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实际问题
2016年人教版九年级数学上册同步测试：
21.3实际问题与一元二次方程
一．选一选
1．王先生到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是4.25%．若到期后取出得到本息（本金+利息）33825元．设王先生存入的本金为x元，则下面所列方程正确的是（ ）
A．x+3×4.25%x=33825B．x+4.25%x=33825
C．3×4.25%x=33825D．3（x+4.25x）=33825
2．若一元二次方程x2﹣4x﹣5=0的根是直角三角形斜边上的中线长，则这个直角三角形的斜边长为（ ）
A．2B．10C．2或10D．5
3．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（ ）
A．14B．12C．12或14D．以上都不对
4．某商店经销一种商品，由于进价降低了5%，出售价不变，使得利润由m%提高到（m+6）%，则m的值为（ ）
A．10B．12C．14D．17
5．由于受H7N9禽流感的影响，今年4月份鸡的价格两次大幅下降．由原来每斤12元连续两次降价a%后售价下调到每斤5元，下列所列方程中正确的是（ ）
A．12（1+a%）2=5B．12（1﹣a%）2=5C．12（1﹣2a%）=5D．12（1﹣a2%）=5
6．某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式从一块长30cm，宽12cm的长方形薄铁皮的四个角上，截去四个相同的小正方形，余下部分的面积为296cm2，则截去小正方形的边长为（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
8．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（ ）
A．32B．126C．135D．144
二．填一填
9．游行队伍有8行12列，后又增加了69人，使得队伍增加的行、列数相同，增加 行 列．
10．在实数范围内定义运算“※”，其法则为a※b=a2﹣b2，那么方程（4※3）※x=24的解为 ．
11．参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有 人参加聚会．
12．用一条长为40cm的绳子 （填“能”或“不能”）围成一个面积为10cm2的长方形？
13．某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程s（m）和时间t（s）之间的关系为：
s=10t+3t2，那么行驶200m需要 s．
14．旧车交易市场有一辆原价为12万元的轿车，已使用3年，如果第一年的折旧率为20%，后其折旧率有所变化，现知第三年末这辆轿车值7.776万元．假设这辆车第二、第三年平均每年的折旧率都相同为x，则由题意可得方程 ．
15．根据牛顿发现的有关自由落体运动的规律，我们知道竖直向上抛出的物体，上升的高度h（m）与时间t（s）的关系式为h=v0t﹣
gt2，一般情况下，g=9.8m/s2．如果v0=9.8m/s，那么经过 s竖直向上抛出的小球的上升高度为4.9m．
16．将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成
，定义：
，上述记号叫做2阶行列式．若
，则x= ．
17．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖出（350﹣10a）件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，若商店计划要赚400元，需要卖出 件商品，每件商品应售价为 元．
18．如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：
3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，则横竖彩条的宽度分别为 ．
三．做一做
19．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：
如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？
20．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：
在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：
销售单价（元）
x
销售量y（件）
销售玩具获得利润w（元）
（2）在
（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．
（3）在
（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
21．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；
（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
2016年人教版九年级数学上册同步测试：
21.3实际问题与一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选一选
1．王先生到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是4.25%．若到期后取出得到本息（本金+利息）33825元．设王先生存入的本金为x元，则下面所列方程正确的是（ ）
A．x+3×4.25%x=33825B．x+4.25%x=33825
C．3×4.25%x=33825D．3（x+4.25x）=33825
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】根据“利息=本金×利率×时间”（利率和时间应对应），代入数值，计算即可得出结论．
【解答】解：
设王先生存入的本金为x元，根据题意得出：
x+3×4.25%x=33825；
故选：
A．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，计算的关键是根据利息、利率、时间和本金的关系，进行计算即可．
2．若一元二次方程x2﹣4x﹣5=0的根是直角三角形斜边上的中线长，则这个直角三角形的斜边长为（ ）
A．2B．10C．2或10D．5
【考点】直角三角形斜边上的中线；解一元二次方程-因式分解法．
【分析】解一元二次方程求出中线，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【解答】解：
因式分解得，（x+1）（x﹣5）=0，
由此得，x+1=0，x﹣5=0，
所以，x1=﹣1，x2=5，
所以，直角三角形斜边上的中线长为5，
所以，这个直角三角形的斜边长为2×5=10．
故选B．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，因式分解法解一元二次方程，熟记性质是解题的关键．
3．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（ ）
A．14B．12C．12或14D．以上都不对
【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．
【分析】易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，排除不合题意的边，进而求得三角形周长即可．
【解答】解：
解方程x2﹣12x+35=0得：
x=5或x=7．
当x=7时，3+4=7，不能组成三角形；
当x=5时，3+4＞5，三边能够组成三角形．
∴该三角形的周长为3+4+5=12，故选B．
【点评】本题主要考查三角形三边关系，注意在求周长时一定要先判断是否能构成三角形．
4．某商店经销一种商品，由于进价降低了5%，出售价不变，使得利润由m%提高到（m+6）%，则m的值为（ ）
A．10B．12C．14D．17
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】本题中，因为售价=进价+利润，所以等量关系是：
原进价+原来利润=进价降低后的进价+降价后的利润．
【解答】解：
设原进价为x，则：
x+m%•x=95%•x+95%•x•（m+6）%，
∴1+m%=95%+95%（m+6）%，
∴100+m=95+0.95（m+6），
∴0.05m=0.7
解得：
m=14．
故选C．
【点评】此类题常用到得数量关系是：
售价=进价+利润，进价×利润率=利润．
5．由于受H7N9禽流感的影响，今年4月份鸡的价格两次大幅下降．由原来每斤12元连续两次降价a%后售价下调到每斤5元，下列所列方程中正确的是（ ）
A．12（1+a%）2=5B．12（1﹣a%）2=5C．12（1﹣2a%）=5D．12（1﹣a2%）=5
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）=5，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：
第一次降价后的价格为12（1﹣a%），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低a%，
为12（1﹣a%）（1﹣a%），则列出的方程是12（1﹣a%）2=5，
故选B．
【点评】考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
6．某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式从一块长30cm，宽12cm的长方形薄铁皮的四个角上，截去四个相同的小正方形，余下部分的面积为296cm2，则截去小正方形的边长为（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】设截去小正方形的边长为xcm，则长方形的面积﹣四个小正方形的面积=296cm2．
【解答】解：
设截去小正方形的边长为xcm，则
30×12﹣4x2=296，
整理，得4x2=64，
解得x=4（舍去负值）．
故选：
D．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
8．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（ ）
A．32B．126C．135D．144
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】压轴题．
【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为192，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可．
【解答】解：
根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：
x，则最大数为x+16，根据题意得出：
x（x+16）=192，
解得：
x1=8，x2=﹣24，（不合题意舍去），
故最小的三个数为：
8，9，10，
下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为：
15，16，17，
第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为：
22，23，24，
故这9个数的和为：
8+9+10+15+16+17+22+23+24=144．
故选：
D．
【点评】此题主要考查了数字变化规律以及一元二次方程的解法，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键．
二．填一填
9．游行队伍有8行12列，后又增加了69人，使得队伍增加的行、列数相同，增加 3 行 3 列．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设队伍增加的行数为x，则增加的列数也为x，根据游行队伍人数的等量关系列出方程即可．
【解答】解：
设队伍增加的行数为x，则增加的列数也为x，根据题意得
（8+x）（12+x）=8×12+69，
解得x1=﹣23（舍去），x2=3．
答：
增加3行3列．
故答案为：
3，3．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
10．在实数范围内定义运算“※”，其法则为a※b=a2﹣b2，那么方程（4※3）※x=24的解为 x1=5，x2=﹣5 ．
【考点】解一元二次方程-直接开平方法．
【专题】新定义．
【分析】根据a※b=a2﹣b2，得出（4※3）※x=24整理后的方程，再利用直接开平方法解方程即可．
【解答】解：
∵a※b=a2﹣b2，
∴（4※3）※x=24，
（16﹣9）※x=24，
∴72﹣x2=24，
∴x2=25，
解得：
x1=5，x2=﹣5，
故答案为：
x1=5，x2=﹣5．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程以及新定义运算，根据已知得出运算规律是解决问题的关键．
11．参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有 5 人参加聚会．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设有x人参加聚会，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手x﹣1次，且其中任何两人的握手只有一次，因而共有
x（x﹣1）次，设出未知数列方程解答即可．
【解答】解：
设有x人参加聚会，根据题意列方程得，
=10，
解得x1=5，x2=﹣4（不合题意，舍去）；
答：
有5人参加聚会．
故答案为：
5．
【点评】此题主要考查列方程解应用题，理解：
设有x人参加聚会，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手x﹣1次是关键．
12．用一条长为40cm的绳子 能 （填“能”或“不能”）围成一个面积为10cm2的长方形？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】设长方形的长为xcm，则长方形的宽为（20﹣x）cm，由长方形的面积公式建立方程求出其解即可．
【解答】解：
设长方形的长为xcm，则长方形的宽为（20﹣x）cm，由题意，得
x（20﹣x）=10，
x2﹣20x+10=0．
∴a=1，b=﹣20，c=10，
∴b2﹣4ac=400﹣40=360＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根，
∴用一条长为40cm的绳子能围成一个面积为10cm2的长方形．
故答案为：
能．
【点评】本题考查了矩形的面积公式的运用，求根公式法解一元二次方程的运用，解答时由矩形的面积=长×宽建立方程是关键．
13．某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程s（m）和时间t（s）之间的关系为：
s=10t+3t2，那么行驶200m需要
s．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】汽车行驶的路程s（m）与时间t（s）之间的函数关系是：
s=10t+3t2，可以根据这个关系式，把已定要行使s=200m路程代入关系式求得时间t．
【解答】解：
依题意：
10t+3t2=200，
整理得3t2+10t﹣200=0，
解得t1=﹣10（不合题意舍去），t2=
．
故答案为：
．
【点评】考查了一元二次方程的应用．同学们遇到此类题：
已知两个变量的函数关系和其中一个变量的数值，求另一个变量时，只要把已知变量代入函数关系式即可求出．
点拨：
同学在日常的学习中都习惯于公式s=vt，实际生活中，任何物体的运动速度都不是恒定不变的，而是随着时间的变化而变化，题目中给出了s与t之间的函数关系，求当s=200时t的值．
14．旧车交易市场有一辆原价为12万元的轿车，已使用3年，如果第一年的折旧率为20%，后其折旧率有所变化，现知第三年末这辆轿车值7.776万元．假设这辆车第二、第三年平均每年的折旧率都相同为x，则由题意可得方程 12（1﹣20%）（1﹣x）2=7.776 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】易得第一年的价格为12×（1﹣20%），那么等量关系为：
第一年的价格×（1﹣折旧率）2=7.776．
【解答】解：
第一年的价格为12×（1﹣20%），
因为这辆车后两年平均每年的折旧率为x．
则12（1﹣20%）（1﹣x）2=7.776．
故答案是：
12（1﹣20%）（1﹣x）2=7.776．
【点评】考查由实际问题抽象出一元二次方程．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
15．根据牛顿发现的有关自由落体运动的规律，我们知道竖直向上抛出的物体，上升的高度h（m）与时间t（s）的关系式为h=v0t﹣
gt2，一般情况下，g=9.8m/s2．如果v0=9.8m/s，那么经过 1 s竖直向上抛出的小球的上升高度为4.9m．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】当h=4.9时代入关系式h=v0t﹣
gt2，解关于t的一元二次方程求出t的值即可．
【解答】解：
由题意，得
当h=4.9时，
4.9=9.8t﹣
×9.8t2，
解得：
t1=t2=1．
故答案为：
1．
【点评】本题考查了化简求值的运用，因式分解法解一元二次方程的运用，解答时灵活运用一元二次方程的解法是关键．
16．将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成
，定义：
，上述记号叫做2阶行列式．若
，则x=
．
【考点】整式的混合运算；解一元一次方程．
【专题】压轴题；新定义．
【分析】根据题中已知的新定义化简已知的方程，然后利用和与差的完全平方公式化简，得到关于x的一元二次方程，开方即可求出x的值．
【解答】解：
根据题意可知：
=（x+1）2﹣（1﹣x）（x﹣1）=（x+1）2+（x﹣1）2=2x2+2=6，
即x2=2，解得：
x=
或x=﹣
．
故答案为：
±
．
【点评】本题主要考查完全平方公式的运用，以及理解并运用新定义的能力．熟记公式是解题的关键．
17．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖出（350﹣10a）件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，若商店计划要赚400元，需要卖出 100 件商品，每件商品应售价为 25 元．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】销售问题．
【分析】由销售问题的数量关系总利润=单件利润×数量建立方程求出其解即可．
【解答】解：
由题意，得
（a﹣21）（350﹣10a）=400，
解得：
x1=25，x2=31，
∵x≤21（1+20%），
∴x≤25.2．
∴x=25．
卖出的数量为：
350﹣10×25=100件．
故答案为：
100，25．
【点评】本题考查了销售问题的数量关系总利润=单件利润×数量的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时由销售问题的数量关系建立方程是关键．
18．如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：
3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，则横竖彩条的宽度分别为
cm，
cm ．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】要求彩条的宽度，可设横彩条的宽为x，则竖彩条宽为
x，横彩条的长为矩形的宽，竖彩条的长为矩形的长，由此可分别求出横竖彩条的面积，由图可知横竖彩条有重叠的面积，所以横竖彩条的面积减去重叠的部分等于总面积的三分之一，由此列方程，解出解．
【解答】解：
设横彩条的宽度为xcm，则竖彩条的宽度为
x，
由图可知一个横彩条的面积为：
x×20，一个竖彩条的面积为：
x×30，
有四个重叠的部分，重叠的面积为：
x×
x×4，
因为所有彩条的面积为总面积的三分之一，
所以列方程为：
2×x×20+2×
x×30﹣x×
x×4=
×20×30，
解得：
x1=
，x2=20（二倍大于30，舍去），
应设计横的彩条宽为
cm，竖的彩条宽为
cm，
故答案为：
cm，
cm．
【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，根据题、图，正确的列出方程，此时注意，重叠的面积在算横竖彩条的面积时算了两次，故减去一次，才等于总面积的三分之一．解出的x解要判断x的合法性，舍去不合题意的x的值．
三．做一做
19．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：
如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】根据一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单价，进而得出等式方程求出即可．
【解答】解：
设购买了x件这种服装且多于10件，根据题意得出：
[80﹣2（x﹣10）]x=1200，
解得：
x1=20，x2=30，
当x=20时，80﹣2（20﹣10）=60元＞50元，符合题意；
当x=30时，80﹣2（30﹣10）=40元＜50元，不合题意，舍去；
答：
她购买了20件这种服装．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知得出每件服装的单价是解题关键．
20．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：
在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：
销售单价（元）
x
销售量y（件）
1000﹣10x
销售玩具获得利润w（元）
﹣10x2+1300x﹣30000
（2）在
（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．
（3）在
（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【专题】优选方案问题．
【分析】
（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得y=600﹣（x﹣40）×10=1000﹣10x，利润=（1000﹣10x）（x﹣30）=﹣10x2+1300x﹣30000；
（2）令﹣10x2+1300x﹣30000=10000，求出x的值即可；
（3）首先求出x的取值范围，然后把w=﹣10x2+1300x﹣30000转化成y=﹣10（x﹣65）2+12250，结合x的取值范围，求出最大利润．
【解答】解：
（1）
销售单价（元）
x
销售量y（件）
1000﹣10x
销售玩具获得利润w（元）
﹣10x2+1300x﹣30000
（2）﹣10x2+1300x﹣30000=10000
解之得：
x1=50，x2=80
答：
玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润，
（3）根据题意得
解之得：
44≤x≤46，
w=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250，
∵a=﹣10＜0，对称轴是直线x=65，
∴当44≤x≤46时，w随x增大而增大．
∴当x=46时，W最大值=8640（元）．
答：
商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大．
21．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库
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