届湖南省长沙市高三模拟一数学理试题.docx
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届湖南省长沙市高三模拟一数学理试题
2016届湖南省长沙市高三模拟
（一）数学（理）试题
数学
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.）
1.设i为虚数单位，则复数
3?
2i
的虚部是i
A．3i B．?
3i C．3 D．-3
2.记集合A?
?
x|x?
a?
0?
B?
?
y|y?
sinx,x?
R?
，若0?
A?
B，则a的取值范围是
A．,0?
B．,0?
C．?
0,D．?
0,
3.某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是A．圆柱B．圆锥C．棱锥D．棱柱4.二项式?
x?
2?
展开式中x的系数为A．5 B．16 C．80 D．-80
5.已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是A．an1?
n?
15?
2,n为奇数n?
?
1 B．an?
?
C．an?
2sin
2?
0,n为偶数D．an?
cos?
n?
11
6.考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有
A．10种 B．60种 C．125种 D．243种
7.某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：
学习成绩优秀学习成绩不优秀合计使用智能手机不使用智能手机合计416xx年某地某月10天的AQI的茎叶图如右．
利用该样本估计该地本月空气质量优良的天数；
将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为?
，求?
的概率分布列和数学期望．19.
如图，矩形BDEF垂直于正方形ABCD,GC垂直于平面ABCD．且
AB?
DE,CG?
1DE．2
证明：
面GEF?
面AEF；求二面角B?
EG?
C的余弦值．20.
x2y23,P?
?
2,1?
是C1上一点．已知椭圆C1:
2?
2?
1?
a?
b?
0?
的离心率为ab2求椭圆C1的方程；
B、Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，设A、平行于AB的直线l交C1于
异于P、Q的两点C、D．点C关于原点的对称点为E．证明：
直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．
21.已知函数f?
x?
?
alnx?
12x?
ax有两个极值点．2求实数a的取值范围；
设f?
x?
的两个极值点分别为x1,x2．若不等式f?
x1?
?
f?
x2x1?
x2?
恒成立，求?
的最小值．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-1：
几何证明选讲
?
．如图，C、D是以AB为直径的半圆上两点，且?
AD?
CD
若CD//AB，证明：
直线AC平分?
DAB；
2作DE?
AB交AC于E．证明：
CD?
AE?
AC．
23.选修4-4：
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为?
?
4?
cos?
?
3?
0,0,2?
?
．
2求C1的直角坐标方程；
?
?
x?
tcos?
?
6曲线C2的参数方程为?
，求C1与C2的公共点的极坐标．
?
?
y?
tsin?
6?
24.选修4-5：
不等式选讲设?
?
?
均为实数．
证明：
coscos?
?
sin?
;sincos?
?
cos?
．若0，证明：
cos?
?
cos?
?
cos?
?
1．
参考答案
一、选择题题号答案1D2A3B4C5C6B7A8D9D10A11A12D二、填空题
13.e?
114.115.416.4028三、解答题
17.【解析】当n?
1时，题设知a1?
4；当n?
2时，题设a1?
aa2n?
2n?
1，2naa2n?
1?
2n．2n?
1an?
1n两式相减得：
n?
2?
2，
n知a1?
即an?
n?
2n?
n?
2?
，
4,n?
1?
?
故?
an?
的通项公式为an?
?
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分n*?
?
n?
2?
n?
2,n?
N?
设?
an?
的前n项和为Sn，则Sn?
1?
22?
2?
22n?
2n，
2Sn?
1?
23?
2?
23n?
1?
?
2n?
n?
2n?
1，
n?
123n两式相减得Sn?
n?
2?
2?
22
?
?
?
n?
2n?
1?
4?
?
2n?
1?
1n?
1?
?
2n?
1
?
4．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
18．【解析】从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为
63?
，从而估计该月空气质量优良的天数为105
330?
?
18．．．．．．．．．．．．．．．5分
5估计某天空气质量优良的概率为
33，?
的所有可能取值为0，1，2，3．52283654?
2?
13?
2?
2?
3?
2，P0,P1?
?
C3?
P?
?
2?
C35?
5?
125?
5?
125?
5?
512527?
3?
，P35?
125故?
的分布列为：
3?
P01238365427 125125125125显然?
?
B?
3,?
E?
?
3?
19.【解析】解法一：
?
3?
?
5?
3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分?
．
5
如图，设EF中点为M，连结AM、GM、AG、AC．不妨设CG?
1，
因为CG?
面ABCD，故CG?
AC，
从而在等腰?
AEF，等腰?
GEF中分别求得AM?
6,GM?
3，此时在?
AMG中有AM?
GM=AG，
222
所以AM?
GM，
因为M是等腰?
AEF底边中点，所以AM?
EF，所以AM?
平面GEF，
因此面GEF?
面AEF．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
如图延长EG、DC，设交点为H，作CN?
GH，垂足为N，连结BN，因为BC?
CG,BC?
DC，所以BC?
面EDH，
从而BC?
EH，又因为CN?
GH，所以EG?
面BCN，从而EG?
BN，所以?
BNC即为二面角B?
EG?
C的平面角，不妨设CG?
1，则
在直角?
EDH中可求得CN?
255，于是在RT?
BCN中可求得cos?
CNB?
66，所以二面角B?
EG?
C的余弦值为66．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．解法二：
如图，建立空间直角坐标系D?
xyz．不妨设CG?
1，
则题设条件可知：
A?
2,0,0?
B?
2,2,0?
E?
0,0,2?
F?
2,2,2?
G?
0,2,1?
．AE2,0,2?
EF2,2,0?
EG0,2,?
1?
，
12分
设面AEF的法向量为n?
?
x,y,z?
，
AE?
n?
0?
?
2x?
2z?
0得：
?
，?
?
2x?
2y?
0?
EF?
n?
0可取n?
?
1,?
1,1?
，设面GEF的法向量为m，
EG?
m?
0知，可取m1,1,2?
，?
EF?
m?
0n?
?
1?
1?
2?
0，于是m?
所以面GEF?
面AEF．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分EF?
?
2,2,?
2?
GB?
?
2,0,?
1?
，设面BEG的法向量为u?
?
x,y,z?
，
EB?
u?
0?
x?
y?
z?
0得：
?
，可取u?
?
1,1,2?
，?
2x?
z?
0u?
0?
?
GB因为DA?
平面EGC，故取平面EGC的法向量为DA?
?
2,0,0?
，
u?
DA26?
因此cosu,DA?
．66?
2uDA所以二面角B?
EG?
C的余弦值为
6．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分620.【解析】因为C1离心率为322，所以a?
4b，2x2y2从而C1的方程为：
2?
2?
1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
4bb代入P?
?
2,1?
解得：
b?
2，
2因此a?
8．
2x2y2?
?
1．所以椭圆C1的方程为：
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分82题设知A、B的坐标分别为?
?
2,?
1?
?
2,1?
，
1，21设直线l的方程为：
y?
x?
t，
2因此直线l的斜率为
1?
y?
x?
t?
?
222?
2得：
x?
2tx?
2t?
4?
0，2?
x?
y?
1?
2?
8当?
?
0时，不妨设C?
x1,y1?
D?
x2,y2?
，于是x1?
x2?
?
2t,x1x2?
2t2?
4，分别设直线PD、PE的斜率为k1,k2，则k1?
k2?
y2?
1?
y1?
1?
y2?
1?
?
2?
x12?
x2?
?
y1?
1?
，?
?
x2?
2?
x1?
2?
2?
x2?
?
2?
x1?
则要证直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形，只需证?
y2?
1?
?
2?
x12?
x2?
?
y1?
1?
?
0，
而?
y2?
1?
?
2?
x12?
x2?
?
y1?
1?
?
2?
y2?
y1x1y2?
x2y1?
?
x1?
x2?
4
?
x2?
x1?
x1x2?
t?
x1?
x2?
?
x1?
x2?
4?
?
x1x2?
t?
x1?
x2?
?
4?
?
2t?
4?
2t?
4?
0所以直线PD、PE与y轴转成的三角形是等腰三角形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
22
ax2?
ax?
a21.【解析】f?
?
xx?
a?
?
x?
0?
，
xx于是f?
x?
有两个极值点需要二次方程x?
ax?
a?
0有两正根，
2a2?
4a?
0?
设其两根为x1,x2，则?
x1?
x2?
a?
0，解得a?
4，不妨设x1?
x2，
?
xx?
a?
0?
12此时在?
0,x1?
上f?
?
x?
?
0,?
x1,x2?
上f?
?
x?
?
0,?
x2上f?
?
x?
?
0，因此x1,x2是f?
x?
的两个极值点，符合题意．
所以a的取值范围是?
4,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分f?
x1?
?
f?
x2?
?
alnx1?
1212x1?
ax1?
alnx2?
x2?
ax222122x1?
x2?
a?
x1?
x2212?
alnx1x2?
?
x1?
x2?
?
x1x2?
a?
x1?
x2?
21a?
lna?
a?
1?
2?
?
alnx1x2?
于是
f?
x1?
?
f?
x2?
1?
lna?
a?
1，
x1?
x22111a?
1，则a，2a2令?
?
a?
?
lna?
因为a?
4，所以a?
?
0，于是?
?
a?
?
lna?
1a?
1在?
4,上单调递减，2因此
f?
x1?
?
f?
x2?
f?
x1?
?
f?
x2?
可无限接近ln4?
3，a4?
?
ln4?
3．且
x1?
x2x1?
x2f?
x1?
?
f?
x2，
x1?
x2又因为x1?
x2?
0，故不等式f?
x1?
?
f?
x2x1?
x2?
等价于
所以?
的最小值为ln4?
3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.【解析】题设CD//AB可知，?
DCA?
?
BAC，
?
，所以?
DAC?
?
DCA，因为?
AD?
DC从而?
DAC?
?
BAC，因此，AC平分?
DAB．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
0DE?
AB知，?
ADE?
?
DAB?
90，
因为AB为直径，所以?
DBA?
?
DAB?
90，从而?
ADE?
?
ABD，又因为?
ABD?
?
DCA，所以?
ADE?
?
ACD，因此?
ADE?
?
ACD，
所以AD?
AE?
AC，而AD?
DC，
所以CD?
AE?
AC．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
220
2?
?
2?
x?
2y223.【解析】将?
代入?
2?
4?
cos?
?
3?
0得：
．．．．．．．4?
x?
2?
?
y2?
1．
os?
?
x?
?
c分
题设可知，C2是过坐标原点，倾斜角为因此C2的极坐标方程为?
?
将的直线，6?
6或?
?
7?
，?
?
0，6?
6代入C1:
?
2?
23?
?
3?
0，解得：
?
?
3，
同理，将?
?
7?
代入C1得：
3，不合题意．6故C1,C2公共点的极坐标为?
3,24.【解析】
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分?
．6?
coscos?
cos?
?
sin?
sin?
?
cos?
cos?
?
sin?
sin?
?
cos?
?
sin?
；sinsin?
cos?
?
cos?
sin?
?
sin?
cos?
?
cos?
sin?
?
cos?
?
cos?
．．
．．．．．．．．．5分
知，coscos?
?
sincos?
?
cos?
?
cos?
，而0，故cos?
?
cos?
?
cos?
?
1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
?
?
数学
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.）
1.设i为虚数单位，则复数
3?
2i
的虚部是i
A．3i B．?
3i C．3 D．-3
2.记集合A?
?
x|x?
a?
0?
B?
?
y|y?
sinx,x?
R?
，若0?
A?
B，则a的取值范围是
A．,0?
B．,0?
C．?
0,D．?
0,
3.某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是A．圆柱B．圆锥C．棱锥D．棱柱4.二项式?
x?
2?
展开式中x的系数为A．5 B．16 C．80 D．-80
5.已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是A．an1?
n?
15?
2,n为奇数n?
?
1 B．an?
?
C．an?
2sin
2?
0,n为偶数D．an?
cos?
n?
11
6.考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有
A．10种 B．60种 C．125种 D．243种
7.某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：
学习成绩优秀学习成绩不优秀合计使用智能手机不使用智能手机合计416xx年某地某月10天的AQI的茎叶图如右．
利用该样本估计该地本月空气质量优良的天数；
将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为?
，求?
的概率分布列和数学期望．19.
如图，矩形BDEF垂直于正方形ABCD,GC垂直于平面ABCD．且
AB?
DE,CG?
1DE．2
证明：
面GEF?
面AEF；求二面角B?
EG?
C的余弦值．20.
x2y23,P?
?
2,1?
是C1上一点．已知椭圆C1:
2?
2?
1?
a?
b?
0?
的离心率为ab2求椭圆C1的方程；
B、Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，设A、平行于AB的直线l交C1于
异于P、Q的两点C、D．点C关于原点的对称点为E．证明：
直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．
21.已知函数f?
x?
?
alnx?
12x?
ax有两个极值点．2求实数a的取值范围；
设f?
x?
的两个极值点分别为x1,x2．若不等式f?
x1?
?
f?
x2x1?
x2?
恒成立，求?
的最小值．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-1：
几何证明选讲
?
．如图，C、D是以AB为直径的半圆上两点，且?
AD?
CD
若CD//AB，证明：
直线AC平分?
DAB；
2作DE?
AB交AC于E．证明：
CD?
AE?
AC．
23.选修4-4：
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为?
?
4?
cos?
?
3?
0,0,2?
?
．
2求C1的直角坐标方程；
?
?
x?
tcos?
?
6曲线C2的参数方程为?
，求C1与C2的公共点的极坐标．
?
?
y?
tsin?
6?
24.选修4-5：
不等式选讲设?
?
?
均为实数．
证明：
coscos?
?
sin?
;sincos?
?
cos?
．若0，证明：
cos?
?
cos?
?
cos?
?
1．
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