数学建模美国赛历年试题.docx
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数学建模美国赛历年试题
历年美国大学生数学建模赛题
目录
MCM85问题-A动物群体的管理3
MCM85问题-B战购物资储备的管理3
MCM86问题-A水道测量数据4
MCM86问题-B应急设施的位置4
MCM87问题-A盐的存贮4
MCM87问题-B停车场5
MCM88问题-A确定毒品走私船的位置5
MCM88问题-B两辆铁路平板车的装货问题5
MCM89问题-A蠓的分类5
MCM89问题-B飞机排队6
MCM90-A药物在脑内的分布6
MCM90问题-B扫雪问题6
MCM91问题-B通讯网络的极小生成树6
MCM91问题-A估计水塔的水流量7
MCM92问题-A空中交通控制雷达的功率问题7
MCM92问题-B应急电力修复系统的修复计划7
MCM93问题-A加速餐厅剩菜堆肥的生成7
MCM93问题-B倒煤台的操作方案8
MCM94问题-A住宅的保温8
MCM94问题-B计算机网络的最短传输时间9
MCM-95问题-A单一螺旋线9
MCM95题-BA1uachaBalaclava学院10
MCM96问题-A噪音场中潜艇的探测10
MCM96问题-B竞赛评判问题10
MCM97问题-AVelociraptor（疾走龙属）问题11
MCM97问题-B为取得富有成果的讨论怎样搭配与会成员11
MCM98问题-A磁共振成像扫描仪12
MCM98问题-B成绩给分的通胀13
MCM99问题-A大碰撞13
MCM99问题-B“非法”聚会13
MCM2000问题-A空间交通管制13
MCM2000问题-B:
无线电信道分配14
MCM2001问题-A:
选择自行车车轮14
MCM2001问题-B逃避飓风怒吼（一场恶风…）15
MCM2001问题-C我们的水系-不确定的前景15
MCM2002问题-A风和喷水池15
MCM2002问题-B航空公司超员订票16
MCM2002问题-C16
MCM2003问题-A:
特技演员17
MCM2003问题-B:
Gamma刀治疗方案18
MCM2003问题-C航空行李的扫描对策18
MCM2004问题-A：
指纹是独一无二的吗？
18
MCM2004问题-B：
更快的快通系统18
MCM2004问题-C安全与否？
19
MCM2005问题A.水灾计划19
MCM2005B.Tollbooths19
MCM2005问题C：
不可再生的资源20
MCM2006问题A:
用于灌溉的自动洒水器的安置和移动调度20
MCM2006问题B:
通过机场的轮椅20
MCM2006问题C:
抗击艾滋病的协调21
MCM2008问题A:
给大陆洗个澡23
MCM2008问题B：
建立数独拼图游戏23
MCM85问题-A动物群体的管理
在一个资源有限，即有限的食物、空间、水等等的环境里发现天然存在的动物群体。
试选择一种鱼类或哺乳动物（例如北美矮种马、鹿、免、鲑鱼、带条纹的欧洲鲈鱼）以及一个你能获得适当数据的环境，并形成一个对该动物群体的捕获量的最佳方针。
MCM85问题-B战购物资储备的管理
钴对许多工业是必不可少的（1979年仅国防需要就占了全世界钴生产量的17％），但是钴不产生在美国。
大部分钴来自政治上不稳定的构F地区。
见图85B-1，85B-2，85B-3。
1946年制订的战略和稀有作战物资存贮法令要求钴的储存量应保证美国能渡过三年战争时期。
50年代政府按要求存贮了，并在70年代卖掉了大部分贮量，而在70年代后期决定重新贮存，贮存的指标是8540万磅，到1982年获得了贮量的一半。
试建立一个战略金属钴的储存管理数学模型。
你需要考虑诸如以下的问题；贮量应多大?
应以多大的比率来获得贮量?
买这些金属的合理价格应该是多少?
还要求你考虑诸如以下的问题，贮量达到多大时应开始减少贮存量?
应以多大的比率来减少？
卖出这些金属的合理价格应该是多少?
应该怎样分配（附页中有关于钴的资源、价格、需求及再循环等方面的信息）
关于钴有用信息：
1985年政府计划需要2500万磅钴。
进行周而复始的生产经营，从而每年可生产600万磅钴。
1980年占总消耗量70银的120万磅钴再循环了，得到了重新处理。
MCM86问题-A水道测量数据
表86A-1给出了在以码为单位的直角坐标为X，Y的水面一点处以英尺计的水Z．水深数据是在低潮时测得的。
船的吃水深度为5英尺。
在矩形区域（75，200）×（-50，150）里的哪些地方船要避免进入。
本题是由加州海军研究生院数学系的RichardFranke提供的，可阅他的论文ScatteredDataInterpolation，Math，Comput.，38（1982），18l-200。
MCM86问题-B应急设施的位置
“里奥兰翘镇”迄今还没有自己的应急设施。
1986年该镇得到了建立两个应急设施的安全拨款。
每个设施都把救护站、消防队和警察所合在一起。
图86B-1指出了1985年每个长方街区应急事件的次数。
在北边的上形状的区域是一个障碍，而在南边的长方形区域是一个有浅水池塘的公园。
应急车辆驶过一条南北向的街道平均要花15秒，而通过一条东西向的街道平均要花20秒。
你的任务就是确定这两个应急设施的位置，使得总的响应时间最少。
1假定需求集中在每个街道的中心而应急设施位于街角处；
②假定需求是沿包围每个街区的街道上平均分布的，而应急设施可位于街道任何地方。
本题是由马里兰州沙里斯勃莱州立学院地理学与地区规划系的J.C.McGrew提供的。
MCM87问题-A盐的存贮
美国中西部一个州把冬天用来洒在马路上的盐存贮在一个球顶仓库里大约有15年了。
图87A-1表示在过去15年中盐是怎么存贮的*通过驾驶铲斗车在由盐铺成的坡道上进出仓里并利用铲斗车上的铲子把盐装进仓里或从仓里取出来。
最近，一个小组确定这种做法是不安全的。
如果铲斗车太靠近盐堆的顶端，盐就要滑动，而铲斗车就耍翻到为加固仓库而筑的拥壁上去。
小组建议，如果盐堆是用铲斗车堆起来的，那么盐堆的最高高度不要超过15英尺。
对这种情况建立一个数学模型并求得在仓库中的盐堆的最大高度。
图中仓高50英尺，拥壁高4英尺，仓的外直径103英尺，门的净空高l9英尺9英寸，铲斗车高10英尺9英寸。
本题是由印第安纳大学的M.Thompon提供的，是从出现在1986年11月的IndianapolisStar的一个实际问题改造而成的。
MCM87问题-B停车场
在新英格兰地区一个镇上位于街角处的一个停车场的场主雇你来设计该停车场的安排，即设计“在地上的线应怎样划法”。
你一定认识到要把尽可能多的车塞进停车场会导致以直角停靠的方式一辆挨一辆地排成行。
但是缺乏经验的司机对于这种停靠方式是有困难的，这可能引起昂贵的保险费要求。
为了减少停靠车辆时可能造成的损坏，场主就要启用一些熟练的汽车司机作为
“专职停靠司机”。
另一方面，如果汽车从通道进来有一个足够大的“转弯半径”的话，那么大多数司机看来都不会有很大的困难一次就停靠到该停靠的位置上去。
当然通道愈宽能容纳的车辆就愈少，这就会导致停车场场主收入的减少。
本题是由加州海军研究生院的M．D.Weir提供的。
MCM88问题-A确定毒品走私船的位置
相距5.43哩的监听站收听到一个短暂的无线电讯号。
收听到讯早的时候测向仪分别定位在111°和119°处〔见图88A-1），测向仪的精度为±2°，该讯号来自一个毒品交换活跃的地方，据推测该处有一只机动船正等着有人来取毒品。
当时正值黄昏、无风、无潮流。
一架小型直升飞机离开监听站①的简易机场并能精确地沿111°角方向飞行。
直升飞机的飞行速度是走私船的三倍。
在离船500英尺时船上能听到直升飞机的声音。
直升飞机只有一种侦察仪器--探照订。
在200英尺远的地方探照灯只能照明半径为25英尺的圆域。
①说明飞行员能找到正等着的毒品船的（最小）区域。
②研究一种直升飞机的最佳搜索方法。
在你的计算中要有95％的精度。
本题是由加州ClaremontMcKenna学院的J.A.Ferling提供的。
这是一个分类（分组问题）的修正简化形式。
原问题和现在简化的问题都还没有一种已知的最化解法。
MCM88问题-B两辆铁路平板车的装货问题
有七种规格的仪装箱要装到两辆铁路平板车上去。
包装箱的宽利高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（w，以公斤计）是不同的。
表88B-1给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。
图88B-1中每辆平板车有10.2米长的地方可用来装包装箱（象面包片那样），载重为40吨。
由于当地货运的限制，对C5，C6，C7类的包装箱的总数有-个特别的限制；这类箱子所占的空间（厚度）不能超过
302.7厘米。
试把包装箱装到干板车上去使得浪费的空间最小。
本题是由佐治亚理工学院的J．Bartholdi提供的。
这是出现在福特汽车公司的一个尚未解决的问题的修正与简化。
J．Bartholdi还写了一篇评论性文章TheOutstandingRailroadFlatcarPapers，TheUMAPJournal，v.9（1988），no.4，399-103．
MCM89问题-A蠓的分类
两种蠓Af和Apf己由生物学家W.L.Grongan和W.W.Wirth（1981年）根据它们的触角长度和翼长加以区分（见图89A-1），9只Af蠓用标记，6只Apf鲸用“.”标记。
根据给出的触角长度和翼长识别出一只标本是Af还是Apf是重要的。
①给定一只Af或者Apf族的蝶，你如何正确地区分它属于哪一族?
②将你的方法用于触角长和翼长分别为（1.24，1.80）、（1.28，1.84）、（1.40，2.04）的三个标本。
③设Af是宝贵的传粉益虫，Apf是某种疾病的载体，是否应该修改你的分类方法，若需修改，怎么改?
MCM89问题-B飞机排队
机场通常都是用“先来后到”的原则来分配飞机跑道，即当飞机准备好离开登机口时，驾驶员电告地面控制中心，加入等候跑道的队伍。
假设控制塔可以从快速联机数据库中得到每架飞机的如下信息：
①预定离开登机口的时间；
②实际离开登机口的时间；
②机上乘客人数；
④预定在下一站转机的人数和转机的时间；
⑤到达下一站的预定时问。
又设共有七种飞机，载客量从100人起以50人递增，载客最多的一种是400人。
试开发和分析一种能使乘客和航空公司双方满意的数学模型。
本题是由纽约市立大学约克学院的JosephMalkevitch提供的。
MCM90-A药物在脑内的分布
研究脑功能失调的人员欲测试新的药物的效果，例如治疗帕金森症往脑部注射多巴胺（Dopamine）的效果，为了精确估计药物影响到的脑部区域，他们必须估计注射后药物在脑内空间分布区域的大小和形状。
研究数据包括50个圆柱体组织样本的每个样本药物含量的测定值（如图90A-1），每个圆柱体长0.76mm，直径0.66mm，这些互相平行的圆柱体样本的中心位于网络距为1mm×0.76mm×1mm的格点上，所以圆柱体互相向在底面上接触，侧面互不接触。
注射是在最高计数的那个圆柱体的中心附近进行的。
自然在圆柱体之间以及由圆柱体样本覆盖的区域外也有药物。
试估计受到药物影响的区域个药物的分布。
MCM90问题-B扫雪问题
地图如图90B-1中的实线表示马里兰州威考密科县中扫雪区域中的二车道马路，虚线表示州属高速公路。
一场雪后，从位于地图b标记地点以西4英里的二处车库派出两辆扫雪车。
求用两辆扫雪车扫清马路上的雪的有效的方法，扫雪车可以利用高速公路进出扫雪区。
假设扫雪车既不会发生故障也不停顿，在交叉路口不得特别的扫雪方法。
MCM91问题-B通讯网络的极小生成树
两个通讯站间通讯线路的费用与线路的长度成正比。
通过引入若干个“虚设站”并构造一个新的Steiner树就可以降低由一组站生成Nf自统的极小生成树所需的费用。
用这种方法可降低费用多达。
而且为构造一个有n个站的网络的费用最低的Steiner树绝不需要多于（n-2）个虚设站。
下面是两个简单的例子。
对于局部网络而言，有必要用直折线距离或“棋盘”距离来代替欧氏直线距离。
假定你希望设计一个有9个站的局部网络的最低造价生成树。
这9个站的直角坐标是：
限定你只能用直线，而且所有的虚设站必须位于格点上（即其坐标是整数）。
每条直线段的造价是其长度值。
①求该网络的一个极小费用树。
②假定每个站的费用为，其中d＝通讯站助度，若w=1.2，求极小费用树。
③试推广本问题。
本题是由马里兰州沙里斯勃菜州立大学数学科学系B.A.Fusaro（他也是MCM的Director）提供的，他是受启发于Cipra.BarryA．．Euclideangeometryaliveandwellinthecomputerage．SIAMNew5，v.24（1991），no.1，16-17，19．
MCM91问题-A估计水塔的水流量
美国某州的各用水管理机构要求各社区提供以每小时多少加仑计的用水率以及每天所用的总水量，但许多社区并没有测量流人或流出当地水塔的水量的设备，他们只能代之以每小时测量水塔中的水位，其精度在0.5％以内。
更为重要的是，无论什么时候，只要水塔中的水位下降到某一最低水位L时，水泵就启动向水塔重新充水直至某一最高水位只，但也无法得到水泵的供水量的测量数据。
因此，在水泵正在工作时，人们不容易建立水塔中的水位与水泵工作时的用水量之间的关系。
水泵每天向水塔充水一次或两次，每次约二小时。
试估计在任何时刻，甚至包括水泵正在工作的时间内，水从水塔流出的流量f（t），并估计一天的总用水量。
MCM92问题-A空中交通控制雷达的功率问题
要求你决定一个主要城市的机场的空中交通控制雷达发射的功率。
机场行政部门希望兼顾安全性与经济性使雷达的发射功率最小。
机场行政部门限于使用现有的天线和接收线路。
唯一可以考虑的选择是改进雷达的发射电路使雷达更强大。
你要回答的问题是雷达必须发射多少功率（以瓦特为单位）反以保证能探测到100公里以内的标准客机。
技术说明：
①雷达天线是一个旋转抛物面的一部分，该抛物面的焦距又1米。
它投影至与顶点相同的平面是一个长轴为6米，短轴为2米的椭圆。
从焦点发出的主能量柬是一个椭圆锥，其长轴角为1弧度，短轴角为50毫弧度。
天线和能量束的简图如图92A-1所示。
②理想化的一类飞机是具有75平方米完全雷达反射截面团飞机，亦即在你的初步模型中飞机等价于一个75的小心位于天线轴线上并垂直于该轴的100%反射圆碟，你亦可以考虑其它模型或改进这个模型。
③接收线路的灵敏度是雷达天线反馈报警器（位于雷达天线的焦点）刘10微瓦的回波信号会作出反应。
MCM92问题-B应急电力修复系统的修复计划
为沿海地区服务的电力公司必须具备应急系统来处理风暴引起的电力中断。
这样的系统需要由估计的修复时间和费用与由客观准则判定的停电的“价值”构成的数据输入，过去HECO电力公司曾因缺乏优先方案而遭受传播媒介的批评。
设想你是HECO电力公司顾问。
HECO具有一个实时处理的，通常包含下述信息的服务电话的计算机数据库：
报修时间；需求者类型；估计受害人数；地点（X,Y）。
有两个工程队调度所，分别位于（0,0）和（40,40），其中x,y以英里为单位。
HECO的服务区域在-65＜x＜65和-50＜y＜50之内。
因为该地区完全都市化了，有极好的道路网络。
工程队只是在上班和下班时必须回调度所。
公司的政策是：
若停电的设施是铁路或医院，只要有工程队可派就立即处理，其他情形都要等暴风雨离开这一地区后才开始工作。
HECO请你为表92B-1所列的暴风雨修复请求和表92B-2所列的维修能力建立客观准则和安排工作计划。
注意，第一个电话是凌晨4：
20接到的，暴风雨在上午6：
00离开该地区，还要注意很多停电户是当酬反迟才报修的。
HECO出自自身的目的需要一份技术报告和一份用外行术语写就的“执行简要”来提交新闻媒介。
他们希望有对将来的建议。
为决定你的优先计划安排系统，你还需作一些附加的假设，请详述这些假设。
将来你可能希望有附加的数据，如果有，详述这些需要的信息。
MCM93问题-A加速餐厅剩菜堆肥的生成
一家注重环境的学校餐厅正用微生物把顾客没吃完的食物再循环生成堆肥。
每天餐厅把吃剩的食物和泥浆（粘结剂）混合，再把它们和厨房里容易弄碎的色拉菜以及少量的扯碎的纸片混合，并把混合物喂给一种真菌培养物和土壤细菌，它们把泥浆、绿叶菜、纸片消化形成有用的塔肥。
易碎的绿叶莱为真菌培养物提供氧气，而纸片则吸收过量的湿气。
但有时真菌培养物显得不能或不肯消化顾客留下的那么多的剩饭菜。
餐厅并没有因为真菌培养物没有胃口而责怪厨师长。
餐厅收到要大量购买他们生产的堆肥的报价，所以餐厅正在研究增加堆肥产量的方法。
由于无力营建一套新的堆肥设备，因此餐厅首先寻求能加速真菌培养物活力的方法，例如，通过优化真菌培养物的环境（眼下大约是在120F和100％湿度的环境下生成堆肥的），或通过优化喂给真菌培养物的混合物统成，或同时优化两者（而达到加速真菌培养物的活力）。
试决定在喂给真菌培养物的混合物中泥浆、绿叶莱和纸片印比例与真菌培养物把混合物生成堆肥的速度间是否存在任何关系。
若你认为不存在任何关系，试说明理由。
否则，试决定什么样的比例会加速真菌培养物的活力。
除了按竞赛规则说明中规定的格式写的技术报告外，请为餐厅经理提供一页长的用非技术术语表示的实施建议。
作为数据，表93A-l列出了分别存放在不同的箱子中用磅表示的混合物组成中各种原料的数量，以及把混合物喂给真菌培养物的日期以及完全生成堆肥的日期（以表示生成堆肥所需的时间）。
本题是由东华盛顿大学数学系的YvesNievegctlt提供的，本题叙述的情况及数据来自华盛顿奶MedicalLake地区监狱的餐厅。
他还写了一篇评论文章Theoutstandingoptimalcompostingpapers，TheUMAPJournal，v.4（1993），no.3，227-228．
MCM93问题-B倒煤台的操作方案
Aspen-Boulder煤矿公司经营一个包括一个单个的大型倒煤台在内的装煤设施。
当装煤列车到达时，从倒煤台往上装煤。
一列标准列车要用3小时装满，而倒煤台的容量是一列半标准列车。
每天，铁道部门向这个装煤设施发送三列标准列车。
这些列车可在当地时间上午5点到下午8点的任何时间内到达。
每列列车有三辆机车。
如果一列车到达后因等待装煤而停滞在那里（即处于等待服务状态）的话、铁道部门要征收一种称为滞期费的特别费用、每小时每辆机车5000美元。
此外，每周星期四上午11点到下午l点之间有一列大容量列车到达。
这种特殊的列车有五辆机车并能装两列标准列车的煤。
一个装煤工作班要用6个小时直接从煤矿运煤来把空的倒煤台装满。
这个工作班（包括它用的设备）的费用是每小时9000美元。
可以调用第二个工作班运行一个附加的倒煤台操作系统来提高装煤速度，而费用为每小时12000美元，出于安全的原因，当往倒煤台装煤时，不能往列车上装煤。
每当由于往倒煤台装煤而中断往列车上装煤时，就要征收滞期费。
煤矿公司的经理部门要请教你们如何决定该倒煤台的装煤操作的午预期开支，你们的分析应包括考虑以下的问题：
①应调用几次第二个工作班?
②预期的月滞期费是多少?
③如果标准列车能按调度在确切时间到达，什么样的日调度安排能使装煤费用最少？
④调用第三个费用每小时12000美元的倒煤台操作系统工作班，能否降低年操作费用?
⑤该倒煤台每天能否再装第四辆标准列车的煤?
本题是由位于科罗拉多州Golden的科罗拉多矿业学院的GencWoolsey根据他在怀俄明州一家煤矿公司做顾问中的问题建议的。
位于纽约州的西点军校的ChriArney和JackRobortson据此形成了本问题。
MCM94问题-A住宅的保温
HUP公司正在考虑建造从单幢住宅到公寓楼大小不同的住宅。
公司主要关心的是房主定期支付的费用--特别是暖气和冷气的费用最少。
建房地区位于全年温度变化不大的温带地区。
通过特殊的建筑技术HUP公司能不依靠对流--即不需要依靠开门开窗--来帮助调节住宅的温度。
这些住宅都是只有混凝土厚板地板为仅有基础的单层住宅。
你们被雇用为顾问来分析凝土厚板地板小的温度变化，由此决定地板表面的平均温度能否全年保持在指定的舒适范围内。
如果可能的话，什么样的尺寸和形状能做到这点？
第一部分地板温度
由表94A-1给G66每天温度的变化范围，试研究混凝土厚板中温度的变化。
假定最高温度在中午达到，最低温度在午夜达到。
试决定能否在只考虑幅射的条件下设计厚板使其表面的平均温度保持在指定的舒适范围内。
一开始，先假定热是通过暴露在外的厚板的周边传入住宅的，而厚板的上、下表面是绝热的。
就这些假设是否恰当、假设的敏感性作山评论。
如果你们不能找到满足表94A-1条件的解，你们能作出满足你们提出的表94A-1的厚板的设计吗?
第二部分建筑物温度
试分析一开始所作假设的实用性，并将其推广到分析单层住宅内温度的变化。
住宅内温度能否保持在舒适范围内。
第三部分建筑费用
考虑到建筑的各种限制及费用，试提出一种考虑HUP公司关于降低甚至免去暖气和冷气费用这一目标的设计。
MCM94问题-B计算机网络的最短传输时间
在你们的公司里，各部门每天都要分享信息。
这种信息包括前一天的销售统计和当前的生产指南。
尽快公布这些信息是十分重要的。
假设一个通讯网络被用来从一台计算机向另一台计算机传输数据组（文件）。
作为例子，考虑下列图94B-1模型：
顶点从表示计算机，边表示（由边的端点表示的计算机之间）要传输的文件。
表示传输文件乙所需的时间，表示计算机同时能传输多少个文件的容量。
文件传输包括占用有关计算机为传输该文件所需的全部时间。
＝1表示计算机一次只能传输一个文件。
我们有兴趣的是以最优的方式安排传输，即使得传输完所有的文件所用的总时间最小。
这个最小总时间称为接通时间（makespan）。
请为你们的公司考虑以下三种情形：
情形A；
你们公司有28个部门。
每个部门有一台计算机，在图94B-2中每合计算机用顶点表示。
每天必须传输27个信息，在图94B-2中用边来表示。
对于这个网络，对所有的x,y＝1，＝1．试找出该网络的最优安排以及接通时间。
你们能向你们的主管人员证明你们对该网络求得的接通时间是最小可能（最优）的吗?
叙述你们求解该问题的方法。
你们的方法适用于一股情形吗，即是否适用干了，以及图结构都是任意的情形?
情形B：
假设你们公司改变了传输要求。
现在你必须在同样酌基本网络结构（见图94B-2）上考虑不同类型和大小的文件。
传输这些文件所需时间由表94B-1中每条边的了项表出。
对所有y仍有＝1．试对新网络找出最优安排和接通时间，你们能证明对新网络而言你们求得的最小接通时间是最小可能的吗?
叙述你们求解该问题的方法。
你们的方法适用于一般情形吗?
试对任何特异的或出乎意料的结果发表评论。
情形C：
你们公司正在考虑扩展业务。
如果公司真的这样做的话．每天有几个新文件（边）要传输。
这种业务扩展还边括计算机系统的升级换代.28个部门中的某些部门将配备新的计算机使之每次能传输不止一个文件。
所百这些变化都在下面的图94B-3以及表91B-2，表94B-3中表明。
你们能找到的最优安排和接通时间是什么?
你们能证明对该网络而言这个接通时间是最小可能的吗?
叙述你们求解该问题的方法。
试对任何特异的或者出乎意料的结果发表评论。
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