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高一数学必修1_2知识点总结

高中数学必修1知识点总结

第一章集合与函数概念

【1.1.1】集合的含义与表示

（1）集合的概念

集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.

（2）常用数集及其记法

NN表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.ZRN,Q，

（3）集合与元素间的关系

aM,aM,对象与集合的关系是，或者，两者必居其一.Ma

（4）集合的表示法

自然语言法:

用文字叙述的形式来描述集合.

列举法:

把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.

|具有的性质}，其中为集合的代表元素.?

描述法:

{xxx

图示法:

用数轴或韦恩图来表示集合.

（5）集合的分类

含有有限个元素的集合叫做有限集.?

含有无限个元素的集合叫做无限集.?

不含有任何元素的集合

叫做空集（）.

【1.1.2】集合间的基本关系

（6）子集、真子集、集合相等

名称记号意义性质示意图

（1）A,A,B

（或A中的任一元素都属,,A

（2）A（B）子集BA于BA,BBC,AC,（3）若且，则B,A）或A,BBA,（4）若且，则AB,

,,AAB

（1）（A为非空子集）,,A,B，且B中至少真子集BA有一元素不属于A,AB,BC,AC,（或BA）

（2）若且，则,,,,

A中的任一元素都属B

（1）A,集合A（B）于B，B中的任一元素AB,

（2）BA,相等都属于A

nnn221,21,nn

（1）,（7）已知集合A有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，

n22,它有非空真子集.

【1.1.3】集合的基本运算

（8）交集、并集、补集

名称记号意义性质示意图

AAA:

（1）{|,xxA,且AB:

（2）交集ABABA:

（3）xB,}ABB:

AAA:

（1）{|,xxA,或AB:

AA:

（2）并集BAABA:

（3）xB,}ABB:

12AAU:

（）ð,AA:

（）ð,,UU

{|,}xxUxA,,且痧（）（）（）ABAB:

UUU补集ðAU

痧ABAB:

（）（）（）UUU

【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法

（1）含绝对值的不等式的解法

不等式解集

||（0）xaa,,{|}xaxa,,,

||（0）xaa,,xxa|,,xa,}或

axb，||xa,看成一个整体，化成，把

||,||（0）axbcaxbcc，,，,,

||（0）xaa,,型不等式来求解

（2）一元二次不等式的解法

判别式

,0,,0,,02,,,bac4

二次函数

2yaxbxca,，，,（0）

O的图象

2一元二次方程,,,bbac4x,1,2b22a无实根xx,,,axbxca，，,,0（0）122a

（其中xx,）的根12

2baxbxca，，,,0（0）或xx,}{|xxx,x,,}{|xR122a的解集

2axbxca，，,,0（0）{|}xxxx,,,,12

的解集

〖1.2〗函数及其表示

【1.2.1】函数的概念

（1）函数的概念

设、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个数，在集合ABABxf

中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）ABABfx（）f

fAB:

叫做集合到的一个函数，记作（AB

函数的三要素:

定义域、值域和对应法则（

只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数（

（2）区间的概念及表示法

ab,axb,,?

设是两个实数，且，满足的实数的集合叫做闭区间，记做;满足xab,[,]abaxb,,axb,,axb,,的实数的集合叫做开区间，记做;满足，或的实数的xx（,）ab

xaxaxbxb,,,,,,,集合叫做半开半闭区间，分别记做，;满足的实数的集x[,）ab（,]ab

[,）,（,）,（,],（,）aabb，,，,,,,,合分别记做（

b{|}xaxb,,注意:

对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须a（,）ab

ab,（

（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则:

是整式时，定义域是全体实数（fx（）

是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数（fx（）

是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合（fx（）

对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1（

yx,tan?

中，（xkkZ,，,（）,2

零（负）指数幂的底数不能为零（

若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数fx（）

的定义域的交集（

fgx[（）]?

对于求复合函数定义域问题，一般步骤是:

若已知的定义域为，其复合函数fx（）[,]ab

agxb,,（）的定义域应由不等式解出（

对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论（?

由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义（

（4）求函数的值域或最值

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的（事实上，如果在函数的值域中存在

一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值（因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，

只是提问的角度不同（求函数值域与最值的常用方法:

观察法:

对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值（

配方法:

将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的

值域或最值（

yfx,（）?

判别式法:

若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程yx

2ay（）0,，则在时，由于为实数，故必须有xy,ayxbyxcy（）（）（）0，，,

2，从而确定函数的值域或最值（,,,,,byaycy（）4（）（）0

不等式法:

利用基本不等式确定函数的值域或最值（

换元法:

通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为

三角函数的最值问题（

反函数法:

利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值（?

数形结合法:

利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值（

函数的单调性法（

【1.2.2】函数的表示法

（5）函数的表示方法

表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种（

解析法:

就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系（列表法:

就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系（图象法:

就是用图象表示两个变量之间的对应关系（

（6）映射的概念

设、是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个元素，在集合中都ABABf

有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合ABABAf

fAB:

到的映射，记作（B

baAbB,,,?

给定一个集合到集合的映射，且（如果元素和元素对应，那么我们把元素ABa

bb叫做元素的象，元素叫做元素的原象（aa

〖1.3〗函数的基本性质

【1.3.1】单调性与最大（小）值

（1）函数的单调性

定义及判定方法

函数的定义图象判定方法性质

如果对于属于定义域I内某

（1）利用定义

个区间上的任意两个自变量

（2）利用已知函数的yy=f（X）

、x,当x

有f（x）

o象上升为增）xxx12（4）利用复合函数函数的

单调性

（1）利用定义

如果对于属于定义域I内某

（2）利用已知函数的yy=f（X）

个区间上的任意两个自变量单调性f（x）1的值x、x，当xf（x），那么就说12（（某个区间图（（（（（（（（（

f（x）在这个区间上是减函数（ox象下降为减）（（（xx12

（4）利用复合函数?

在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数（

yfgx,[（）]ugx,（）yfu,（）ugx,（）?

对于复合函数，令，若为增，为增，则yfgx,[（）]yfu,（）ugx,（）yfgx,[（）]yfu,（）为增;若为减，为减，则为增;若为

ugx,（）yfgx,[（）]yfu,（）ugx,（）增，为减，则为减;若为减，为增，则yyfgx,[（）]为减（

（2）打“?

”函数的图象与性质fxxa（）（0）,，,x

分别在、上为增函数，分别在（,],,,a[,）a，,fx（）

、上为减函数（[,0）,a（0,]a

（3）最大（小）值定义

yfx,（）?

一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足:

（1）IM

xI,fxM（）,对于任意的，都有;

（2）存在，使得（那么，我们称是函数的最大值，记作MxI,fxM（）,fx（）00

（fxM（）,max

xI,yfx,（）?

一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数满足:

（1）对于任意的，都有m

fxm（）,;

（2）存在，使得（那么，我们称是函数的最小值，记作mxI,fxm（）,fx（）00

（fxm（）,max

【1.3.2】奇偶性

（4）函数的奇偶性

定义及判定方法

函数的定义图象判定方法性质

如果对于函数f（x）定义域内

（1）利用定义（要先

任意一个x，都有f（,x）=,判断定义域是否关于（（（（（（（

f（x）,那么函数f（x）叫做奇函原点对称）（（（（（（

数（

（2）利用图象（图象（

关于原点对称）

函数的

奇偶性如果对于函数f（x）定义域内

（1）利用定义（要先

任意一个x，都有f（,x）=f（x）,判断定义域是否关于（（（（（（（（（（

那么函数f（x）叫做偶函数（原点对称）（（（

（2）利用图象（图象

关于y轴对称）

x,0f（0）0,?

若函数为奇函数，且在处有定义，则（fx（）

奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反（yy

在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数（

〖补充知识〗函数的图象

（1）作图

利用描点法作图:

确定函数的定义域;?

化解函数解析式;

讨论函数的性质（奇偶性、单调性）;?

画出函数的图象（

利用基本函数图象的变换作图:

要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象（

平移变换

hh,0,左移个单位yfxyfxh,,,,,,,,,,，（）（）hh,0,|右移|个单位

kk,上移个单位0,yfxyfxk,,,,,,,,,,，（）（）kk,下移|个单位0,|

伸缩变换

01,,,,伸yfxyfx,,,,,,,（）（）,,1,缩,

01,,,A缩yfxyAfx,,,,,,,（）（）A,1,伸

对称变换

y轴x轴yfxyfx,,,,,,,（）（）yfxyfx,,,,,,,（）（）

直线yx,原点,1yfxyfx,,,,,,,,（）（）yfxyfx,,,,,,,（）（）

去掉轴左边图象yyfxyfx,,,,,,,,,,,,,,,,,,（）（||）保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象yy

保留轴上方图象xyfxyfx,,,,,,,,,,,,（）|（）|将轴下方图象翻折上去x

（2）识图

对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义

域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系（（3）用图

函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，

获得问题结果的重要工具（要重视数形结合解题的思想方法（

高中数学必修1知识点总结

第二章基本初等函数（?

）

〖2.1〗指数函数

【2.1.1】指数与指数幂的运算

（1）根式的概念

如果，且，那么叫做的次方根（当是奇数时，xaaRxRn,,,,,,,1nN,xann，

nn的次方根用符号表示;当是偶数时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方aaannann

n根用符号表示;0的次方根是0;负数没有次方根（,anan

式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数（当为奇数时，为任意实数;当anana

a,0为偶数时，（n

nnnnaa,?

根式的性质:

;当为奇数时，;当为偶数时，nn（）aa,

aa（0）,,nn（aa,,||,,,aa（0）,

（2）分数指数幂的概念

mnmnaaamnN,,,（0,,,n,1）?

正数的正分数指数幂的意义是:

且（0的正分数指数，

幂等于0（

mm,11mnnnaamnN,,,,（）（）（0,,,n,1）?

正数的负分数指数幂的意义是:

且（0，aa

的负分数指数幂没有意义（注意口诀:

底数取倒数，指数取相反数（（3）分数指数幂的运算性质

rsrs，rsrs?

aaaarsR,,,,（0,,）（）（0,,）aaarsR,,,

rrr?

（）（0,0,）abababrR,,,,

【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数

函数名称指数函数

x定义a,1）函数且叫做指数函数yaa,,（0

a,101,,a

xxyyy,ay,a

图象（0,1）y,1y,1（0,1）

11OOxx00

定义域R

（0,），,值域

x,0过定点图象过定点，即当时，（（0,1）y,1

奇偶性非奇非偶

单调性在上是增函数在上是减函数RR

xxax,,1（0）ax,,1（0）

函数值的xxax,,1（0）ax,,1（0）变化情况xxax,,1（0）ax,,1（0）变化对图象的影响在第一象限内，越大图象越高;在第二象限内，越大图象越低（aaa

〖2.2〗对数函数

【2.2.1】对数与对数运算

（1）对数的定义

xN，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，?

若aNaa,,,（0,1）且xaxN,logaaN叫做真数（

负数和零没有对数（

对数式与指数式的互化:

（xNaNaaN,,,,,,log（0,1,0）a

（2）几个重要的对数恒等式

b，，（log10,log1a,logab,aaa

（3）常用对数与自然对数

lnNe,2.71828常用对数:

，即;自然对数:

，即（其中„）（logNlogNlgN10e

aaMN,,,,0,1,0,0（4）对数的运算性质如果，那么

加法:

减法:

logloglog（）MNMN，,logloglogMN,,aaaaaaN

logNnaaN,?

数乘:

nMMnRloglog（）,,aa

logNnnb?

换底公式:

log（0,1）Nbb,,,且loglog（0,）MMbnR,,,baaalogabb

【2.2.2】对数函数及其性质

（5）对数函数

函数对数函数名称

a,1）函数且叫做对数函数定义yxa,,log（0a

a,101,,a

x,1x,1yyyx,logyx,logaa

图象（1,0）11

OO（1,0）xx00

（0,），,定义域

值域R

x,1过定点图象过定点，即当时，（（1,0）y,0奇偶性非奇非偶

（0,），,（0,），,在上是增函数在上是减函数单调性

log0

（1）xx,,log0

（1）xx,,aa函数值的log0

（1）xx,,log0

（1）xx,,aa变化情况

log0（01）xx,,,log0（01）xx,,,aa

变化对图象的影响在第一象限内，越大图象越靠低;在第四象限内，越大图象越靠高（aaa

（6）反函数的概念

Cyfx,（）yfx,（）xy,,（）设函数的定义域为A，值域为，从式子中解出，得式子（如x

Cxy,,（）果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式Ayx

1xy,,（）xy,,（）yfx,（）子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，xyxfy,（）

1习惯上改写成（yfx,（）

（7）反函数的求法

1yfx,（）?

确定反函数的定义域，即原函数的值域;?

从原函数式中反解出;xfy,（）

1,1?

将改写成，并注明反函数的定义域（xfy,（）yfx,（）

（8）反函数的性质

1yfx,（）?

原函数与反函数的图象关于直线对称（yx,yfx,（）

1yfx,（）?

函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域（yfx,（）

',1Pab（,）yfx,（）?

若在原函数的图象上，则在反函数的图象上（Pba（,）yfx,（）

yfx,（）?

一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数（

〖2.3〗幂函数

（1）幂函数的定义

一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数（x,yx,

（2）幂函数的图象

（3）幂函数的性质

图象分布:

幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象（幂函数是偶函数时，图象分布在第

一、二象限（图象关于轴对称）;是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象关于原点对称）;是非奇非y

偶函数时，图象只分布在第一象限（

（0,），,?

过定点:

所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点（（1,1）

,0,,0[0,），,?

单调性:

如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数（如果，则幂函数

（0,），,的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴（xy

奇偶性:

当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数（当,,（其中互,,pq,p

qqppqZ,yx,yx,质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则ppqpq

qpyx,是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数（pq

,,101,,x?

图象特征:

幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若yx,yxx,,，,,（0,）

x,1,,1x,101,,x，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，yx,yx,其图象在直线下方（yx,

〖补充知识〗二次函数

（1）二次函数解析式的三种形式

22?

一般式:

顶点式:

两根式:

fxaxbxca（）（0）,，，,fxaxhka（）（）（0）,,，,

（2）求二次函数解析式的方法fxaxxxxa（）（）（）（0）,,,,12

已知三个点坐标时，宜用一般式（

已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式（

若已知抛物线与轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求更方便（xfx（）（3）二次函数图象的性质

b2?

二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是fxaxbxca（）（0）,，，,x,,,2a

2bacb4,（（,）,24aa

bbba,0x,,?

当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，（,],,,[,）,，,2a2a2a

24acb,bba,0fx（）,;当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上（,],,,[,）,，,min4a2a2a

2b4acb,x,,递减，当时，fx（）,（max4a2a

22,,,,bac40?

二次函数当时，图象与轴有两个交点xfxaxbxca（）（0）,，，,

（MxMxMMxx（,0）,（,0）,||||,,,11221212||a

2（4）一元二次方程根的分布axbxca，，,,0（0）

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不

够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，

下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布（

2设一元二次方程的两实根为，且（令xx,axbxca，，,,0（0）xx,1212

b2x,,，从以下四个方面来分析此类问题:

开口方向:

对称轴位置:

afxaxbxc（）,，，2a

判别式:

端点函数值符号（,

k,x?

x,12

yybx,,a,0f（k）,02a,

OOkxxxxk2112xx

bf（k）,0a,0x,,2a?

x,k,12

yybf（k）,0x,,a,02a,

OOkx2xxxk211xx

a,0bf（k）,0x,,2a?

x,k,xaf（k）,0,12

a,0f（k）,0,

OkOxxxx211k2xx

f（k）,0

a,0

k,x?

x,k,1122

ya,0byx,,2a（）0fk,,1fk,（）02,

kxk1x221OOxx2kk112xx,,fk,（）01bf（k）,02x,,a,02a

有且仅有一个根x（或x）满足k,x（或x）,kf（k）f（k）0，并同时考虑f（k）=0,,121122121

或f（k）=0这两种情况是否也符合2

yya,0

（）0f（k）,0fk,,11

kxk212OOxxx12kk211xx

fk,（）02a,0fk,（）02

k,x,k?

p,x,p,112122

此结论可直接由?

推出（

2（5）二次函数在闭区间上的最值fxaxbxca（）（0）,，，,[,]pq

1设在区间上的最大值为，最小值为，令（Mmfx（）[,]pqxpq,，（）02

a,0（?

）当时（开口向上）

bbbbmfp,（）pq,,,,,q?

若，则?

若，则,,pmf,,（）2a2a2a2amfq,（）

by,a0,,xyybb,,a0a02a,,,,xx2a2affff（q）（p）（p）p（q）qqOxqppOOxxfbbbff（）,f（）,（p）f（）,bb2a2a2aMfq,（）Mfp,（）,,x,,x?

若，则?

，则（q）002a2a

yb,a0b,,yx,a0,,x2a2af

f（p）qx0（q）xp0pOxqOxbfff（）,2ab（p）（q）f（）,2a

a,0（?

）当时（开口向下）

bbbbMfp,（）?

若，则?

若pq,,,，则?

若,,q，则,,pMf,,（）2a2a2a2a

Mfq,（）

y,ba0yy,,bba0a0f（）,ff（）,f（）,2a2a2a（q）ffp（p）（p）qq

qOxppOOxxfffbbb,,x,,,,xx（p）（q）（q）2a2a2a

bbmfq,（）mfp,（）,,x,,x?

若，则?

，则（00

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