一元二次方程知识点和易错点总结.docx
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一元二次方程知识点和易错点总结
一元二次方程知识点总结
知识结构梳理
（1）含有个未知数。
（2）未知数的最高次数是
1、概念（3）是方程。
（4）一元二次方程的一般形式是
『
（1）法，适用于能化为xm）2nn0的一元二次方程
（2）法，即把方程变形为ab=0的形式，
元
二-2
次
方
程
解法（a，b为两个因式）,则a=0或
］（3）法
（4）法，其中求根公式是
根的判别式
X
厂当时，方程有两个不相等的实数根。
（5）I当时，方程有两个相等的实数根。
当时，方程有没有的实数根。
C可用于解某些求值（
（1）
元二次方程的应用
（2）
I（3）
可用于解决实际问题的步骤（4）
I（5）
（6）
知识点归类
如果一个方程通过移项可以使右边为0,而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样
的方程叫做一元二次方程。
注意：
1、一元二次方程必须同时满足以下三点：
①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是
2、同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。
例下列关于x的方程，哪些是一元二次方程？
2
⑴二3:
⑵x26x0；（3）.xx5；（4）x20；（5）2x（x3）2x21
x5
知识点二一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式为ax2bxc0（a，b，c是已知数，a0）。
其中a，b，c
分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
注意：
（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一
般形式。
（3）形如ax2bxc0不一定是一元二次方程，当且仅当a0时是一元二次方程。
2
例1已知关于x的方程m1xm2mix20是一兀二次方程时，则m
知识点三一兀二次方程的解
使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，女口：
当x2时，x23x20所
以x2是x23x20方程的解。
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
知识点四建立一元二次方程模型
建立一元二次方程模型的步骤是：
审题、设未知数、列方程。
注意：
（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；
（2）设未知数要带单位；（3）
建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。
例如图
（1），有一个面积为150川的长方形鸡场，
鸡场一边靠墙（墙长18m），另三边用竹篱笆围成，
因式分解法、直接开平方法
知识点一因式分解法解一元二次方程
如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=O时，则p=0或q=0用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
（1）将方程的右边化为0；
（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。
（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
关键点：
（1）要将方程右边化为0；
（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：
提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。
例用因式分解法解下列方程：
（1）5x24x；
（2）（2x23）250；（3）x26x952x2。
知识点二直接开平方法解一元二次方程
（3）mxn2cm0,且c0的解是x————-。
m
例用直接开平方法解下列一元二次方程
222
（1）9x2160；
（2）x5160；（3）x53x1（因式分解）
知识点三灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程
形如axbk0k0的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接开平方法解。
例运用因式分解法和直接开平方法解下列一元二次方程。
o2
（1）4x5360；
（2）12x30
知识点四用提公因式法解一元二次方程
把方程左边的多项式（方程右边为0时）的公因式提出，将多项式写出因式的乘积形式，然后利用“若pq=O时，则p=0或q=0”来解一元二次方程的方法，称为提公因式法。
如：
0.01t22t0，将原方程变形为t0.01t20，由此可得出
t0或O.Ot20，即卩t10,t2200
注意：
在解方程时，千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子，否则可能丢失原方程的根。
知识点五形如“x2abxb0a,b为常数”的方程的解法。
对于形如“x2abxb0a,b为常数”的方程（或通过整理符合其形式的），
可将左边分解因式，方程变形为xaxb0，则xa0或xb0，即x-ia,x2b。
注意：
应用这种方法解一元二次方程时，要熟悉“X2abxb0a,b为常数”型方程的特征。
例解下列方程：
（1）x25x60；
（2）x2x120
配方法
知识点一配方法
解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。
注意：
用配方法解一元二次方程x2pxq0，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。
例用配方法解下列方程：
（1）x26x50；
（2）x27x20
2
知识点二用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：
（1）在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数;
（2）把原方程变为xm2n的形式。
（3）若n0，用直接开平方法求出x的值，若n<0,原方程无解。
例解下列方程：
x24x30
知识点三用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程
当一元二次方程的形式为ax2bxc0a0,a1时，用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）先把二次项的系数化为1:
方程的左、右两边同时除以二项的系数；
（2）移项：
在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程
化为xm2n的形式；
（3）若n0，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。
例用配方法解下列方程：
（1）3x29x20；
（2）x24x30
用求根公式法解一元二次方程的步骤是：
（1）把方程化为ax2bxc0a0的形式，确定
例用公式法解下列方程
（1）2x23x10;
（2）2xx、210;（3）x2x250
知识点二选择适合的方法解一元二次方程
直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知数的平方式的方程
因式分解要求方程右边必须是0,左边能分解因式；
公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。
注意：
一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。
例用适当的方法解下列一元二次方程：
/八222
（1）2x392x3；
（2）x8x60；（3）x2（x1）0
知识点三一元二次方程根的判别式
1）
△=b2
4ac>0
方程有两个不相等的实数根；
2）
△=b2
4ac=0
方程有两个相等的实数根；
3）
△=b2
4acv0
方程没有实数根；
利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：
①把所有一元二次方程化为一般形式;②确定a,b.c的值；③计算b24ac的值；④根据b24ac的符号判定方程根的情况。
例不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：
（1）2x23x50；
（2）9x230x25；（3）x26x100
知识点四根的判别式的逆用
在方程ax2bxc0a0中，
（1）方程有两个不相等的实数根b24ac>0
（2）方程有两个相等的实数根b24ac=0
（3）方程没有实数根b24acv0
注意：
逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件。
例m为何值时，方程2m1x24mx2m30的根满足下列情况：
（1）有两个不相等的实数；
（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；
若Xi,X2是一元二次方程ax2bxc0a0的两个根，则有x1x2-,x1x2-
aa
根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：
（1）
2
X1
2
X2
X1
2小
x22x1x2
⑵丄
1x1x2
X1
X2X1x2
（3）
（X1
a）（X2
a）
X1X2aX1
2
X2a
（4）
1X1
X21
=
X1X22=X1
x224x1x2
例已知方程2x25x30的两根为Xi,X2，不解方程，求下列各式的值
222
（1）XiX2；
（2）XiX2。
知识点六根据代数式的关系列一元二次方程
利用一元二次方程解决有关代数式的问题时，要善于用一元二次方程表示题中的数量关系
（即列出方程），然后将方程整理成一般形式求解，最后作答。
例当X取什么值时，代数式x2x60与代数式3x2的值相等?
一元二次方程的应用
知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤
（1）审题，
（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）作答
关键点：
找出题中的等量关系。
知识点二用一元二次方程解与增长率（或降低率）有关得到问题
增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：
（1）若基数为a,增长率x为，则一次
增长后的值为alx，两次增长后的值为alx2；
（2）若基数为a,降低率x为，则一次降
例某农场粮食产量在两年内由3000吨增加到3630吨，设这两年的年平均增长率为x，列出
关于x的方程为
知识点三用一元二次方程解与市场经济有关的问题
与市场经济有关的问题：
如：
营销问题、水电问题、水利问题等。
与利润相关的常用关
系式有：
（1）每件利润=销售价-成本价；
（2）利润率=（销售价一进货价）*进货价X100%
（3）销售额二售价X销售量
例某商店如果将进货价为8元的商品每件10元售出，每天可售200件，现在采取提高售价，减少进货价的方法增加利润，已知这种商品每涨价元，其销量减少10件。
（1）要使每天获得700元，请你帮忙确定售价。
（2）当售价定为多少时，能使每天获得的利润最多？
并求出最大利润。
易错知识辨析：
（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断,
（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式
（3）用配方法时二次项系数要化1.
（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负
一元二次方程测试题
、选择题
1、若关于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m-3m+2=0有一个根为0，贝Um的值等于（）
45万吨提升到50万吨,
2、巴中日报讯：
今年我市小春粮油再获丰收，全市产量预计由前年的
设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为x，则可列方程为（
3、
4、
A.45
已矢口a,
A.n2
22
2x50B.45（1x）50C.50（1x）45D.45（1
b是关于x的一元二次方程x2nx1
B.n22C.
n22
2x）
0的两实数根，则式子-
a
D.n22
50
-的值是（）
b
已知a、b、c分别是三角形的三边,
则方程
2
（a+b）x+2cx+（a+b）
=0的根的情况
A.没有实数根
B.可能有且只有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根
5、
已知是方程的两根，且，贝U的值等于
A.—5
6、
已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（
A.
8、
关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是（
9、某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全
班共送了2450张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（）
Ax（x1）
2450B、x（x1）2450
C、
2x（x1）2450D
、x（x1）2450
2
10、若关于x的-
一兀二次方程k1xx
k2
0的一个根为1，
则k的值为（）
A.—1
B.0C
.1
D.
0或1
11、设是方程的两个实数根，则的值为（
）
A.2006
B.2007C.2008
D.2009
2
12、对于一元二次方程ax+bx+c=O（a^0），下列说法：
1若a+c=0,方程ax2+bx+c=O必有实数根；
2
2若b2+4ac<0,则方程ax+bx+c=O一定有实数根；
3若a-b+c=0，则方程ax2+bx+c=O一定有两个不等实数根；
4若方程ax2+bx+c=O有两个实数根，贝U方程cx2+bx+a=0一定有两个实数根.
其中正确的是（）
A.①②B.①③C.②③D.①③④
二、填空题
1、若一元二次方程x2—（a+2）x+2a=0的两个实数根分别是3、b,则a+b=.
2、设Xi,X2是一元二次方程x2+4x—3=0的两个根，贝UX；x；=.
3、方程（x-1）（x+2）=2（x+2）的根是
4、已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值为.
5、在等腰△ABC中，三边分别为、、，其中，若关于的方程有两个相等的实数根，则△ABC
的周长为.
6、已知关于的一元二次方程（为常数）.设Xi,X2为方程的两个实数根，且，则K的值
为.
22
7、已知m、n是方程x2003x20040的两根，则（n2004n2005）与
2
（m2004m2005）的积是
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