类型2 变力功的分析与计算
方法
以例说法
应用动
能定理
用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有：
WF－mgL（1－cosθ）＝0，得WF＝mgL（1－cosθ）
微元法
质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff（Δx1＋Δx2＋Δx3＋…）＝Ff·2πR
等效
转换法
恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·（
－
）
平均
力法
弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中，克服弹力做功W＝
·（x2－x1）
图象法
一水平拉力F0拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝F0x0
例2
（2017·全国卷Ⅱ·14）如图5所示，一光滑大圆环固定在桌面上，环面位于竖直平面内，在大圆环上套着一个小环，小环由大圆环的最高点从静止开始下滑，在小环下滑的过程中，大圆环对它的作用力（ ）
图5
A.一直不做功
B.一直做正功
C.始终指向大圆环圆心
D.始终背离大圆环圆心
答案 A
解析 因为大圆环光滑，所以大圆环对小环的作用力只有弹力，且弹力的方向总是沿半径方向，与速度方向垂直，故大圆环对小环的作用力一直不做功，选项A正确，B错误；开始时大圆环对小环的作用力背离圆心，后来指向圆心，故选项C、D错误.
方法1 利用微元法求变力做功
将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和，此法在中学阶段常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题.
变式2
如图6所示，在一半径为R＝6m的圆弧形桥面的底端A，某人把一质量为m＝8kg的物块（可看成质点）.用大小始终为F＝75N的拉力从底端缓慢拉到桥面顶端B（圆弧AB在同一竖直平面内），拉力的方向始终与物块在该点的切线成37°角，整个圆弧桥面所对的圆心角为120°，g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.求这一过程中：
图6
（1）拉力F做的功；
（2）桥面对物块的摩擦力做的功.
答案
（1）376.8J
（2）－136.8J
解析
（1）将圆弧
分成很多小段l1、l2…ln，拉力在每一小段上做的功为W1、W2…Wn.因拉力F大小不变，方向始终与物块在该点的切线成37°角，所以W1＝Fl1cos37°、W2＝Fl2cos37°…Wn＝Flncos37°
所以WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcos37°（l1＋l2＋…＋ln）＝Fcos37°·
·2πR≈376.8J.
（2）重力G做的功WG＝－mgR（1－cos60°）＝－240J，因物块在拉力F作用下缓慢移动，动能不变，由动能定理知WF＋WG＋Wf＝0
所以Wf＝－WF－WG＝－376.8J＋240J＝－136.8J.
方法2 用F－x图象求变力做功
在F－x图象中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况（如三角形、矩形、圆等规则的几何图）.
变式3
（2018·河南洛阳模拟）轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量m＝0.5kg的物块相连，如图7甲所示，弹簧处于原长状态，物块静止且与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2.以物块所在处为原点，水平向右为正方向建立x轴，现对物块施加水平向右的外力F，F随x轴坐标变化的情况如图乙所示，物块运动至x＝0.4m处时速度为零，则此时弹簧的弹性势能为（g＝10m/s2）（ ）
图7
A.3.1JB.3.5JC.1.8JD.2.0J
答案 A
解析 物块与水平面间的摩擦力为Ff＝μmg＝1N.现对物块施加水平向右的外力F，由F－x图象与x轴所围面积表示功可知F做功W＝3.5J，克服摩擦力做功Wf＝Ffx＝0.4J.由于物块运动至x＝0.4m处时，速度为0，由功能关系可知，W－Wf＝Ep，此时弹簧的弹性势能为Ep＝3.1J，选项A正确.
方法3 用动能定理求变力做功
动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功，也适用于求变力做功.因为使用动能定理可由动能的变化来求功，所以动能定理是求变力做功的首选.
变式4
如图8所示，质量为m的小球用长为L的细线悬挂而静止在竖直位置.现用水平拉力F将小球缓慢拉到细线与竖直方向成θ角的位置.在此过程中，拉力F做的功为（ ）
图8
A.FLcosθ
B.FLsinθ
C.FL（1－cosθ）
D.mgL（1－cosθ）
答案 D
解析 在小球缓慢上升过程中，拉力F为变力，此变力F做的功可用动能定理求解.由WF－mgL（1－cosθ）＝0得WF＝mgL（1－cosθ），故D正确.
方法4 “转化法”求变力做功
通过转换研究的对象，可将变力做功转化为恒力做功，用W＝Flcosα求解，如轻绳通过定滑轮拉动物体运动过程中拉力做功问题.
变式5
（2018·湖南岳阳质检）如图9所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，滑块用轻绳系着绕过光滑的定滑轮O.现以大小不变的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升.滑块运动到C点时速度最大.已知滑块质量为m，滑轮O到竖直杆的距离为d，∠OAO′＝37°，∠OCO′＝53°，重力加速度为g.求：
图9
（1）拉力F的大小；
（2）滑块由A到C过程中拉力F做的功.（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）
答案
（1）
mg
（2）
mgd
解析
（1）对滑块进行受力分析，其到C点时速度最大，则其所受合力为零
正交分解滑块在C点受到的拉力，根据共点力的平衡条件得Fcos53°＝mg
解得F＝
mg.
（2）由能量的转化与守恒可知，拉力F对绳端点做的功就等于绳的拉力F对滑块做的功
滑轮与A间绳长L1＝
滑轮与C间绳长L2＝
滑轮右侧绳子增大的长度
ΔL＝L1－L2＝
－
＝
拉力做功W＝FΔL＝
mgd.
命题点二 功率的分析和计算
1.公式P＝
和P＝Fv的区别
P＝
是功率的定义式，P＝Fv是功率的计算式.
2.平均功率的计算方法
（1）利用
＝
.
（2）利用
＝F·
cosα，其中
为物体运动的平均速度.
3.瞬时功率的计算方法
（1）利用公式P＝Fvcosα，其中v为t时刻的瞬时速度.
（2）P＝F·vF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度.
（3）P＝Fv·v，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力.
例3
（多选）（2017·江西南昌模拟）质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到水平力的作用.力的大小F与时间t的关系如图10所示，力的方向保持不变，则（ ）
图10
A.3t0时刻的瞬时功率为
B.3t0时刻的瞬时功率为
C.在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为
D.在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为
答案 BD
解析 根据F—t图线，在0～2t0时间内的加速度a1＝
，2t0时刻的速度v2＝a1·2t0＝
t0，0～2t0时间内位移x1＝
·2t0＝
t
，故0～2t0时间内水平力做的功W1＝F0x1＝
t
；在2t0～3t0时间内的加速度a2＝
，3t0时刻的速度v3＝v2＋a2t0＝
t0，故3t0时刻的瞬时功率P3＝3F0v3＝
，在2t0～3t0时间内位移x2＝
·t0＝
，故2t0～3t0时间内水平力做的功W2＝3F0·x2＝
，因此在0～3t0时间内的平均功率P＝
＝
，故B、D正确.
变式6
如图11所示，一长为L的轻杆一端固定在光滑铰链上，另一端固定一质量为m的小球.一水平向右的拉力作用于杆的中点，使杆以角速度ω匀速转动，当杆与水平方向成60°时，拉力的功率为（ ）
图11
A.mgLωB.
mgLωC.
mgLωD.
mgLω
答案 C
解析 由能量的转化与守恒可知：
拉力的功率等于克服重力做功的功率，PF＝PG＝mgvy＝mgvcos60°＝
mgωL，故选C.
变式7
质量m＝20kg的物体，在大小恒定的水平外力F的作用下，沿水平面做直线运动.0～2s内F与运动方向相反，2～4s内F与运动方向相同，物体的v－t图象如图12所示.g取10m/s2，则（ ）
图12
A.拉力F的大小为100N
B.物体在4s时拉力的瞬时功率为120W
C.4s内拉力所做的功为480J
D.4s内物体克服摩擦力做的功为320J
答案 B
解析 取物体初速度方向为正方向，由图象可知物体与水平面间存在摩擦力，由图象可知0～2s内，－F－Ff＝ma1且a1＝－5m/s2，2～4s内，－F＋Ff＝ma2且a2＝－1m/s2，联立解得F＝60N，Ff＝40N，A错误；由P＝Fv得4s时拉力的瞬时功率为120W，B正确；由题图知0～2s内，物体的位移x1＝10m，拉力做的功为W1＝－Fx1＝－60×10J＝－600J，2s～4s内，物体的位移x2＝2m，拉力做功W2＝Fx2＝120J，所以4s内拉力做功W1＋W2＝（－600＋120）J＝－480J，C错误；摩擦力做功Wf＝－Ffs，摩擦力始终与速度方向相反，故s为路程，由图象可知总路程为12m,4s内物体克服摩擦力做的功为480J，D错误.
命题点三 机车启动问题
1.两种启动方式的比较
两种方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P－t图和v－t图
OA段
过程分析
v↑⇒F＝
↓⇒a＝
↓
a＝
不变⇒F不变
P＝Fv↑直到P＝P额＝Fv1
运动性质
加速度减小的加速直线运动
匀加速直线运动，维持时间t0＝
AB段
过程分析
F＝F阻⇒a＝0⇒F阻＝
v↑⇒F＝
↓⇒a＝
↓
运动性质
以vm做匀速直线运动
加速度减小的加速直线运动
BC段
F＝F阻⇒a＝0⇒以vm＝
做匀速直线运动
2.三个重要关系式
（1）无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝
＝
（式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻）.
（2）机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝
.
（3）机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt.由动能定理得：
Pt－F阻x＝ΔEk.此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小.
例4
在检测某种汽车性能的实验中，质量为3×103kg的汽车由静止开始沿平直公路行驶，达到的最大速度为40m/s，利用传感器测得此过程中不同时刻该汽车的牵引力F与对应的速度v，并描绘出如图13所示的F－
图象（图线ABC为汽车由静止到达到最大速度的全过程，AB、BO均为直线）.假设该汽车行驶中所受的阻力恒定，根据图线ABC
图13
（1）求该汽车的额定功率；
（2）该汽车由静止开始运动，经过35s达到最大速度40m/s，求其在BC段的位移大小.
答案
（1）8×104W
（2）75m
解析
（1）图线AB表示牵引力F不变即F＝8000N，阻力Ff不变，汽车由静止开始做匀加速直线运动；图线BC的斜率表示汽车的功率P不变，达到额定功率后，汽车所受牵引力逐渐减小，汽车做加速度减小的变加速直线运动，直至达到最大速度40m/s，此后汽车做匀速直线运动.
由题图可知：
当达到最大速度vmax＝40m/s时，牵引力为Fmin＝2000N
由平衡条件Ff＝Fmin可得Ff＝2000N
由公式P＝Fminvmax得额定功率P＝8×104W.
（2）匀加速运动的末速度vB＝
，代入数据解得vB＝10m/s
汽车由A到B做匀加速运动的加速度为a＝
＝2m/s2
设汽车由A到B所用时间为t1，由B到C所用时间为t2、位移为x，则t1＝
＝5s，t2＝35s－5s＝30s
B点之后，对汽车由动能定理可得Pt2－Ffx＝
mvC2－
mvB2，代入数据可得x＝75m.
变式8
一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m的重物，当重物的速度为v1时，起重机的功率达到最大值P，以后起重机保持该功率不变，继续提升重物，直到以最大速度v2匀速上升，重物上升的高度为h，则整个过程中，下列说法正确的是（ ）
A.钢绳的最大拉力为
B.钢绳的最大拉力为mg
C.重物匀加速的末速度为
D.重物匀加速运动的加速度为
－g
答案 D
解析 加速过程重物处于超重状态，钢绳拉力大于重力，钢绳的拉力为
，匀速运动阶段钢绳的拉力为
，故A、B错误；重物匀加速运动的末速度不是运动的最大速度，此时钢绳对重物的拉力大于其重力，故其速度小于
，故C错误；重物匀加速运动的末速度为v1，此时的拉力为F＝
，由牛顿第二定律得：
a＝
＝
－g，故D正确.
1.一个成年人以正常的速度骑自行车，受到的阻力为总重力的0.02倍，则成年人骑自行车行驶时的功率最接近于（ ）
A.1WB.10W
C.100WD.1000W
答案 C
解析 设人和车的总质量为100kg，匀速行驶时的速率为5m/s，匀速行驶时的牵引力与阻力大小相等F＝0.02mg＝20N，则人骑自行车行驶时的功率为P＝Fv＝100W，故C正确.
2.一物体放在水平面上，它的俯视图如图1所示，两个相互垂直的力F1和F2同时作用在物体上，使物体沿图中v0的方向做直线运动.经过一段位移的过程中，力F1和F2对物体所做的功分别为3J和4J，则两个力的合力对物体所做的功为（ ）
图1
A.3JB.4JC.5JD.7J
答案 D
解析 当有多个力对物体做功的时候，总功的大小就等于各个力对物体做功的代数和，由于力F1对物体做功3J，力F2对物体做功4J，所以F1与F2的合力对物体做的总功就为W＝3J＋4J＝7J，故选D.
3.质量为m的物体从倾角为α且固定的光滑斜面顶端由静止开始下滑，斜面高度为h，当物体滑至斜面底端时，重力做功的瞬时功率为（ ）
A.mg
B.
mg
sinα
C.mg
sinαD.mg
答案 C
解析 由于斜面是光滑的，由牛顿运动定律和运动学公式有：
a＝gsinα，2a
＝v2，故物体滑至底端时的速度v＝
.如图所示，可知重力的方向和v方向的夹角θ为90°－α.则物体滑至底端时重力的瞬时功率为P＝mg
cos（90°－α）＝mg
sinα，故C正确.
4.（多选）质量为4kg的物体被人由静止开始向上提升0.25m后速度达到1m/s，则下列判断正确的是（g取10m/s2）（ ）
A.人对物体做的功为12J
B.合外力对物体做的功为2J
C.物体克服重力做的功为10J
D.人对物体做的功等于物体增加的动能
答案 ABC
解析 人对物体做的功等于物体机械能的增加量，即W人＝mgh＋
mv2＝12J，A正确，D错误；合外力对物体做的功等于物体动能的增加量，即W合＝
mv2＝2J，B正确；物体克服重力做的功等于物体重力势能的增加量，即W＝mgh＝10J，C正确.
5.（多选）一质量为1kg的质点静止于光滑水平面上，从t＝0时刻开始，受到水平外力F作用，如图2所示.下列判断正确的是（ ）
图2
A.0～2s内外力的平均功率是4W
B.第2s内外力所做的功是4J
C.第2s末外力的瞬时功率最大
D.第1s末与第2s末外力的瞬时功率之比为9∶4
答案 AD
解析 第1
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