【答案】C。
【考点】三角形内心的性质，切线的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】如图，连接圆心O和三个切点D、G、H，分别过点E、F作AB的垂线交AB于点I、J。
∵EF∥AB，∴∠HEO=∠IAE，EI=OD。
又∵OD=OH，∴EI=OH。
又∵∠EHO=∠AIE=900，∴△EHO≌△AIE（AAS）。
∴EO=AE。
同理，FO=BF。
∴AE+BF=EO+FO=EF。
故选C。
二、填空题
1.（2012福建厦门4分）如图，已知∠ABC＝90°，AB＝πr，BC＝
，半径为r的⊙O从点A出发，沿A→B→C方向滚动到点C时停止.请你根据题意，在图上画出圆心O运动路径的示意图；圆心O运动的路程是▲.
【答案】2πr。
【考点】作图题，弧长的计算。
【分析】根据题意画出图形，将运动路径分为三部分：
OO1，O1O2，O2O3，分别计算出各部分的长再相加即可：
圆心O运动路径如图：
∵OO1=AB=πr；O1O2=
；O2O3=BC=
，
∴圆心O运动的路程是πr+
+
=2πr。
2.（2012福建莆田4分）若扇形的圆心角为60°，弧长为２
，则扇形的半径为 ▲ ．
【答案】6。
【考点】弧长的计算。
【分析】利用扇形的弧长公式表示出扇形的弧长，将已知的圆心角及弧长代入，即可求出扇形的半径：
∵扇形的圆心角为60°，弧长为2π，
∴
，即
，解得，扇形的半径R=6。
3.（2012福建南平3分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC=68°，则∠BAC=▲
【答案】22°。
【考点】圆周角定理。
【分析】由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠B的度数，又由直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB=90°，继而求得答案：
∵∠ABC与∠ADC是AC对的圆周角，∴∠ABC=∠ADC=68°。
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°。
∴∠BAC=90°－∠ABC=90°－68°=22°。
4.（2012福建漳州4分）如图，⊙O的半径为3cm，当圆心O到直线AB的距离为▲cm时，直线AB与⊙O相切．
【答案】3。
【考点】直线与圆的位置关系，切线的性质。
【分析】∵⊙O的半径为3cm，当圆心O到直线AB的距离等于半径时，直线AB与⊙O相切，
∴当圆心O到直线AB的距离为3cm时，直线AB与⊙O相切。
三、解答题
1.（2012福建厦门9分）已知：
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于E，
∠BCD＝∠BAC.
（1）求证：
AC＝AD；
（2）过点C作直线CF，交AB的延长线于点F，若∠BCF＝30°,则结论“CF一定是⊙O的切线”是否正确？
若正确，请证明；若不正确，请举反例.
【答案】
（1）证明：
∵∠BCD＝∠BAC，∴
＝
。
∵AB为⊙O的直径，∴AB⊥CD，CE＝DE。
∴AC＝AD。
（2）解：
不正确，如当∠CAB＝20°时，CF不是⊙O的切线。
如图，连接OC。
∵OC＝OA，∴∠OCA＝20°。
∵∠ACB＝90°，∴∠OCB＝70°。
又∵∠BCF＝30°，∴∠FCO＝100°。
∴CO与FC不垂直.。
∴此时CF不是⊙O的切线.。
【考点】圆周角定理，垂径定理，线段垂直平分线的性质，切线的判定。
【分析】
（1）连接AD．根据∠BCD=∠BAC，∠CBE=∠ABC，证出△CBE∽△ABC，可得∠BEC=90°，于是∠D=∠CBA=∠ACD，故AC=AD。
（2）不正确。
可令∠CAB=20°，连接OC，据此推出∠OCF≠90°，从而证出∠BCF=30°时“CF不一定是⊙O的切线”。
2.（2012福建莆田10分）如图，点C在以AB为直径的半圆O上，延长BC到点D，使得CD＝BC，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，点G为DF的中点，连接CG、OF、FB．
（1）（5分）求证：
CG是⊙O的切线；
（2）（5分）若△AFB的面积是△DCG的面积的2倍，求证：
OF∥BC．
【答案】证明：
（1）如图，连接OC，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=900。
∵在Rt△DCF中，DG＝FG，∴CG＝DG＝FG。
∴∠CFG＝∠FCG。
又∵∠CFG＝∠AFE，∴∠FCG＝∠AFE。
∵OA＝OC，∴∠EAF＝∠OCA。
又∵DE⊥AB，∴∠EAF＋∠AFE＝90°。
∴∠OCA＋∠FCG＝90°，即∠GCO=90°。
又∵OC是⊙O的半径，∴CG为⊙O的切线。
（2）∵DG＝FG，∴
。
∵DC＝CB，∴
，∴
。
又∵
，∴
。
∴AF＝FC。
又∵OA＝OB，∴OF是△ABC的中位线。
∴OF∥BC。
【考点】切线的判定，圆周角定理，直角三角形斜边的中线性质，三角形中位线的判定和性质。
【分析】
（1）连接OC．欲证CG是⊙O的切线，只需证明∠CGO=90°，即CG⊥OC。
（2）根据直角三角形ABC、直角三角形DCF的面积公式，以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求得AC=2AF；然后根据三角形中位线的判定和性质证得结论。
3.（2012福建南平10分）如图，直线l与⊙O交于C、D两点，且与半径OA垂直，垂足为H，已知OD=2，∠O=60°，
（1）求CD的长；
（2）在OD的延长线上取一点B，连接AB、AD，若AD=BD，求证：
AB是⊙O的切线．
【答案】
（1）解：
∵OA⊥CD，∴H为CD的中点，即CH=DH。
在Rt△OHD中，∠O=60°，∴∠ODH=30°。
又OD=2，∴OH=
OD=1。
根据勾股定理得：
。
∴CD=2HD=
。
（2）证明：
∵OA=OD，∠O=60°，∴△AOD为等边三角形。
∴OD=AD。
∴∠OAD=∠ODA。
又∵AD=DB，∴∠DAB=∠DBA。
∴∠OAD+∠ODA+∠DAB+∠DBA=2（∠ODA+∠DAB）=180°，
∴∠ODA+∠DAB=90°，即∠OAB=90°。
又∵OA是⊙O的半径，∴AB为圆O的切线。
【考点】切线的判定，勾股定理，垂径定理，含30°角直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。
【分析】
（1）由OA垂直于CD，利用垂径定理得到H为CD的中点，在Rt△ODE中，由∠O=60°求出
∠ODH=30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由OD的长求出OH的长，再利用勾股定理求出HD的长，由CD=2HD即可求出CD的长。
（2）由OA=OD且∠O=60°，得到△OAD为等边三角形，可得出AD=OD，利用等边对等角得到一对角相等，再由AD=DB，利用等边对等角得到一对角相等，又这四个角之和为180°，等量代换可得出∠OAB为直角，即OA垂直于AB，即可得到AB为圆O的切线，得证。
4.（2012福建宁德10分）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O上的点C作它的切线交AB的延长线于点D，∠D＝30º．
（1）求∠A的度数；
（2）过点C作CF⊥AB于点E，交⊙O于点F，CF＝4
，求弧BC的长度（结果保留
）．
【答案】解：
（1）连接OC，∵CD切⊙O于点C，∴∠OCD=90°。
∵∠D=30°，∴∠COD=60°。
∵OA=OC。
∴∠A=∠ACO=30°。
（2）∵CF⊥直径AB，CF=4
，∴CE=2
。
∴在Rt△OCE中，
。
∴弧BC的长度为
。
【考点】切线的性质，直角三角形两锐角的关系，圆周角定理，垂径定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，弧长的计算。
【分析】
（1）连接OC，则△OCD是直角三角形，可求出∠COD的度数；由于∠A与∠COD是同弧所对的圆周角与圆心角．根据圆周角定理即可求得∠A的度数。
（2）解Rt△OCE求出即可求出弧BC的长度。
5.（2012福建龙岩10分）如图，已知CB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，点A为CD延长线上一点，BC=AB，∠CAB=30°．
（1）求证:
AB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求
的长．
6.（2012福建三明10分）如图，在△ABC中，点O在AB上，以O为圆心的圆经过A，C两点，交AB于点D，已知∠A=α，∠B=β，且2α＋β=900．
（1）求证：
BC是⊙O的切线；（5分）
（2）若OA=6，
，求BC的长．（5分）
【答案】解：
（1）证明：
如图，连接OC，则∠BOC=2∠A=2α，
∴∠BOC+∠B=2α＋β=900。
∴∠BCO=900，即OC⊥BC。
∴BC是的⊙O切线。
（2）∵OC=OA=6，由
（1）知，OC⊥BC，
在Rt△BOC中，
，即
。
∴OB=10。
∴
。
【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形外角性质和内角和定理，锐角三角函数定义，勾股定理。
【分析】
（1）连接OC，则由等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角性质得∠BOC=2∠A=2α，，从而由已知2α＋β=900，根据三角形内角和定理可求得∠BCO=900，即OC⊥BC。
即BC是⊙O的切线。
（2）由已知OA=6，
，根据锐角三角函数定义和勾股定理可求BC的长。
7.（2012福建福州12分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，
垂足为D，AD交⊙O于点E．
（1）求证：
AC平分∠DAB；
（2）若∠B＝60º，CD＝2
，求AE的长．
【答案】解：
（1）证明：
如图，连接OC，
∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD。
∴∠OCD＝90°。
∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°。
∴∠OCD＋∠ADC＝180°。
∴AD∥OC。
∴∠CAD＝∠ACO。
∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO。
∴∠CAD＝∠CAO，即AC平分∠DAB。
（2）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．
又∵∠B＝60°，∴∠CAD＝∠CAB＝30°。
在Rt△ACD中，CD＝2
，∴AC＝2CD＝4
。
在Rt△ABC中，AC＝4
，∴AB＝
＝
＝8。
连接OE，
∵∠EAO＝2∠CAB＝60°，OA＝OE，∴△AOE是等边三角形。
∴AE＝OA＝
AB＝4。
【考点】切线的性质，平行的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定和性质。
【分析】
（1）连接OC，由CD为⊙O的切线，根据切线的性质得到OC垂直于CD，由AD垂直于CD，可
得出OC平行于AD，根据两直线平行内错角相等可得出∠CAD＝∠ACO，再由OA＝OC，利用等边对等
角得到∠ACO＝∠CAO，等量代换可得出∠CAD＝∠CAO，即AC为角平分线。
（2）由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB为直角，在Rt△ABC中，
由∠B的度数求出∠CAB的度数为30°，可得出∠CAD的度数为30°。
在Rt△ACD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由CD的长求出AC的长，在Rt△ABC中，根据cos30°及AC的长，利用锐角三角函数定义求出AB的长，从而得出半径OE的长，由∠EAO为60°，及OE＝OA，得到△AEO为等边三角形，可得出AE＝OA＝OE，即可确定出AE的长。
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