高中数学第二章平面向量章末复习课导学案新人教A版必修.docx

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高中数学第二章平面向量章末复习课导学案新人教A版必修

第二章平面向量

学习目标　1.回顾梳理向量的有关概念，进一步体会向量的有关概念的特征.2.系统整理向量线性运算、数量积运算及相应的运算律和运算性质.3.体会应用向量解决问题的基本思想和基本方法.4.进一步理解向量的“工具”性作用.

1.向量的运算：

设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）.

向量运算

法则（或几何意义）

坐标运算

向量的线性运算

加法

a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2）

减法

a－b＝（x1－x2，y1－y2）

数乘

（1）|λa|＝|λ||a|；

（2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0

λa＝（λx1，λy1）

向量的数量积运算

a·b＝|a||b|cosθ（θ为a与b的夹角）规定0·a＝0，数量积的几何意义是a的模与b在a方向上的投影的积

a·b＝x1x2＋y1y2

2.两个定理

（1）平面向量基本定理

①定理：

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

②基底：

把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

（2）向量共线定理

向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.

3.向量的平行与垂直

a，b为非零向量，

设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），

a∥b

有唯一实数λ使得b＝λa（a≠0）

x1y2－x2y1＝0

a⊥b

a·b＝0

x1x2＋y1y2＝0

类型一　向量的线性运算

例1　如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________.

答案　

解析　设＝λ，

则＝＋＝－＋m＋

＝（m－1）＋.

＝＋＝－＋.

∵与共线，∴（m－1）＋＝0，∴m＝.

反思与感悟　向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题.

跟踪训练1　在△ABC中，E为线段AC的中点，试问在线段AC上是否存在一点D，使得＝＋，若存在，说明D点位置；若不存在，说明理由.

解　假设存在D点，使得＝＋.

＝＋

⇒＝＋（＋）

＝＋

⇒－＝⇒＝

⇒＝×⇒＝.

所以当点D为AC的三等分点时，

＝＋.

类型二　向量的数量积运算

例2　已知a＝（cosα，sinα），b＝（cosβ，sinβ），且|ka＋b|＝|a－kb|（k>0）.

（1）用k表示数量积a·b；

（2）求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小.

解　

（1）由|ka＋b|＝|a－kb|，

得（ka＋b）2＝3（a－kb）2，

∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2.

∴（k2－3）a2＋8ka·b＋（1－3k2）b2＝0.

∵|a|＝＝1，|b|＝＝1，

∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，

∴a·b＝＝.

（2）a·b＝＝（k＋）.

由函数的单调性可知，f（k）＝（k＋）在（0，1]上单调递减，在[1，＋∞）上单调递增，

∴当k＝1时，f（k）min＝f

（1）＝×（1＋1）＝，

此时a与b的夹角θ的余弦值cosθ＝＝，

∴θ＝60°.

反思与感悟　数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题：

（1）设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），

a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，

a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.

（2）求向量的夹角和模的问题

①设a＝（x1，y1），则|a|＝.

②两向量夹角的余弦（0≤θ≤π）

cosθ＝＝.

跟踪训练2　已知向量＝（3，－4），＝（6，－3），＝（5－m，－（3＋m））.

（1）若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；

（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值.

解　

（1）若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，

∵＝（3，－4），＝（6，－3），

＝（5－m，－（3＋m）），

∴＝（3，1），＝（－m－1，－m），

∵与不平行，

∴－3m≠－m－1，解得m≠，

∴当实数m≠时满足条件.

（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则⊥，而＝（3，1），＝（2－m，1－m），

∴3（2－m）＋（1－m）＝0，解得m＝.

类型三　向量坐标法在平面几何中的应用

例3　已知在等腰△ABC中，BB′，CC′是两腰上的中线，且BB′⊥CC′，求顶角A的余弦值的大小.

解　建立如图所示的平面直角坐标系，设A（0，a），C（c，0），则B（－c，0），

＝（0，a），＝（c，a），＝（c，0），＝（2c，0）.

因为BB′，CC′为AC，AB边上的中线，

所以＝（＋）＝，

同理＝.

因为⊥，所以·＝0，

即－＋＝0，化简得a2＝9c2，

又因为cosA＝＝＝＝.

即顶角A的余弦值为.

反思与感悟　把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这样的解题方法具有普遍性.

跟踪训练3　如图，半径为的扇形AOB的圆心角为120°，点C在上，且∠COB＝30°，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于（　　）

A.B.C.D.2

答案　A

解析　由题意，得∠AOC＝90°，故以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，

则O（0，0），A（0，），C（，0），B（×cos30°，－×sin30°），

因为＝λ＋μ，

所以（，0）＝λ（0，）＋μ（×，－×），

即则

所以λ＋μ＝.

1.在菱形ABCD中，若AC＝2，则·等于（　　）

A.2B.－2

C.||cosAD.与菱形的边长有关

答案　B

解析　如图，设对角线AC与BD交于点O，∴＝＋.

·＝·（＋）

＝－2＋0＝－2.

2.设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·等于（　　）

A.20B.15

C.9D.6

答案　C

解析　▱ABCD的图象如图所示，由题设知，

＝＋＝＋，＝－，

∴·＝·

＝||2－||2＋·－·

＝×36－×16＝9.

3.已知向量a＝（2，3），b＝（－1，2），若ma＋4b与a－2b共线，则m的值为（　　）

A.B.2C.－D.－2

答案　D

解析　ma＋4b＝（2m－4，3m＋8），a－2b＝（4，－1）.

∵ma＋4b与a－2b共线，

∴（2m－4）×（－1）－（3m＋8）×4＝0，解得m＝－2.

4.若向量＝（1，－3），||＝||，·＝0，则||＝________.

答案　2

解析　由题意可知，△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，且腰长||＝||＝，由勾股定理得||＝＝2.

5.平面向量a＝（，－1），b＝，若存在不同时为0的实数k和t，使x＝a＋（t2－3）b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数关系式k＝f（t）.

解　由a＝（，－1），b＝，

得a·b＝0，|a|＝2，|b|＝1，

由x⊥y，得[a＋（t2－3）b]·（－ka＋tb）＝0，

－ka2＋ta·b－k（t2－3）a·b＋t（t2－3）b2＝0，

即－4k＋t3－3t＝0，

所以k＝（t3－3t），令f（t）＝（t3－3t），

所以函数关系式为k＝f（t）＝（t3－3t）.

1.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题.

2.向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.

课时作业

一、选择题

1.下列命题中正确的是（　　）

A.－＝

B.＋＝0

C.0·＝0

D.＋＋＝

答案　D

解析　－＝；，BA是一对相反向量，它们的和应该为零向量，即＋＝0；0·＝0.

2.在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝（1，－2），＝（2，1），则·等于（　　）

A.5B.4C.3D.2

答案　A

解析　∵四边形ABCD为平行四边形，∴＝＋＝（1，－2）＋（2，1）＝（3，－1），∴·＝2×3＋（－1）×1＝5.

3.设向量a＝（2，4）与向量b＝（x，6）共线，则实数x等于（　　）

A.2B.3C.4D.6

答案　B

解析　∵a∥b，∴2×6－4x＝0，∴x＝3.

4.若平面向量b与向量a＝（1，－2）的夹角是180°，且|b|＝3，则b等于（　　）

A.（－3，6）B.（3，－6）

C.（6，－3）D.（－6，3）

答案　A

解析　设b＝ka＝（k，－2k），k＜0，而|b|＝3，则

＝3，∴k＝－3，b＝（－3，6）.

5.已知向量m＝（λ＋1，1），n＝（λ＋2，2），若（m＋n）⊥（m－n），则λ等于（　　）

A.－4B.－3C.－2D.－1

答案　B

6.在△ABC中，若2－·＝·－·，则△ABC是（　　）

A.等边三角形B.锐角三角形

C.直角三角形D.钝角三角形

答案　C

解析　由已知，得·（－）－·（－）＝0，

∴·－·＝0，

∴·（－－）＝0，即－·＝0，⊥，

∴BC⊥AC，∴△ABC为直角三角形.故选C.

7.若a，b是非零向量且满足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，则a与b的夹角θ的大小为（　　）

A.B.

C.D.

答案　B

解析　∵a2－2a·b＝0，b2－2a·b＝0，

∴a2＝b2，|a|＝|b|，

又∵cosθ＝＝＝，θ∈[0，π]，

∴θ＝.

8.如图所示，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于点F.设＝a，＝b，＝xa＋yb，则（x，y）为（　　）

A.B.

C.D.

答案　C

解析　令＝λ.

由题可知，＝＋＝＋λ

＝＋λ＝（1－λ）＋λ.

令＝μ，

则＝＋＝＋μ

＝＋μ＝μ＋（1－μ）.

由解得

所以＝＋，故选C.

二、填空题

9.若|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，若（3a＋5b）⊥（ma－b），则m的值为________.

答案　

解析　由题意知（3a＋5b）·（ma－b）＝3ma2＋（5m－3）a·b－5b2＝0，即3m＋（5m－3）×2×cos60°－5×4＝0，解得m＝.

10.已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.

答案　7

11.在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且||＝3||，当＝x＋y时，x－y＝________.

答案　－2

解析　由||＝3||，得＝3，

则＝，

所以＝＋＝＋＝＋（－）

＝－＋.

所以x＝－，y＝，所以x－y＝－－＝－2.

12.已知向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a方向上的投影是________.

答案　1

解析　∵|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为60°，

∴b在a方向上的投影是|b|cos60°＝1.

13.已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________.

答案　

解析　∵⊥，

∴·＝（λ＋）·（－）

＝－λ2＋（λ－1）·＋2

＝－9λ＋（λ－1）×3×2×（－）＋4＝0，

∴λ＝.

三、解答