.
由已知条件,对-(x,y)・S,存在以它为中心的开圆C,CG,使f(x,y)在其内关于y满足
Lipschitz条件•因此,根据有限覆盖定理,可以找到有限个具有这种性质的圆Ci(i=1,2,||(,N)(不同的
N
Ci,其半径ri和Lipschitz常数Li的大小可能不同),它们的全体覆盖了整个积分曲线段
则SGG,对-;・0,记:
—d(:
:
G,S),二min(;,L2),L二max(L,,川Ln),则以S上的点为中心,以为半径的圆的全体及其边界构成包含S的有界闭域DGG,且f(x,y)在D上关于y满
足Lipschitz条件,Lipschitz常数为L.
第二步:
证明苛:
!
(;ab,):
.0(,使得当(x°-x。
2-y0)x2时,解
y—'(x)V(x,x0,yo)在区间a乞x乞b上也有定义•
由于D是一个有界闭域,且f(x,y)在其内关于y满足Lipschitz条件,由解的延拓定理可知,解y・「(x)二(x,xo,yo)必能延拓到区域D的边界上.设它在D的边界上的点为(c/c)和(d,''(d)),c:
:
:
d,这时必有c_a,d-b.否则设c-a,d:
:
:
b,由引理有
|:
(x)-'-(x)|_|「(x°)-(xo)|eL|xJo1,c空x空d
1
利用(x)的连续性,对r二一e_L(b-a),必有20存在,使当|x「Xo|—2时有I:
:
(X)—(Xo)|:
:
:
r,
2
取、:
=min(「「2),则当(x^-xo)2-(%-yo)2—.2时就有
「(x)亠(x)I2A(x°)」(x°)I2e2L|f一
2
“仮)-认)|十(Xo)」(xo)|)2e2L|f
兰2(|卩仅0)-®(xo)|2+|®(xo)-屮(Xo)|2)e2L|f(3.18)
22、2L(b-a)
:
:
:
2(、i|y。
-y°|)e()
兰46/2)"(cXd)
于是对一切x[c,d],|「(x)亠(x)卜:
成立,特别地有
|;:
(c)亠(c)卜:
I:
(d)(d)卜:
即点(c}(c))和(d,t(d))均落在域D的内部,这与假设矛盾,故解yj-:
(x)在区间[a,b]上有定义•
第三步证明|「(x)(x)|:
:
:
;,a乞x乞b.
在不等式(3.18)中将区间[c,d]换成[a,b],可知当
—2_22(xo—'怡)■(%—%)时,就有
(x,x°,yo)-(x,xo,y°)|;‘:
,a^xEb.
根据方程解对初值的连续依赖定理及解对自变量的连续性有
3、解对初值的连续性定理
若函数f(x,y)在区域G内连续,且关于y满足局部李普希兹条件,则方程(3.1)的解
y=(x,Xo,yo)作为x,xo,yo的函数在它的存在范围内是连续的
证明对一(x°,yo)・G,方程(3.1)过(Xo,y°)的饱和解y二(x,x°,yo)定义于:
(xo,yo)x:
(x,上,令
V二{(x,Xo,yo)|:
(Xo,yo)ExE:
(x°,y°),(x°,yo)G}
下证y=(x,xo,yo)在V上连续•
对—(x,x。
,%)v,[a,b],使解y=(x,xo,%)在[a,b]上有定义,其中x,x^[a,b].
222
对一;o,!
o,使得当(x°-xo)(Vo-yo)—时,
:
(X,x。
,%)一:
(x,Xo,yo)
又y=^"(x,Xo,yo)在x•[a,b]上对x连续,故辽-o,使得当|X-x匸辽时有
9(x,Xo,yoH9(x,Xo,yo)
/x[a,b]
2222
取:
=min(「「2),则只要(X-x)(x^Xo)■(y^yo)—•就有
「(X,Xo,Vo)-(x,xo,yo)
(x,Xo,yo^(x,Xo,yo)|「(X,Xo,yo)-(x,Xo,yo)|zz
<—+—=z
22
从而得知y二(x,Xo,yo)在V上连续.
4、解对初值和参数的连续依赖定理讨论含有参数■的微分方程
dyf(x,y,■)G,:
(x,y)G,:
:
:
■:
:
-(3.19)
dx
如果对-(x,y■,.)G,都存在以(xy■,为中心的球CG,使得对任何(x,yi,'),(x,y2,')'C,成立不等式
|f(x,yi,J-f(x,y2,•)匡L|yi-y2|
其中L是与■无关的正数,称函数f(x,y,-)在G.内关于y—致地满足局部的李普希兹条件.由
JU
解的唯一性,对每一s•G',:
),方程(3.19)通过点(X。
,y。
)•G的解是唯一确定的,记这个解为
y=护(x,xo,y。
,o).
设f(x,y,)在G,内连续,且在G,内关于y—致地满足局部的李普希兹条件,(X。
,y。
,’。
)•G,,y二(x,x。
,y。
,’。
)是方程(3.19)通过(x。
,y。
)的解,在区间a—x—b上有定义,其中a_x。
_b,则对-;•0,(;,a,b)•0,使得当
(x。
-X。
)2(y。
-y。
)2(■-'。
)2—2
时,方程(3.19)通过点仅。
,7。
)的解y=(x,x。
*。
,-)在区间a^x^b上也有定义,并且
(x’x。
,%,')-(x,x。
,y。
,。
):
:
,x[a,b]
5、解对初值和参数的连续性定理
设函数f(x,y,■)在区域G.内连续,且在G,关于y—致地满足局部李普希兹条件,则方程(3.19)
的解y二(x,x。
,y。
,■)作为x,x。
,y。
,■的函数在它的存在范围内是连续的
S=f(x,y)的解
.y。
二y(Xo)
6、解对初值的可微性定理
如果函数f(x,y)以及「f(x,y)都在区域G内连续,则对初值问题
y护(x,x°,y。
)作为x,x°,y。
的函数,在它有定义的范围内有连续可微的
证明由汗(x,y)在区域G内连续,可知f(x,y)在G内关于y满足局部Lipschitz条件,根据解■y
对初值的连续性定理,y二(x,x0,y0)在它的存在范围内关于x,x0,y0是连续的.
下面证明函数y='(X,x。
』。
)在它的存在范围内的任一点偏导数■,八,八存在且连续.
ex%oy。
f(x,:
),显然存在且连续•
:
x
先证存在且连续.
_Xo
由初值(xo,yo)和(x°rxo,y°)所确定的解分别为
y=%x,心y°)三」,yW(x,x°认,y°)三*,
f(x「)dx.
xx
申三y°+jf(x,申)dx,屮三y°+J*
xx
屮—申三[
叽地0
f(X,:
L咗什肓))汗(x,:
)
=+
■:
y
这里当•:
x0—0时,口一•0,且「%=0时,「1=0.类似有
x:
ix0
x
f(x「)dx=「f(x°,y°)「2
其中「1与$具有相同性质,因此对AX。
=0有
Z(x。
)=-f(x0,y°)+「2三z
的解,显然当说=0时,上述初值问题仍然有解.根据解对初值和参数的连续性定理
屮
知z=是x0x,0z,的〉连续函数从而存在
也X。
而是初值问题
-议0
dz:
f(x,)zdx
z(xg)--f(Xo,yo)
的解,容易得到
x阿(x申)
」f(xo,yo)expydx)
显然它是x,x0,y0的连续函数.
同样可证'存在且连续.
內0
设由初值(xo,yo)和(Xo,yoFyo)所确定的解分别为
yV(x,xo,y°)=,y=F(x,Xo,y°:
y。
)=卜,
类似上述方法可证z是初值问题
*dxdy
Z(Xo)=1
的解.因而
:
y°*:
:
y
其中B具有性质:
当绍o>o时,r、o,且-y^o时,r^o.所以有
dx)
显然它是x,xo,yo的连续函数
£Cp
—=f(x,(x.xo.Yo))
.:
Xo
=-f(x°,y°)exp(
.:
yoXo讨
Xo=0:
xoy°=o
例1已知方程为巴=sin(xy)试求一X°=0
dx矶y°=o
解:
方程右端函数f(x,y)=sin(xy)在xy平面内连续,且fy=xcos(xy)也在xy平面内连续,且
其满足y(0)=0的解为y=o.
y(x,x°,y。
)
是
x
scosOds
二e0
fy(x,Xo,y°)
^x0
--sin0e
x
pcos0ds