学年华师版数学八年级上册 132 三角形全等的判定.docx

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学年华师版数学八年级上册132三角形全等的判定

13.2.1全等三角形1

13.2.2《全等三角形的判定条件》5

13.2.3边角边11

13.2.4角边角15

13.2.5边边边19

13.2.6斜边直角边23

13.2.1全等三角形

教学目标

1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；

2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；

3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．

教学重点

全等三角形的性质．

教学难点

找全等三角形的对应边、对应角．

教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

1、问题：

你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？

这两个三角形是完全重合的．

2．学生自己动手（同桌两名同学配合）

取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样．

3．获取概念

让学生用自己的语言叙述：

全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边，以及有关的数学符号．

形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形．

要是把两个图形放在一起，能够完全重合，就可以说明这两个图形的形状、大小相同．

概括全等形的准确定义：

能够完全重合的两个图形叫做全等形．请同学们类推得出全等三角形的概念，并理解对应顶点、对应角、对应边的含义．仔细阅读课本中“全等”符号表示的要求．

Ⅱ．导入新课

将△ABC沿直线BC平移得△DEF；将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC；将△ABC旋转180°得△AED．

议一议：

各图中的两个三角形全等吗？

不难得出：

△ABC≌△DEF，△ABC≌△DBC，△ABC≌△AED．

（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）

启示：

一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略．

观察与思考：

寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？

对应角呢？

（引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系）

得到全等三角形的性质：

全等三角形的对应边相等．全等三角形的对应角相等．

[例1]如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角．

问题：

△OCA≌△OBD，说明这两个三角形可以重合，思考通过怎样变换可以使两三角形重合？

将△OCA翻折可以使△OCA与△OBD重合．因为C和B、A和D是对应顶点，所以C和B重合，A和D重合．

∠C=∠B；∠A=∠D；∠AOC=∠DOB．AC=DB；OA=OD；OC=OB．

总结：

两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法．

[例2]如图，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角．

分析：

对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将△ABE和△ACD从复杂的图形中分离出来．

根据位置元素来找：

有相等元素，它们就是对应元素，然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素．常用方法有：

（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．

（2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．

解：

对应角为∠BAE和∠CAD．

对应边为AB与AC、AE与AD、BE与CD．

[例3]已知如图△ABC≌△ADE，试找出对应边、对应角．（由学生讨论完成）

借鉴例2的方法，可以发现∠A=∠A，在两个三角形中∠A的对边分别是BC和DE，所以BC和DE是一组对应边．而AB与AE显然不重合，所以AB与AD是一组对应边，剩下的AC与AE自然是一组对应边了．再根据对应边所对的角是对应角可得∠B与∠D是对应角，∠ACB与∠AED是对应角．所以说对应边为AB与AD、AC与AE、BC与DE．对应角为∠A与∠A、∠B与∠D、∠ACB与∠AED．

做法二：

沿A与BC、DE交点O的连线将△ABC翻折180°后，它正好和△ADE重合．这时就可找到对应边为：

AB与AD、AC与AE、BC与DE．对应角为∠A与∠A、∠B与∠D、∠ACB与∠AED．

Ⅲ．课堂练习

课本练习1．

Ⅳ．课时小结

通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素．这也是大家要重点掌握的．

找对应元素的常用方法有两种：

（一）从运动角度看

1．翻转法：

找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素．

2．旋转法：

三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素．

3．平移法：

沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素．

（二）根据位置元素来推理

1．全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边．

2．全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．

Ⅴ．作业

课本习题

板书设计

§13.2.1全等三角形

一、概念

二、全等三角形的性质

三、性质应用

例1：

（运动角度看问题）

例2：

（根据位置来推理）

例3：

（根据位置和运动角度两种办法来推理）

四、小结：

找对应元素的方法

运动法：

翻折、旋转、平移．

位置法：

对应角→对应边，对应边→对应角．

13.2.2《全等三角形的判定条件》

教学目标

1知识目标:

探索三角形全等的条件

2能力目标:

使学生经历探索三角形全等条件的过程,体会如何探索研究问题,并初步体会分类思想,提高学生分析问题和解决问题的能力.

3思想目标:

通过画图、比较、验证，培养学生注重观察、善于思考、不断总结的良好思维习惯。

教学重点、难点:

重点：

利用边边边证明两个三角形全等

难点：

探究三角形全等的条件

教学过程

（一）复习提问

1、什么叫全等三角形？

2、全等三角形有什么性质？

3、若△ABC≌△DEF,点A与点D,点B与点E是对应点,试写出其中相等的线段和角.

（二）新课讲解:

问题1：

如图:

在△ABC和△DEF中,AB=DE,BC=EF,AC=DF,∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F,则△ABC和△DEF全等吗?

问题2:

△ABC和△DEF全等是不是一定要满足AB=DE,BC=EF,AC=DF,∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F这六个条件呢？

若满足这六个条件中的一个、两个或三个条件,这两个三角形全等吗?

一个条件可分为：

一组边相等和一组角相等

两个条件可分为：

两个边相等、两个角相等、一组边一组角相等

探究一：

1.只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等）。

①只给一条边：

②只给一个角：

2.给出两个条件：

①一边一内角：

②两内角：

②两内角：

③两边：

问题3：

两个三角形若满足这六个条件中的三个条件能保证它们全等吗？

满足三个条件有几种情形呢？

3.给出三个条件

三个条件可分为：

三条边相等、三个角相等、两角一边相等、两边一角相等

例：

画△ABC,使AB=2,AC=3,BC=4

画法:

1画线段BC=4

2分别以A、B为圆心，以2和3为半径作弧，交于点C。

则△ABC即为所求的三角形

把你画的三角形与其同桌所画的三角形剪下来，进行比较，它们能否互相重合？

归纳：

有三边对应相等的两个三角形全等.

可以简写成“边边边”或“SSS”

用数学语言表述：

在△ABC和△DEF中

AB=DE

BC=EF

CA=FD

∴△ABC≌△DEF（SSS）

（三）题例训练:

例1填空：

１、在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立：

如图，在△AOB和△DOC中

AO=DO（已知）

______=________（已知）

BO=CO（已知）

∴△AOB≌△DOC（SSS）

２、如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？

试说明理由。

解：

△ABC≌△DCB理由如下：

在△ABC和△DCB中

AB=DC

AC=DB

——=——

∴△ABC≌（）

例２.如下图，△ABC是一个刚架，AB=AC，AD是连接A与BC中点D的支架。

求证：

△ABD≌△ACD

证明：

∵D是BC中点

BD=CD

在△ABD和△ACD中：

AB=AC（已知）

AD=AD（公共边）

BD=CD（已证）

∴△ABD≌△ACD（SSS）

证明的书写步骤：

①准备条件：

证全等时把要用的条件要先证好；

②三角形全等书写步骤：

1写出在哪两个三角形中

2摆出三个条件用大括号括起来

3写出全等结论

例３：

如图，在四边形ABCD中

AB=CD，AD=BC，求证:

∠A=∠C

证明:

在△ABD和△CDB中

AB=CD（已知）

AD=BC（已知）

BD=DB（公共边）

∴△ABD≌△CDB（SSS）

∴∠A=∠C（全等三角形的对应角相等）

练习:

1、如图，D、F是线段BC上的两点，

AB=EC，AF=ED，要使△ABF≌△ECD，

还需要条件

2、已知:

B、E、C、F在同一直线上,AB=DE,AC=DF

并且BE=CF,

求证:

△ABC≌△DEF

小结：

1、本节所讲主要内容为利用“边边边”证明两个三角形全等。

2证明三角形全等的书写步骤。

3证明三角形全等应注意的问题。

13.2.3边角边

教学目标：

知识与技能

1．探究“边角边”公理，并会用它证明三角形全等

2．能利用三角形全等的定理进行证明和计算．

过程与方法

学生在教师引导下，积极主动地经历探索三角形全等的条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。

情感态度目标

（1）通过动手作图，让学生接触事物、感之事物，获得亲身体验和直接经验，从中发现问题。

（2）通过学生动手操作和探究活动，培养学生自主、合作学习和探究精神。

教学重点、难点

重点：

掌握全等三角形的条件“SAS”，并能应用它来判定两个三角形全等。

难点：

探索“SAS”及应用。

教具学具准备：

直尺，圆规

预习导航

1．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等吗？

2．利用S

AS证

明全等时应注意那些问题？

教学过程设计

一、引入课题

我们学习哪种三角形全等的判定方法？

那么，当两个三角形的两条边和一个角对应相等时，这两个三角形是否全等呢？

这节课我们就来研究这个问题。

（板书）

二、合作发现

学生分组活动：

画一个三角形，使它的两条边长分别是1.5cm,2.5cm，其中一个角是30°

画好后同桌两人讨论：

两个三角形的两条边和其中一边的对角对应相等时，这两个三角形全等吗？

提问：

由刚才活动得出的结论，满足什么条件的两个三角形全等？

将两边和它们的夹角的数据改换成另一组，再与同学一起按新数据画三角形．通过对所画三角形的比较，你能得出什么结论？

总结定理：

这个事实可以简写为“”或“”

.数学符号表示为：

因为，

所以。

三、应用新知

图1是一种测量工具的示意图．其中AB=CD，并且AB,CD的中点O被固定在一起，AB,CD可以绕点O转动．在图2中，只要量出AC的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少．这是为什么？

请把你的想法和同学进行交流．

（1）

（2）

2．已知：

如图AD∥BC，AD＝CB．

请你说明△ADＣ≌△CBＡ

四、反馈练习

1、课本65页练习1题

2、已知如图，AC和BD相交于O，且被点O平分，你能得到AB‖CD，且AB=CD吗？

请说明理由。

3、七

（1）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B的距离，设计了如下方案：

先

在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长；方案是否可行？

请说明理由。

五、点滴收获

1、

本节课你最大的收获是什么？

2、两个三角形全等必须具备三个条件：

两边及夹角对应相等

3、利用SAS方法判断三角形全等，并利用三角形全等来解决实际问题

注意：

要判定两个三角形全等时，边和角“对应相等”，而不是

“分别相等”即：

两个三角形中相等的边和角必须有相同的顺序。

六、布置作业：

课后习题P65

页2，3

让各组派代表说说做法，比较有什么不同，老师总结，有

三种做法1．两条边长分别是1.5cm,2.5cm，并且长为1.5cm的这条边所对应的角

是30°。

2．两条边长分别是1.5cm,2.5cm，并且长为2.5cm的这条边所对应的角是30°。

3．两条边长分别是1.5cm,2.5cm，这两条边的夹角为30°。

规范数学语言。

引导学生将实际问题抽象出来，准化为数学问题，画出图形，用自己的语言表达。

然后老师给推理过程，并让学生说出每一步的依据。

建议由学生自己独立完成。

目的有两个：

一是让学生体会利用“SAS判断两个三角形全等的基本思路，二是让学生写出推理过程。

教师可以进行及时引导和

修正。

（教师提问学生，然后师生共同总结）

板书设计

三角形全等的条件

例

图1图2解:

结论：

简写

：

SAS

注意：

SSA（×）

注意：

要判定两个三角形全等时，边和角“对应相等”，而不是“分

别相等”即：

两个三角形中相等的边和角必须有相同的顺序.

13.2.4角边角

[教学目标]

1．会说出三角形全等判定的角边角及其推论。

2．会应用角边角和角角边证明两个三角形全等，进而证明线段相等或角相等。

此外，在帮助学生熟悉角边角的应用中，进一步渗透综合法和分析法的思想方法，从而提高学生演绎推理的条理性和逻辑性。

[引导性材料]

每个学生用硬纸板任意剪一个三角形，如图3．6－1把三角形纸板撕成两部分。

尝试利用其中的一部分能否再剪一个与原三角形全等的三角形?

图3．6－1

[教学设计]

问题1：

从上面的实践中容易发现利用第Ⅱ部分可以剪出与原来三角形全等的三角形。

观察、比较第Ⅰ、Ⅱ两部分有什么不同?

问题2：

观察第二次剪出来的三角形与原三角形的第Ⅱ部分，有哪些边和角是重合的?

问题3：

从利用第Ⅱ部分可以剪出与原三角形全等的三角形的事实中，你得到什么启发?

从上面的动手实践中，可以发现两个三角形有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

我们把这个事实作为判定两个三角形全等的另一个条件──角边角。

角边角可以简写成“ASA”。

问题4：

从利用第Ⅰ部分不能剪出与原三角形全等的三角形的事实中，你又可以得出什么结论?

问题5：

把一个三角分成如图3．6－2中的两部分，尝试用其中的一部分能否剪出与原三角形全等的三角形?

图3．6－2

问题6：

利用3．6－2中的两部分，都不能剪出与原三角形全等的三角形，你又可以得出什么结论?

从问题4、问题6的探究中，不难发现，两个三角形中，只有一个元素相等不能判定两个三角形全等；只有两个元素对应相等也不能判定两个三角形全等。

说明：

问题4、5、6似乎与“角边角”的教学无关，但设计这几个问题有助于让学生主动发现判定两个三角形全等需要三个元素对应相等。

同时也有助于培养学生思维的批判性。

练一练：

1．填空完成下列分析和证明：

已知：

如图3．6－3中，∠1＝∠2，∠C＝∠D。

求证：

AC＝AD

分析：

要证AC＝AD，只要证△____≌△____。

由已知条件不能直接推证这两个三角形全等，还需∠____=∠_____。

由已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，可知180°－（____）=180°－（____）,即∠____=∠_____，于是可以根据“_____”判定这两个三角形全等。

（由学生完成证明）

图3．6－3

由于两个三角形中，如果有两个角对应相等，由三角形内角和定理，可以推出第三对角也相等，由此可得“角边角”的推论：

有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

简写成“角角边”或“AAS”。

2．已知：

如图3．6－3中，∠1＝∠2，∠3＝∠4。

求证：

AC＝AD

证明：

（1）∵∠3＝∠4（已知）

∴180°－∠____=180°－∠____，

即∠____=∠_____。

在△ABC和△ABD中，

∠____=∠_____，

____=_____，

∠____=∠_____，

∴△ABC≌△ABD（ASA）。

（2）∵∠3＝∠1＋∠____，∠4=∠2＋∠____。

（__________________________________）。

又∵∠1=∠2

∴∠____=∠____

在△ABC和△ABD中，

∠_____＝∠_____,

∠____=∠_____,

____=_____。

∴△ABC≌△ABD（AAS）。

[例题解析]

例：

（即课本例3）

[小结]

1．两个三角形全等的判定依据有：

全等三角形定义、SAS、ASA、AAS。

2．判定两个三角形全等，要有三个元素对应相等。

3，用角边角、角角边判定两个三角形全等时，要十分注意边和角“对应相等”，而不是“分别相等”，也就是两个三角形中相等的边和角必须有相同的顺序，比如图3．6－4中，AD＝BC，DE∥BC，于是∠1＝∠B。

在△ABC和△ADE中，虽有∠A＝∠A，AD＝BC，∠1＝∠B，但是△ABC与△ADE不全等。

图3．6－4

13.2.5边边边

【教学目标】：

知识与技能：

掌握三角形全等的“边边边”的条件；

过程与方法：

经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神．

情感态度与价值观：

让学生在自主探索三角形全等的过程中

，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方法和享受良好的情感体验．让学生体验数学来源于生活，又服务于生活的辩证思想．

教学重点:

三角形全等的条件．

　　教学难点：

寻求三角形全等的条件．

教学方法:

采用启发诱导，实例探究，

讲练结合，小组合作等方法。

学情分析：

这节课是学了全等三角形的基本知识后的一节课、只要实际操作不出错、学生一

定能学好，根据之前的学情、学好这一节课有把握。

课前准备全等三角形纸片、三角板、

【教学过程】：

一、创设情境，引入新课

[师]，回忆前面研究过的全等三角形．已知△ABC≌△A′B′C′，找出其中相等的边与角．

[生]图中相等的边是：

AB=A′B、BC=B′C′、AC=A′C．

相等的角是：

∠A=∠A′、∠B=∠B′、∠C=∠C′．

[师]很好，老师这里有一个三角形纸片，你能画一个三角形与它全等吗？

怎样画？

[生]能，先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等．这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等．

[师]这位同学利用了全等三角形的定义来作图．请问，是否一定需要六个条件呢？

条件能否尽可能少呢？

现在我们就来探究这个问题．

1．只给一

个条件（一组对应边相等或一组对应角

相等），画出的两个三角形一定全等吗？

2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？

分别按下列条件做一做．

①三角形一内角为30°，一条边为3cm．

②三角形两内角分别为30°和50°．

③三角形两条边分别为4cm、6cm．

学生活动：

分

组讨论、探索、归纳，最后以组为单位

出示结果作补充交流．

结果展示：

1．只给定一条边时：

只给定一个角时：

2．给出的两个条件可能是：

一边一内角、两内角、两边．

可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等．

[师]那么，给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？

[生]四

种可能．即：

三内角、三条边、两边一内角、两内有一边．

[师]在大家刚才的探索中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等．下面我们就来逐一探索其余的三种情况．

二、探究：

做一做：

已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm．你能画出这个三角形吗？

把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？

学生活动：

1．讨论作法．

2．比较、验证结果．

3．探究、发现、总结规律．

教师活动：

教师可参与到学生的制作与讨论中，及时发现问题，因势利导．

活动结果展

示

：

1．作图方法：

先画一线段AB，使得AB=6cm，再分别以A、B为圆心，8cm、10cm为半径画弧，两弧交点记作C，连结线段AC、

BC，就可以得到三角形ABC，使得它们的边长分别为AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm．

2．以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现都能够重合．这说明这些三角形都是全等的．

3．特殊的三角形有这样的规律，要是任意画一个三角形ABC，根据前面作法，同样可以作出一个

三角形A/B/C/，使AB=A/B/、AC=A/C/、BC=B/C/．将△A/B/C/剪下，发现两三角形重合．这反映了一个规律：

三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．

[师]用上面的规律可以判断两个

三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据．请看例题．

三、例题

[例]如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．

求证：

△ABD≌△ACD．

[师生共析]要证△ABD≌△ACD，可以看这两个三角形的三条边是否对应相等．

证明：

因为D是BC的中点

所

以BD=DC

在△ABD和△A

CD中

所以△ABD≌△ACD（SSS）．

生活实践介绍：

用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．所以日常生活中常利用三角形做支架．就是利用三角形的

稳定性．例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等．

四、课时小结

本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等的一个规律SSS．并利用它可以证明简单的三角形全等问题．

五、布置作业

必做题：

课本P73页练习的第1，选做题：

第2题

六、板书设计：

13.2.5边边边

一、复习导入

二、尝试活动探索新知

三、应用新知解决问题

四、总结提高

【教学反思】

13.2.6斜边直角边

【教学目标】：

知识与技能：

直角三角形全等的条件：

“斜边、直角边”．

过程与方法：

经历探究直角三角形全等条件的过程，体会一般与特殊的辩证关系．掌握直角三角形全等的条件：

“斜边、直角边”．能运用全等三角形的条

件，解决简单的推理证明问题．

情感态度与价值观：

通过画图、探究、归纳、交流使学生获得一些研究问题的经验和方法．发展实践能力和创新精神

教学重点:

运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

　　教学难点：

熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

教学方法:

采用启发诱导，实例探