高中数学必修110.docx

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高中数学必修110

§1.1　算法的含义

学习目标　1.通过回顾二元一次方程组的求解过程，体会算法的基本思想（难点）；2.了解算法的含义和特征；3.会用自然语言描述简单的具体问题的算法（重点）.

预习教材P4－6完成下面的问题：

知识点一　算法的含义及特征

1.算法的概念

12世纪的算法

是指用阿拉伯数字进行算术运算的过程

数学中的算法

通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤

现代算法

通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题

2.算法的特征

（1）有限性：

一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限的操作之后停止，不能是无限的.

（2）确定性：

算法中的每一步应该是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当模棱两可.

（3）顺序性与正确性：

算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后续步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.

（4）不唯一性：

求解某一问题的解法不一定是唯一的，对于同一个问题可以有不同的算法.

（5）普遍性：

很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.

3.算法与计算机

计算机解决任何问题都要依赖于算法.只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能够解决问题.

【预习评价】

下列不是算法的是________.（填序号）

①解方程2x－6＝0的过程是移项和系数化为1；

②从济南到温哥华要先乘火车到北京，再转乘飞机；

③解方程2x2＋x－1＝0；

④利用公式S＝πr2计算半径为3的圆面积.

解析　③不是算法，没有给出解这个方程的步骤.

答案　③

知识点二　算法的设计

1.设计算法的目的

设计算法的目的实际上是寻求一类问题的算法，它可以通过计算机来完成.设计算法的关键是把过程分解成若干个明确的步骤，然后用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，从而达到让计算机执行的目的.

2.设计算法的要求

（1）写出的算法必须能解决一类问题.

（2）要使算法尽量简单、步骤尽量少.

（3）要保证算法步骤有效，且计算机能够执行.

【预习评价】

一次青青草原园长包包大人带着灰太狼、懒羊羊和一捆青草过河.河边只有一条船，由于船太小，只能装下两样东西.在无人看管的情况下，灰太狼要吃懒羊羊，懒羊羊要吃青草，请问包包大人如何才能带着他们平安过河？

提示　包包大人采取的过河的算法可以是：

第一步　包包大人带懒羊羊过河；

第二步　包包大人自己返回；

第三步　包包大人带青草过河；

第四步　包包大人带懒羊羊返回；

第五步　包包大人带灰太狼过河；

第六步　包包大人自己返回；

第七步　包包大人带懒羊羊过河.

题型一　算法的概念

【例1】　下面的结论中正确的序号是________.

①算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义；

②一个算法可以无止境地运算下去；

③完成一件事情的算法有且只有一种；

④设计算法要本着简单方便的原则.

解析　算法的步骤必须明确，其中不能含有模糊不清，让人误解的叙述，所以①正确；一个算法必须在执行有限步之后结束，且每一步都可在有限时间内完成，所以②错误；由于求解某一类问题的算法不是唯一的，所以③错误；算法设计要尽量简单、步骤尽量少，所以④正确.

答案　①④

规律方法　针对这个类型的问题，正确理解算法的概念和特点是解决此类问题的关键.

【训练1】　下面对算法的描述正确的一项是________.

①算法只能用自然语言来描述

②算法只能用图形方式来表示

③同一问题可以有不同的算法

④同一问题的算法不同，结果必然不同

解析　根据算法含义可判断只有③正确.

答案　③

题型二　算法的判断

【例2】　下列语句是算法的有________.（填写正确的序号）

①解方程x2－2x－3＝0；②做米饭需要刷锅、淘米、添水、加热等几个步骤；③学习需要预习、质疑、听讲、练习、巩固等步骤；④利用公式S＝4πr2计算半径为6的球的表面积，就是计算4π×62.

解析　②③④都描述了解决问题的过程，是算法，而①只描述了一个事实，没有说明怎么解决问题，不是算法.

答案　②③④

规律方法　“算法”与“一般意义上具体问题的解法”既有联系又有区别，它们之间是一般与特殊的关系，也是抽象与具体的关系.

【训练2】　下列说法中是算法的有________.（填序号）

①从上海到拉萨旅游，先坐飞机，再坐客车；

②解一元一次不等式的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1；

③求以A（1，1），B（－1，－2）两点为端点的线段AB的中垂线方程，可先求出AB中点坐标，再求kAB及中垂线的斜率，最后用点斜式方程求得线段AB的中垂线方程；

④求1×2×3×4的值，先计算1×2＝2，再计算2×3＝6，6×4＝24，得最终结果为24；

⑤

x＞2x＋4.

解析　①说明了从上海到拉萨的行程安排.

②给出了解一元一次不等式这类问题的解法.

③给出了求线段的中垂线的方法及步骤.

④给出了求1×2×3×4的值的过程并得出结果.

故①②③④都是算法.

答案　①②③④

【例3】　计算下列各式中的S值，能设计算法求解的是________.

①S＝1＋2＋3＋…＋100.

②S＝1＋2＋3＋…＋100＋….

③S＝1＋2＋3＋…＋n（n∈N*）.

解析　算法是为解决某一类问题而设计的一系列操作或可计算的步骤，也就是说在实际的算法中n的值是具体确定的，因此①③是正确的，而算法又是具有有限性的，即执行有限步操作后一定能解决问题，而②显然不符合算法的有限性，所以②不正确.

答案　①③

【迁移1】　写出求2＋4＋6＋…＋200的一个算法.（可以运用公式2＋4＋6＋…＋2n＝n（n＋1）直接计算）

第一步：

__________________________________________________________；

第二步：

__________________________________________________________；

第三步：

输出运算结果.

解析　解此题应首先求出算式中n的值，然后将n的值代入公式n（n＋1）进行计算，即可得此题的一个算法.

答案　取n＝100；计算n（n＋1）

【迁移2】　写出求1＋2＋3＋4＋5的值的一个算法.

解　法一　算法步骤如下：

第一步　计算1＋2，得3；

第二步　将第一步的运算结果3与3相加，得6；

第三步　将第二步的运算结果6与4相加，得10；

第四步　将第三步的运算结果10与5相加，得15；

第五步　输出结果.

法二　算法步骤如下：

第一步　取n＝5；

第二步　计算

；

第三步　输出运算结果.

【迁移3】　写出求2×4×6×8×10的一个算法.

解　算法如下：

第一步　计算2×4得8；

第二步　将第一步中的运算结果8与6相乘得48；

第三步　将第二步中的运算结果48与8相乘得384；

第四步　将第三步中的运算结果384与10相乘得3840.

规律方法　①解决一个问题的算法一般不是唯一的，不同的算法有优劣之分.②相乘的数小，数少，能很容易地算出，如果数多了，数大了，没有这样的过程，没有这样的步骤就很难去解决.如果要求2×4×6×8×…×100000的值，用计算机软件瞬间就能完成，计算机的运算靠程序支持，程序编写要依赖算法.

课堂达标

1.判断下列语句的正误：

（1）任何问题都能用算法来解决；（　　）

（2）算法的每一步都能得到一个确定的结果；（　　）

（3）一个算法可以解决一类问题，而不是个别问题；（　　）

（4）歌谱是一首歌曲的算法；（　　）

（5）算法只能用自然语言来描述.（　　）

答案　

（1）×　

（2）√　（3）√　（4）√　（5）×

2.下列关于算法的说法中正确的序号是________.

①算法是某个具体的解题过程；

②算法执行后可以不产生确定的结果；

③解决某类问题的算法不是唯一的；

④算法可以无限地操作下去不停止.

解析　算法与一般意义上具体问题的解法，既有区别，又有联系，算法的获得要借助一类问题的求解方法，而这一类具体问题都可以用这种方法来解决，因此①不对；算法中的每一步都应该是确定的，并且能有效执行，得到确定的结果，而不能含糊其辞或有歧义，所以②不正确；算法的操作步骤必须是有限的，必须在有限的步骤内完成，因此④不对；算法具有不唯一性，③正确.

答案　③

3.下列四种自然语言叙述中，能称为算法的序号是________.

①在家里一般是妈妈做饭；

②植树需要运苗，挖坑，栽苗，浇水这些步骤；

③在野外做饭叫野炊；

④做饭必须要有米.

解析　算法是做一件事情或解决一个问题等的程序或步骤，故填②.

答案　②

4.已知某学生的语文、数学、英语成绩分别为90分、95分、94分，求他的总分和平均分的一个算法为：

第一步　取A＝90，B＝95，C＝94；

第二步　____________________；

第三步　____________________；

第四步　输出D，E.

答案　计算D＝A＋B＋C　计算E＝

5.下面是解决一个问题的算法：

第一步　输入x.

第二步　若x≥4，转到第三步；否则转到第四步.

第三步　输出2x－1.

第四步　输出x2－2x＋3.

当输入x的值为________时，输出的数值最小值为________.

解析　所给算法解决的问题是求分段函数f（x）＝

的函数值问题，当x≥4时，f（x）＝2x－1≥2×4－1＝7；

当x＜4时，f（x）＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2≥2，所以f（x）min＝2，此时x＝1.即输入x的值为1时，输出的数值最小，最小值为2.

答案　1　2

课堂小结

1.算法的特点：

有限性、确定性、顺序性、不唯一性、普遍性.

2.算法设计的要求：

（1）写出的算法必须能够解决一类问题，并且能够重复使用.

（2）要使算法尽量简单，步骤尽量少.

（3）要保证算法正确，且算法步骤能够一步一步执行，在有限步后能得到结果.

基础过关

1.算法的有穷性是指________（填序号）.

①算法的最后包含输出；

②算法中每个操作步骤都是可执行的；

③算法的步骤必须有限.

解析　据算法的特点判断.

答案　③

2.下列可以看成算法的是________（填序号）.

①学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之后做适当的练习题；

②今天餐厅的饭真好吃；

③这道数学题难做；

④求过点M与N的直线方程.

解析　①是学习数学的一个步骤，所以是算法.

答案　①

3.我们已学过的算法有求解一元二次方程的求根公式，加减消元法求二元一次方程组的解，二分法求出函数的零点等，对算法的描述有：

①对一类问题都有效；

②算法可执行的步骤必须是有限的；

③算法可以一步一步地进行，每一步都有确切的含义；

④是一种通法，只要按部就班地做，总能得到结果.

以上算法的描述正确的有________（填序号）.

解析　由算法的概念可知①②③④都正确.

答案　①②③④

4.在用二分法求方程零点的算法中，下列说法正确的序号是________.

①这个算法可以求所有的零点；

②这个算法可以求任何方程的零点；

③这个算法能求所有零点的近似解；

④这个算法可以求变号零点近似解.

解析　二分法的理论依据是函数的零点存在性定理.它解决的是求变号零点的问题，并不能求所有零点的近似值.

答案　④

5.已知直角三角形两直角边长为a，b，求斜边长c的一个算法分下列三步：

（1）计算c＝

；

（2）输入直角三角形两直角边长a，b的值；

（3）输出斜边长c的值.

其中正确的顺序是________.

解析　算法的步骤是有先后顺序的，第一步是输入，最后一步是输出，中间的步骤是赋值、计算.

答案　

（2）

（1）（3）

6.写出解方程3x＋5＝0的算法步骤：

第一步　________________①________________；

第二步　________________②________________；

第三步　________________③________________.

解析　解一元一次方程的步骤是移项，两边同时除以x的系数，得出x的值.

答案　①移项，得3x＝－5　②两边同时除以3，得x＝－

　③得结论，方程3x＋5＝0的解为x＝－

7.输入一个x值，利用y＝|x＋1|求函数值的算法如下，请将所缺部分补充完整：

第一步　输入x；

第二步　_________________________________________________________；

第三步　计算y＝－x－1；

第四步　输出y.

解析　y＝|x＋1|＝

故第二步为当x≥－1时，计算y＝x＋1；否则执行第三步.

答案　当x≥－1时，计算y＝x＋1；否则执行第三步

能力提升

8.阅读下面的算法：

第一步　输入两个实数a，b；

第二步　若a＜b，则交换a，b的值，否则执行第三步；

第三步　输出a.

这个算法输出的是________.

解析　第二步中，若a＜b，则交换a，b的值，那么a是a，b中的较大数.

答案　a，b中的较大数

9.小王中午放学回家自己煮面条吃，有下列几道工序：

①洗锅盛水2分钟；②洗菜6分钟；③准备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开10分钟；⑤煮面条3分钟.小王要将面条煮好最少要用的时间为________分钟.

解析　①洗锅盛水2分钟，④用锅把水烧开10分钟（同时进行：

②洗菜6分钟，③准备面条及佐料2分钟），⑤煮面条3分钟，共用15分钟.

答案　15

10.给出下列算法：

第一步　输入x的值；

第二步　当x＞4时，计算y＝x＋2，否则执行第三步；

第三步　计算y＝

；

第四步　输出y.

当输入x＝0时，输出y＝________.

解析　由于x＝0＜4，故计算y＝

＝3，输出y＝3.

答案　3

11.给出如下算法：

第一步　输入a，b，c的值；

第二步　当a＞b时，令“最小值”为b；否则，令“最小值”为a；

第三步　当“最小值”大于c时，令“最小值”为c；否则，“最小值”不变；

第四步　输出“最小值”.

若输入a＝5，b＝3，c＝－6，则输出的值是________.

解析　本算法的功能是输入a，b，c的值，输出其中的最小值，由于c＜b＜a，则输出的值是－6.

答案　－6

12.对于算法：

第一步　输入n；

第二步　判断n是否等于2，若n＝2，则n满足条件；若n＞2，则执行第三步；

第三步　依次从2到（n－1）检验能不能被n整除，若不能被n整除，则执行第四步；若能整除n，则结束算法；

第四步　输出n.

满足条件的n是________.

解析　此题首先要理解质数，只能被1和自身整除的大于1的整数叫质数.2是最小的质数，这个算法通过对2到（n－1）一一验证，看是否有其他约数，来判断其是否为质数.

答案　质数

13.（选做题）鸡兔同笼问题：

鸡和兔各若干只，数腿共100条，数头共30只，试设计一个算法，求出鸡和兔各有多少只.

解　第一步　设有x只鸡，y只兔，列方程组

第二步　②÷2＋①×（－1），得y＝20；

第三步　把y＝20代入x＝30－y，得x＝10；

第四步　得到方程组的解

第五步　输出结果，鸡10只，兔20只.