四川省成都石室外语学校学年高二上学期半期.docx

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四川省成都石室外语学校学年高二上学期半期

2016-2017学年四川省成都石室外语学校高二上学期半期考试理科数学

一、选择题：

共12题

1．直线的倾斜角是

A.0B.C.D.不存在

【答案】C

【解析】本题主要考查直线的倾斜角.依题意，直线垂直于轴，故其倾斜角为，故选C.

2．圆的圆心坐标和半径分别为

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】本题主要考查圆的标准方程以及圆心与半径.圆的标准方程为：

（x+1）2+y2=12,则圆心坐标和半径分别为

3．若直线与直线平行，则的值为

A.B.1C.1或－1D.3

【答案】B

【解析】本题主要考查两条直线的位置关系.依题意，直线2mx＋y＋6＝0与直线（m－3）x－y＋7＝0平行，则得，故选B.

4．已知直线l经过点，且与直线平行，那么直线l的方程是

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】本题主要考查直线方程.依题意，设所求直线方程为，点代入求得，故所求直线方程为，故选A.

5．已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数a的值是

A.－2B.－4C.－6D.－8

【答案】B

【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系.圆即，得弦心距，再由弦长公式可得即，得，故选B.．

6．若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】本题主要考查圆的方程.依题意，圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，可得圆心为，再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为，故选C．

7．已知实数x，y满足条件，且，则z的最小值是

A.5B.－2C.2D.－5

【答案】D

【解析】本题主要考查简单的线性规划问题．由约束条件作可行域如图，由图可知，可行域中点的坐标是使目标函数取得最小值的最优解,.可得,则的最小值是,故选D.

8．执行如图所示的程序框图，则输出s的值为

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】本题主要考查程序框图.执行程序框图，可得满足条件满足条件满足条件满足条件，不满足条件,退出循环,输出的值为.故选D.

9．某全日制大学共有学生5400人，其中专科生有1500人，本科生有3000人，研究生有900人.现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为180人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取

A.55人，80人，45人B.40人，100人，40人

C.60人，60人，60人D.50人，100人，30人

【答案】D

【解析】本题主要考查了分层抽样的应用.根据题意可得专科生、本科生、研究生的人数之比为，所以抽取的专科生人数人，抽取的本科生人数人，抽取的研究生人数人，故答案为D.

10．运用秦九韶算法计算f（x）＝0.5x6＋4x5－x4＋3x3－5x当x＝3时的值时，最先计算的是

A.－5×3＝－15B.0.5×3＋4＝5.5

C.3×33－5×3＝66D.0.5×36＋4×35＝1336.6

【答案】B

【解析】本题主要考查秦九韶算法.==，然后由内向外计算，最先计算的是，故选B.

11．已知a，b为正实数，直线x＋y＋a＝0与圆（x－b）2＋（y－1）2＝2相切，则的最小值是

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系．圆的圆心坐标为，半径为，由直线与圆相切，得，则，又，得，则，且，则=，当且仅当，即时上式等号成立，故选B．

12．以原点O引圆的切线为,当m变化时切点P的轨迹方程是

A.B.

C.D.

【答案】D

【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系、点的轨迹，考查了计算能力.设圆心C，根据题意可得：

|OP|2+|PC|2=|OC|2,又因为|OC|2=,|PC|2=,|OP|2=,所以，消去m可得，即为切点P的轨迹方程

二、填空题：

共4题

13．28的二进制数是　　

【答案】11100

（2）

【解析】本题主要考查进位制.28÷2=14…0，14÷2=7…0，7÷2=3…1，3÷2=1…1，1÷2=0…1，故，故填．

14．以点（－1，3）为圆心且与直线x－y＝0相切的圆的方程为　　.

【答案】

【解析】本题主要考查圆的方程.由以点为圆心且与直线相切的圆的半径为圆心到直线的距离，得圆半径，得以点为圆心且与直相切的圆的方程为.故填.

15．如图：

在底面为平行四边形的棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.则向量可用＝a，＝b，＝c表示为　　.

【答案】

【解析】本题主要考查空间向量及其运算.由得=，故填.

16．圆C为（x－2）2＋y2＝4，圆M为（x－2－5cosθ）2＋（y－5sinθ）2＝1（θ∈R），过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE、PF，切点分别为E,F，则的最小值为　　.

【答案】6

【解析】本题主要考查直线和圆的方程位置关系．依题意，的圆心，半径等于2，圆，圆心，半径等于1．由，故两圆相离．由，要使最小，需和最小，且最小，如图，设直线和圆交于两点，则的最小值是．,=，，得，得=，故填6．

三、解答题：

共6题

17．已知圆C1：

x2＋y2－3x－3y＋3＝0，圆C2：

x2＋y2－2x－2y＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及弦长.

【答案】把圆C1：

x2＋y2－3x－3y＋3＝0和圆C2：

x2＋y2－2x－2y＝0的方程相减，

可得两圆的公共弦所在的直线方程为x＋y－3＝0.

由于圆C2：

x2＋y2－2x－2y＝0，即圆C2：

（x－1）2＋（y－1）2＝2，

故C2（1，1），半径r2＝，求得点C2到公共弦所在的直线的距离d＝

＝，

故公共弦的长为2＝2.

【解析】本题主要考查两圆的位置关系.把圆C1：

x2＋y2－3x－3y＋3＝0和圆C2：

x2＋y2－2x－2y＝0的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线方程.求得点C2到公共弦所在的直线的距离，利用弦长公式求得弦长.

18．某车间20名工人年龄数据如下表：

（1）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；

（2）求这20名工人年龄的方差.

【答案】

（1）茎叶图如下：

（2）年龄的平均数为：

＝30.

这20名工人年龄的方差为S2＝[（19－30）2＋3×（28－30）2＋3×（29－30）2＋5×（30－30）2＋4×（31－30）2＋3×（32－30）2＋（40－30）2]＝12.6.

【解析】本题主要考查茎叶图及平均数与方差.

（1）依题意，根据所给数据作出茎叶图.

（2）利用公式求得年龄的平均数与方差.

19．某校高一学生共有500人，为了了解学生的历史学习情况，随机抽取了50名学生，对他们一年来4次考试的历史平均成绩进行统计，得到频率分布直方图如图所示，后三组频数成等比数列.

（1）求第五、六组的频数，补全频率分布直方图；

（2）若每组数据用该组区间中点值（例如区间[70，80）的中点值是75作为代表），试估计该校高一学生历史成绩的众数，中位数和平均分；

【答案】

（1）设第五、六组的频数分别为x，y,

由题设得，第四组的频数是0.024×10×50＝12,

则x2＝12y,

又x＋y＝50－（0.012＋0.016＋0.03＋0.024）×10×50,即,

∴x＝6，y＝3,

补全频率分布直方图

（2）该校高一学生历史成绩的平均分

＋75×0.024＋85×0.012＋95×0.006）＝67.6

中位数：

67.3,众数：

65.

【解析】本题主要考查频率分布直方图及平均数、中位数及众数的求法.

（1）设第五、六组的频数分别为x，y,根据第四组的频数为12，求得，又，从而求得的值，即可补全频率分布直方图.

（2）利用公式求得该校高一学生历史成绩的平均分，根据所给数据写出中位数和众数.

20．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别是AC，PB的中点.

（1）证明：

EF∥平面PCD；

（2）求证：

面PBD⊥面PAC；

（3）若PA＝AB，求PD与平面PAC所成角的大小.

【答案】

（1）证明：

如图连接BD，则E是BD的中点.

又F是PB的中点，所以EF∥PD，

因为EF不在平面PCD内，所以EF∥平面PCD.

（2）因为ABCD是正方形，所以BD⊥AC，

又PA⊥平面ABC，所以PA⊥BD，

因此BD⊥平面PAC，BD在平面PBD内，

故面PBD⊥面PAC.

（3）连接PE，由

（2）可知BD⊥平面PAC，

故∠EPD是PD与平面PAC所成的角.

因为PA＝AB＝AD，∠PAD＝∠BAD＝90°，

所以Rt△PAD≌Rt△BAD.

因此PD＝BD，在Rt△PED中sin∠EPD＝，∠PAD＝30°，

所以PD与平面PAC所成角的大小是30°.

【解析】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理及空间角.

（1）如图连接BD，则E是BD的中点.利用中位线证得EF∥PD，利用线面平行的判定定理证得EF∥平面PCD.

（2）利用线面垂直的性质定理证得PA⊥BD，利用线面垂直的判定定理证得BD⊥平面PAC，然后利用面面垂直的判定定理证得面PBD⊥面PAC.（3）连接PE，由

（2）可知BD⊥平面PAC，证得∠EPD是PD与平面PAC所成的角.在Rt△PED中，解三角形求得∠PAD，从而求得PD与平面PAC所成角的大小.

21．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：

（x－2）2＋（y－3）2＝1交于点M、N两点.

（1）求k的取值范围；

（2）若＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.

【答案】

（1）由题意可得，直线l的斜率存在，

设过点A（0，1）的直线方程：

y＝kx＋1，即：

kx－y＋1＝0.

由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R＝1.

故由＝1，解得：

k1＝，k2＝.

故当＜k＜，过点A（0，1）的直线与圆C：

（x－2）2＋（y－3）2＝1相交于M，N两点.

（2）设M（x1，y1）；N（x2，y2），

由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y＝kx＋1，代入圆C的方程（x－2）2＋（y－3）2＝1，

可得（1＋k2）x2－4（k＋1）x＋7＝0，

∴x1＋x2＝，x1•x2＝，

∴y1•y2＝（kx1＋1）（kx2＋1）＝k2x1x2＋k（x1＋x2）＋1

＝•k2＋k•＋1＝，

由＝x1•x2＋y1•y2＝＝12，解得k＝1，

故直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.

圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径.

所以|MN|＝2.

【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系.

（1）由题意可得，直线l的斜率存在，设过点A（0，1）的直线方程：

y＝kx＋1，利用圆心到直线的距离小于半径求得的取值范围.

（2）设M（x1，y1）；N（x2，y2），将直线方程y＝kx＋1，代入圆C的方程（x－2）2＋（y－3）2＝1，结合根与系数关系和＝12，求得的值，从而求得直线方程，得出圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径.，从而求得|MN|.

22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：

x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A（2，4）.

（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；

（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；

（3）设点T（t，0）满足：

存在圆M上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围.

【答案】

（1）∵N在直线x＝6上，∴设N（6，n），

∵圆N与x轴相切，∴圆N为：

（x－6）2＋（y－n）2＝n2，n＞0，

又圆N与圆M外切，圆M：

x2＋y2－12x－14y＋60＝0，即圆M：

（x－6）2＋（x－7）2＝25，

∴|7－n|＝|n|＋5，解得n＝1，

∴圆N的标准方程为（x－6）2＋（y－1）2＝1.

（2）由题意得OA＝2，kOA＝2，设l：

y＝2x＋b，

则圆心M到直线l的距离：

d＝，

则|BC|＝2＝2，BC＝2，

即2＝2，解得b＝5或b＝－15，

∴直线l的方程为：

y＝2x＋5或y＝2x－15.

（3），即，即，

，

又≤10，即≤10，解得t∈[2－2，2＋2]，

对于任意t∈[2－2，2＋2]，欲使，

此时,≤10，

只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为，

必然与圆交于P、Q两点，此时，即，

因此实数t的取值范围为t∈[2－2，2＋2].

【解析】本题主要考查圆的标准方程及直线与圆的位置关系.

（1）设N（6，n），由圆N与x轴相切，得圆N为：

（x－6）2＋（y－n）2＝n2，n＞0，利用圆N与圆M外切，得|7－n|＝|n|＋5，求得的值，从而圆的方程.

（2）设，利用圆心M到直线l的距离结合弦长公式求得的值，从而求得直线的方程.（3）利用，求得，得，结合≤10，求得的范围.