学年度北师大版数学选修22教学案第一章章末小结知识整合与阶段检测.docx

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学年度北师大版数学选修22教学案第一章章末小结知识整合与阶段检测

——教学资料参考参考范本——

2019-2020学年度北师大版数学选修2-2教学案：

第一章章末小结知识整合与阶段检测

______年______月______日

____________________部门

20xx最新北师大版数学选修2-2教学案：

第一章章末小结知识整合与阶段检测

一、归纳和类比

1．归纳推理和类比推理是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．

2．从推理形式上看，归纳是由部分到整体、由个别到一般的推理；类比是两类事物特征间的推理，是由特殊到特殊的推理．

二、直接证明和间接证明

1．直接证明包括综合法和分析法．

（1）综合法证明数学问题是“由因导果”，而分析法则是“执果索因”，二者一正一反，各有特点．综合法的特点是表述简单、条理清楚，分析法则便于解题思路的探寻．

（2）分析法与综合法往往结合起来使用，即用分析法探寻解题思路，而用综合法书写过程，即“两头凑”，可使问题便于解决．

2．间接证明主要是反证法．

反证法：

一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．

反证法主要适用于以下两种情形：

（1）要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；

（2）如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．

三、数学归纳法

数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为归纳递推，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤．这两步缺一不可．第二步中证明“当n＝k＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的．

（时间90分钟，满分120分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．数列3,5,9,17,33，…的通项an＝（　　）

A．2n　　　　　　　　　　　B．2n＋1

C．2n－1D.2n＋1

答案：

B

2．用反证法证明命题“若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c∈Z）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是奇数”时，下列假设正确的是（　　）

A．假设a，b，c都是奇数

B．假设a，b，c都不是奇数

C．假设a，b，c至多有一个奇数

D．假设a，b，c至多有两个奇数

解析：

命题“a，b，c中至少有一个是奇数”的否定是“a，b，c都不是奇数”，故选B.

答案：

B

3．因为奇函数的图像关于原点对称（大前提），而函数f（x）＝是奇函数（小前提），所以f（x）的图像关于原点对称（结论）．上面的推理有错误，其错误的原因是

（　　）

A．大前提错导致结论错

B．小前提错导致结论错

C．推理形式错导致结论错

D．大前提和小前提都错导致结论错

解析：

因为f

（1）＝f（－1）＝2，所以f（－1）≠－f

（1），所以f（x）不是奇函数，故推理错误的原因是小前提错导致结论错．

答案：

B

4．某同学在电脑上打出如下若干个“★”和“”：

★★★★★★……依此规律继续打下去，那么在前2014个图形中的“★”的个数是（　　）

A．60B．61

C．62D.63

解析：

第一次出现“★”在第一个位置，第二次出现“★”在第（1＋2）个位置，第三次出现“★”在第（1＋2＋3）个位置，…，第n次出现“★”在第（1＋2＋3＋…＋n）个位置．

∵1＋2＋3＋…＋n＝，当n＝62时，＝＝1953,2014－1953＝61<63，∴在前2014个图形中的“★”的个数是62.

答案：

C

5．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：

正四面体的内切球切于四面各正三角形的位置是（　　）

A．各正三角形内的任一点

B．各正三角形的中心

C．各正三角形边上的任一点

D．各正三角形的某中线的中点

解析：

正三角形类比正四面体，正三角形的三边类比正四面体的四个面，三边的中点类比正三角形的中心．

答案：

B

6．已知函数f（x）＝5x，则f（2014）的末四位数字为（　　）

A．3125B．5625

C．0625D.8125

解析：

因为f（5）＝55＝3125的末四位数字为3125，f（6）＝56＝15625的末四位数字为5625，f（7）＝57＝78125的末四位数字为8125，f（8）＝58＝390625的末四位数字为0625，f（9）＝59＝1953125的末四位数字为3125，故周期T＝4.又由于2014＝503×4＋2，因此f（2014）的末四位数字与f（6）的末四位数字相同，即f（2014）的末四位数字是5625.

答案：

B

7．用数学归纳法证明不等式“1＋＋＋…＋≤＋n（n∈N＋）”时，第一步应验证

（　　）

A．1＋≤＋1B．1≤＋1

C．1＋＋＋≤＋2D.1＜＋1

解析：

当n＝1时不等式左边为1＋，右边为＋1，即需要验证：

1＋≤＋1.

答案：

A

8．用数学归纳法证明等式：

（n＋1）（n＋2）…（n＋n）＝2n·1·3·…·（2n－1），从k到k＋1，左边需要增乘的代数式为（　　）

A．2k＋1B．2（2k＋1）

C.D.

解析：

当n＝k＋1时，左边＝（k＋2）（k＋3）…（k＋k）（k＋k＋1）（k＋k＋2），

所以，增乘的式子为

＝2（2k＋1）．

答案：

B

9．对于函数f（x），g（x）和区间D，如果存在x0∈D，使|f（x0）－g（x0）|≤1，则称x0是函数f（x）与g（x）在区间D上的“友好点”．现给出下列四对函数：

①f（x）＝x2，g（x）＝2x－3；

②f（x）＝，g（x）＝x＋2；

③f（x）＝e－x，g（x）＝－；

④f（x）＝lnx，g（x）＝x－.

其中在区间（0，＋∞）上存在“友好点”的是（　　）

A．①②B．②③

C．③④D.①④

解析：

对于①，|f（x）－g（x）|＝|x2－（2x－3）|＝|（x－1）2＋2|≥2，所以函数f（x）与g（x）在区间（0，＋∞）上不存在“友好点”，故①错，应排除A，D；对于②，|f（x）－g（x）|＝|－（x＋2）|＝≥，所以函数f（x）与g（x）在区间（0，＋∞）上也不存在“友好点”，故②错，排除B；同理，可知③④均正确．

答案：

C

10．已知f（x）＝x3＋x，a，b∈R，且a＋b>0，则f（a）＋f（b）的值一定（　　）

A．大于零B．等于零

C．小于零D.正负都有可能

解析：

∵f（x）＝x3＋x，∴f（x）是增函数且是奇函数．

∵a＋b>0，∴a>－b，

∴f（a）>f（－b），∴f（a）＋f（b）>0.

答案：

A

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上）

11．设f（n）＝1＋＋＋…＋（n∈N＋），那么f（n＋1）－f（n）＝________.

解析：

∵f（n＋1）＝1＋＋＋…＋＋＋，∴f（n＋1）－f（n）＝＋.

答案：

＋

12．已知点A（x1，3x1），B（x2，3x2）是函数y＝3x的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的上方，因此有结论>3成立．运用类比思想方法可知，若点A（x1，tanx1），B（x2，tanx2）是函数y＝tanx的图像上任意不同两点，则类似地有____________________成立．

解析：

因为y＝tanx图像是上凸的，因此线段AB的中点的纵坐标总是小于函数y＝tanx图像上的点的纵坐标，即有

答案：

13．观察下列等式：

13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，….根据上述规律，第五个等式为________________________．

解析：

由所给等式可得：

等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下：

1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10，

即左边底数的和等于右边的底数．故第五个等式为：

13＋23＋33＋43＋53＋63＝（1＋2＋3＋4＋5＋6）2＝212.

答案：

13＋23＋33＋43＋53＋63＝212

14．（福建高考）已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}，且下列三个关系：

①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．

解析：

可分下列三种情形：

（1）若只有①正确，则a≠2，b≠2，c＝0，所以a＝b＝1与集合元素的互异性相矛盾，所以只有①正确是不可能的；

（2）若只有②正确，则b＝2，a＝2，c＝0，这与集合元素的互异性相矛盾，所以只有②正确是不可能的；（3）若只有③正确，则c≠0，a＝2，b≠2，所以b＝0，c＝1，所以100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.

答案：

201

三、解答题（本大题共4小题，共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本小题满分12分）若a1>0，a1≠1，an＋1＝（n＝1,2，…）．

（1）求证：

an＋1≠an；

（2）令a1＝，写出a2，a3，a4，a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an.

解：

（1）证明：

采用反证法．假设an＋1＝an，

即＝an，解得an＝0或an＝1，

从而a1＝0或a1＝1，与题设a1>0，a1≠1相矛盾，

故an＋1≠an成立．

（2）a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，

猜想：

an＝.

16．（本小题满分12分）已知△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，试分别用综合法和分析法证明B为锐角．

证明：

法一（分析法）：

要证明B为锐角，因为B为三角形的内角，则只需证cosB>0.

又∵cosB＝，

∴只需证明a2＋c2－b2>0.

∴即证a2＋c2>b2.

∵a2＋c2≥2ac，∴只需证明2ac>b2.

由已知＝＋，即2ac＝b（a＋c），

∴只需证明b（a＋c）>b2，即证a＋c>b成立，在△ABC中，最后一个不等式显然成立．

∴B为锐角．

法二（综合法）：

由题意得：

＝＋＝，

则b＝，b（a＋c）＝2ac>b2（∵a＋c>b）．

∵cosB＝≥>0，

又y＝cosx在（0，π）上单调递减，

∴0

17．（本小题满分12分）已知a，b，c∈（0,1）．

求证：

（1－a）b，（1－b）c，（1－c）a不能都大于.

证明：

假设（1－a）b，（1－b）c，（1－c）a都大于.

因为0

所以1－a>0.由基本不等式，得

≥>＝.

同理，>，

>.

将这三个不等式两边分别相加，得

＋＋>＋＋，

即>，这是不成立的，

故（1－a）b，（1－b）c，（1－c）a不能都大于.

18．（本小题满分14分）是否存在二次函数f（x），使得对于任意n∈N＋，都有＝f（n）成立，若存在，求出f（x）；若不存在，说明理由．

解：

假设存在二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），使得对于∀n∈N＋，都有＝f（n）成立．

当n＝1时，a＋b＋c＝1，　①

当n＝2时，4a＋2b＋c＝，　②

当n＝3时，9a＋3b＋c＝，　③

联立①②③式得a＝，b＝，c＝，

则由以上可假设存在二次函数f（x）＝x2＋x＋，使得对于∀n∈N＋，都有＝f（n）成立．

下面用数学归纳法证明：

（1）当n＝1时，＝1，f

（1）＝＋＋＝1，

所以＝f

（1）成立；

（2）假设当n＝k时，＝f（k）成立，

那么，当n＝k＋1时，

＝·＋（k＋1）

＝f（k）·＋（k＋1）

＝·＋（k＋1）

＝·＋（k＋1）

＝＋（k＋1）

＝＋k＋1

＝（k＋1）2＋（k＋1）＋

＝f（k＋1），

故当n＝k＋1时，＝f（k＋1）也成立．

由

（1）

（2）知，对于∀n∈N＋，＝f（n）都成立．

即存在二次函数f（x）＝x2＋x＋，使得对于∀n∈N＋，都有＝f（n）成立．