高考理科数学新课标全国卷逐题解析.docx

高考理科数学新课标全国卷逐题解析.docx

《高考理科数学新课标全国卷逐题解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考理科数学新课标全国卷逐题解析.docx（23页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高考理科数学新课标全国卷逐题解析

2010年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）

理科数学

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．

第I卷

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的．

1．已知集合A{xR|x|2}},B{xZ|x4},则AB

A．（0,2）B．[0,2]C．{0,2]D．{0,1,2}

D【解析】A{xR|x|2,}{xR2x2}，

B{xZ|x4}{xZ0x16}，故AB{0,1,2}．应选D．

2．已知复数

z

3i

2

（13i）

，z是z的共轭复数，则zz=

A．

1

4

B．

1

2

C．1D．2

A【解析】

3i3i13i11

z（3i）（13i）（3i）

2

284

（13i）223i13i

111

zz（3i）（3i）．应选A．

444

另解：

由

z

3i

3i21

2

（13i）13i

22

22

可得

21

zzz．

4

x

y

在点（1,1）处的切线方程为

3．曲线

x2

A．y2x1B．y2x1C．y2x3D．y2x2

A【解析】由

y

x2

1

x2x2

可得

2

y,ky2,y12（x1）

，

2x1

（x2）

y2x1，应选A．

4．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（2,2），角速度为

1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为

高考真题（理科数学）第1页—共13页

ABCD

C【解析】通过分析可知当t0时，点P到x轴距离d为2，于是可以排除答案A,D，再

根据当

t时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，应选C．

4

5．已知命题

xx

p：

函数y22在R为增函数，

1

xx

p：

函数y22在R为减函数，

2

则在命题

q：

p1p2，q2：

p1p2，q3：

p1p2和q4：

p1p2中，真命

1

题是

A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4

xxxx

C【解析】p1：

函数y22在R为增函数为真命题，而函数y22为偶函数，

xxxx则22

y在R不可能为减函数，p2：

函数y22在R为减函数为假命题，

则p1为假命题，p2为真命题，然后根据复合命题的判断方法即可确定答案C．

6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再

补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为

A．100B．200C．300D．400

B【解析】由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数服从二项分布，即~B（1000,0.1）,

而X2，则EX2E210000.1200．应选B．

7．如果执行右面的框图，输入N5，则输出的数等于

高考真题（理科数学）第2页—共13页

开始

输入N

k=1,S=0

S=S+

1

k（k+1）

k=k+1

是k

否输出S

结束

A．

5

4

B．

4

5

C．

6

5

D．

5

6

D【解析】根据框图所体现的算法可知此算法为求和：

11111

S0，

1223344556

11111111115

11

22334455666

，应选D．

8．设偶函数f（x）满足

3

f（x）x8（x0），则{x|f（x2）0}

A．{x|x2或x4}B．{x|x0或x4}

C．{x|x0或x6}D．{x|x2或x2}

B【解析】当x0时，则x0，由偶函数满f（x）足

3

f（x）x8（x0）可得，

f（x）f（x）

38

x，则f（x）=

3

x8（x0）

3

x8（x0）

，

f（x2）

3

（x2）8（x2）

3

（x2）8（x2）

，

令f（x2）0，可解得x4,或x0．应选B．

另解：

由偶函数满f（x）足f（x）x38（x0）可得

3

f（x）f（x）x8，

则

3

f（x2）f（x2）x28，要使f（x2）0，

只需

3

x280,x22，解得x4,或x0．应选B．

高考真题（理科数学）第3页—共13页

9．若

cos

4

5

，是第三象限的角，则

1tan

1tan

2

2

A．

1

2

B．

1

2

C．2D．2

A【解析】由

cos

4

5

，是第三象限的角可得

sin

3

5

．

3

1tan2cos2sin21sin51

1

4

cos2

1tancossin

2225

，应选A．

另解：

由

cos

4

5

，是第三象限的角可得

sin

3

5

．

3

sin2sin5

tan3

4

2cos1cos1

25

，

1tan2131

132

1tan

2

．

10．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积

为

A．

2

aB．

7

3

2

aC．

11

3

2

aD．

2

5a

B【解析】根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，则其外接球的半径为

a2a272

R（）（）a，球的表面积为

22sin6012

2

27a72

R4a，应选B．

123

|lgx|,0x10,

11．已知函数

fx

（）1

2

x6,x10.

若a,b,c互不相等，且f（a）f（b）f（c）,则abc

的取值范围是

A．（1,10）B．（5,6）C．（10,12）D．（20,24）

C【解析】作出函数f（x）的图象如图，

y

O11012x

高考真题（理科数学）第4页—共13页

1

不妨设abc，则lgalgbc10（0,1）

2

则abcc（10,12）．应选C．

12．已知双曲线E的中心为原点，P（3,0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两

点，且AB的中点为N（12,15）,则E的方程式为

A．

22

xy

36

1

B．

22

xy

45

1

C．

22

xy

63

1

D．

22

xy

54

1

B【解析】由双曲线E的中心为原点，P（3,0）是E的焦点可设双曲线的方程为

22

xy

22

221（9）

ab

ab

，设A（x1,y1）,B（x2,y2），即

2222

xyxy

1122

221,221

abab

22

yybxxb

1212

则

22

xxayya

1212

12015

15312

2

b

1

，则

2

a

5

4

22

b5,a4

，

故E的方程式为

22

xy

45

1

．应选B．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生

都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答．

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分．

13．设yf（x）为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0f（x）1，可以用随机模拟方法近

似计算积分

1

0

fxdx，先产生两组（每组N个）区间[0,1]上的均匀随机数

（）

x1,x2,⋯xN

和

y1,y2,⋯yN，由此得到N个点（xi,yi）i（1⋯,2,N,，再数出其中满足

yf（x）（i1,2,⋯,N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分

ii

1

0

f（x）dx的近似

值为．

【解析】：

由题意可知

N

1

N

1

0

f（x）dx

1

得

1

0

f（x）dx

N

1

N

，故积分

1

0

f（x）dx的近似值为

N

1

N

．

高考真题（理科数学）第5页—共13页

14．正视图为一个三角形的几何体可以是______（写出三种）

【解析】正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥、四棱锥等等．

15．过点A（4,1）的圆C与直线xy10相切于点B（2,1），则圆C的方程为____．

【解析】设圆的方程为

222

（xa）（yb）r，

则

222222b1

（4a）（1b）r,（2a）（1b）r,1,

a2

解得a3,b0,r2，故所求圆的方程为

22

（x3）y2．

16．在△ABC中，D为边BC上一点，

1

BDDC，ADB=120°，AD=2，若△ADC

2

的面积为33，则BAC=_______．

【解析】由△ADC的面积为33可得

A

BDC

13

SADDCsin60DC33

ADC

22

31

S（33）ABACsinBAC

ABC

22

解得DC232,则BD31,BC333．

2222cos120

ABADBDADBD

2

4（31）2（31）6,AB6

2222cos6044（31）24（31）24123

ACADCDADCD

AC6（31）

则

cosBAC

222

BAACBC

2ABAC

6241239（423）6361

266（31）12（31）2

故BAC60．

高考真题（理科数学）第6页—共13页

三、解答题：

解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．

17．（本小题满分12分）

设数列

a满足

n

2n1

a12,a1a32．

nn

（Ⅰ）求数列an的通项公式；

（Ⅱ）令bnnan，求数列的前n项和Sn．

【解析】（Ⅰ）由已知，当n≥1时，

a1[（a1a）（aa1）（a2a1）]a1

nnnnn

2123

nn22（n1）13（222）2．

而

a12,

所以数列{

a}的通项公式为

n

2n1

a2．

n

（Ⅱ）由

2n1

bnan2知

nn

352n1

S122232n2①

n

从而

2

2Sn=

3572n1

122232n2②

①-②得

2

（

12）Sn=

352121

nnn．

22222

即

S=

n

1

9

2n1

[（3n1）22]．

18．（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，ACBD，垂足为H，

PH是四棱锥的高，E为AD中点．

（Ⅰ）证明：

PEBC；

（Ⅱ）若APBADB60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．

高考真题（理科数学）第7页—共13页

【解析】以H为原点，HA,HB,HP分别为x,y,z轴，线段HA的长为单位长，建立空

间直角坐标系如图，则A（1,0,0）,B（0,1,0）

（Ⅰ）设C（m,0,0）,P（0,0,n）（m0,n0）

则D（0,m,0）,

1m

E（,,0）．

22

可得PE=（1,,）

m

n,BC=（m,1,0）．

22

mm

因为PEBC00，

22

所以PEBC．

（Ⅱ）由已知条件可得

33

m,n1,故C（,0,0），

33

313

D（0,,0）,E（,,0）,P（0,0,1），

326

设n（x,y,x）为平面PEH的法向量

则

n

n

HE

HP

0

0

，即

13

xy

26

z0

0

．

因此可以取n（1,3,0），

由PA（1,0,1），

可得|cos|=

2

4

，

所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为

2

4

．

高考真题（理科数学）第8页—共13页

19．（本小题12分）

为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500

位老年人，结果如下：

性别

男女是否需要志愿

需要4030

不需要160270

（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

（Ⅱ）能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

（Ⅲ）根据

（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助

的老年人的比例？

说明理由．

附：

K

2

2n（adbc）

（ab）（cd）（ac）（bd）

2

P（K⋯k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【解析】（Ⅰ）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，

需要帮助的老年人的比例的估算值为

70

500

14%

．

（Ⅱ）

2

2500（4027030160）

K9.967．

20030070430

由于9．967>6．635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。

（Ⅲ）由（Ⅱ）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出

该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定

该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用

简单随机抽样方法更好．

20．（本小题满分12分）

22

xy

设E:

1（ab0）

F1,F2分别是椭圆

22

ab

的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l

高考真题（理科数学）第9页—共13页

与E相交于A,B两点，且

AF2,AB,BF2成等差数列．

（Ⅰ）求E的离心率；

（Ⅱ）设点P（0,1）满足PAPB，求E的方程．

【解析】（Ⅰ）由椭圆定义知AF2BF2AB4a，又2ABAF2BF2，

得

4

ABa．

3

l的方程为yxc，其中

22

cab．

yxc

设

Ax1,y1，

Bx2,y2，则A、B两点坐标满足方程组22

xy

221

ab

，

化简的

222222220

abxacxacb．

则

222

2

2ac

acb

xx,xx

12221222

abab

．

因为直线AB斜率为1，所以AB

2

2xx2xx4xx

211212

得

2

44ab

a

22

3ab

故

222

ab，

所以E的离心率

e

222

cab

aa2

．

（Ⅱ）设AB的中点为Nx0,y0，由（I）知

2

xxac2

12

xc

022

2ab3

，

c

yxc．

003

由PAPB，得1

k，

PN

即

y

0

x

0

1

1

，

得c3，从而a32,b3，

故椭圆E的方程为

22

xy

189

1

．

高考真题（理科数学）第10页—共13页

21．（本小题满分12分）

设函数

x2

f（x）e1xax．

（Ⅰ）若a0，求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若当x0时f（x）0，求a的取值范围．

xx

【解析】（Ⅰ）a0时，（）1

fxex，f'（x）e1．

当x（,0）时，f'（x）0；当x（0,）时，f'（x）0．故f（x）在（,0）单调

减少，在（0,）单调增加．

x

（Ⅱ）f'（x）e12ax，

x

由（Ⅰ）知1

ex，当且仅当x0时等号成立．故

f'（x）x2ax（12a）x，

从而当12a0，即

1

a时，f'（x）0（x0），而f（0）0，

2

于是当x0时，f（x）0．

xx

由1（0）

exx可得e1x（x0）．从而当

1

a时，

2

xxxxx

f'（x）e12a（e1）e（e1）（e2a），

故当x（0,ln2a）时，f'（x）0，而f（0）0，于是当x（0,ln2a）时，f（x）0．

综合得a的取值范围为（,1]

2

．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（本小题满分10分）选修4—1：

几何证明