八年级上学期数学期中复习专题教师版.docx

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八年级上学期数学期中复习专题教师版

期中复习专题

专题1等腰直角三角形综合探究

1.已知，在△ABC中，CA＝CB＝10，O为AB的中点，点E，F分别在直线AC，BC上，且∠EOF＝2∠A．

（1）若∠A＝450．

①如图①，连接OC，当E，F分别在线段AC，BC上时，求证：

△COF≌△BOF；

②如图②，当E，F分别在AC延长线上和CB延长线上时，求CF-CE的值；

（2）如图③，若∠A＝30°，且E，F分别在AC延长线上和线段BC上，试说明CF与CE满足怎样的关系式．

【解析】

（1）①∵CA＝CB，∠A＝45°∴∠A＝∠B＝45°,∠ACB＝90°.∵AO＝OB，∴OC＝OA＝OB，

∠ACO＝∠BC0＝45°,CO⊥AB.∵∠EOF＝2∠A＝90°,∠COB＝90°，∴∠EOF＝∠COB,∴∠EOC＝∠BOF，

在△EOC和△FOB中，∠ECO＝∠B,CO＝OB，∠EOC＝∠FOB，∴△EOC≌△FOB（ASA）.

②连接CO，由①易知∠ACO-∠ABC＝45°，∴∠ECO＝∠OBF＝135°.∵∠COB＝∠EOF＝90°，

∠COE＝∠BOF．在△EOC和△FOB中，∠ECO＝∠FBO，CO＝OB，∠EOC＝∠FOB，

∴△FOC≌△FOB（ASA）.∴EC＝BF,∴CF-EC＝BC＋BF-EC＝BC＝10.

（2）CF-CE＝5．连接OC,在CF上截取CM＝CO，连接EF，OM.∵∠A＝∠B＝30°,O为AB中点，

易得∠ACB＝120°,CO⊥AB.∴∠ACO＝∠BCO＝60°,∴∠OCE＝120°.∵CM＝CO，∴△COM为等边三角形，

∴∠COM＝60°，∴∠OMB＝120°＝∠OCE.∵∠EOF＝2∠A＝60°，∴∠COM＝∠EOF，∴∠COE＝∠MOF．

在△COE和△MOF中，∠COE＝∠MOF,CO＝MO,∠OCE＝∠OMF，∴△COF≌△MOF．∴CE＝MF．

∴CF-CE＝CF-MF＝CM＝CO.在Rt△AOC中，∠A＝30°,AC＝10，∴C0＝5．∠CF-CE＝5．

2．（2016秋.黄陂区月考）已知在△ABC中，AC＝BC，∠CAB＝∠CBA＝45︒，点M为直线BC上任意一点，过

点C作CD⊥AM交AB于点D，在BC上取一点N，使CN＝BM．连接DN．

（1）如图，M，N在线段BC上，求证：

∠AMC＝∠DNB；

（2）若M，N分别在CB，BC的延长线上，试画出图形，并说明

（1）中的结论是否成立？

【解析】

（1）如图①，作BG上BC，交CD的延长线于G，设AM交CD才0．∵AM⊥CD，BG⊥BC，∴∠AOC＝∠CBG90°,∴∠ACO＋∠CAO＝90°∴∠ACO＋∠BCG＝90°∴∠CAM＝∠BCG∵AC＝BC，易证△ACM≌△CBG（ASA）,∴CM＝BG，∠AMG.∴CN＝BM,∴BN＝CM＝BG.∵∠DBN≌△DBG（SAS）,∴∠G＝∠BND,∠AMC＝△DNB

（2）

（1）中的结论成立．理由：

作BG上BC,交CD的延长线于G，设AM交CD的延长线于O，∵AM⊥CD，

BG⊥BC，∴∠AOC＝∠CBG＝∠ACM＝90°，∴∠ACO＋∠CAO＝90°,∠ACO＋∠BCG＝90°，∴∠CAM＝∠BCG．又∵AC＝BC，∴△ACM≌△CBG（AAS），∴CM＝BG,∠M＝∠G.∵CN=BM，∴CM＝BN=BG．∵BD=BD,∠DBN＝∠DBG=＝45°,BN＝BG，∴△DBN≌△DBG（SAS），∴∠G＝∠N，∴∠M＝∠N．

专题2等腰三角形与全等

1．（2017秋·青山区期中）已知，AB＝AC，D，A，E三点在同一直线上，且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝120°．

（1）如图①，求证：

BD＝AE；

（2）如图②，AF平分∠BAC，且AF＝AB，连接FD，FE，试判断△FDE的形状，并说明你的结论．

【解析】

（1）∵∠BDA＝∠BAC＝120°，∴∠DBA＋∠DAB＝∠CAE＋∠DAB＝60°∴∠DBA＝∠CAE.

在△BAD和△ACE中，∠BDA＝∠AEC,∠DBA＝∠CAE,BA＝AC，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴BD＝AE.

（2）△DEF为等边三角形．理由：

如图②，连接BF,CF.∵AB＝AC＝AF,AF平分∠BAC,∠BAC＝120°，

∴△ABF和△ACF均为等边三角形，∴BF-AF＝AB＝AC＝CF，∠BAF＝∠CAF＝∠ABF＝60°.由

（1）知△ADB≌△CEA（AAS）,∴BD＝AE,∠DBA＝∠CAE．∵∠ABF＝∠CAF＝60°,∴∠DBA＋∠ABF＝∠CAE＋∠CAF，∴∠DBF＝∠FAE．在△BDF和△AEF中,FB＝FA，∠DBF＝∠FAE,BD＝AE，∴△DBF≌△EAF（SAS）．∴DF＝EF,∠BFD＝∠AFE．∴∠DFE＝∠DFA＋∠AFE＝∠DFA＋∠BFD＝60°，∴△DEF为等边三角形．

2．（2016秋·武昌区期末）已知，在△ABC中，AC＝BC，

（1）如图①，分别过A，B做AM⊥BC，BN⊥AC，垂足分别为点M，N，AM与BN相交于点P，求证：

AP＝BP；

（2）如图②，分别在AC的右侧，BC的左侧做等边△ACE和等边△BCD，AE与BD相交于点F，连接CF并延长交AB于点G，求证：

点G是AB的中点；

（3）在

（2）的条件中，当∠ACB的大小发生变化时，设直线CD与直线AE相交于H点，当∠ACB等于时，使得AH＝CD．

【解析】

（1）∵AM⊥BC,BN⊥AC，∴∠AMC一∠BNC＝90°.∴∠C＋∠CAM＝90°,∠C＋∠CBN＝90°.∠CAM＝∠CBN．∴CA＝CB,∴∠CAB＝∠CBA，∴∠PAB＝∠PBA，∴PA＝PB.

（2）∵CA＝CB∴∠CAB＝∠CBA．∵△AEC和△BCD为等边三角形，∴∠CAE＝∠CBD．∴∠FAG＝∠FBG．∴AF＝BF.在△ACF和△BCF中，AF＝BF,AC＝BC,CF＝CF，∴△AFC≌△BFC（SSS）,∴∠ACF＝∠BCF．∵AC＝BC，∴AG＝BG，即点G为AB的中点．

3．（2017秋·黄陂区期中）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，BC交DE于点O，∠BAD＝a．

（1）求证：

∠BOD＝a；

（2）若AO平分∠DAC，求证：

AC＝AD；

（3）若∠C＝30°，OE交AC于F，且△AOF为等腰三角形，则a.

【解析】

（1）设AD交OB于K.在△ABC和△ADE中,AB＝AD,∠BAC＝∠DAE,AC＝AE，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠B＝∠D．∵∠AKB＝∠DKO，∴∠BOD＝∠BAD＝a.

（2）过A作AM⊥BC于M，作AN⊥DE于N,∵△ABC≌△ADE，∴S△ABC＝S△ADE,BC＝DE，

∴

BC·AM＝

DE·AN，∴AM＝AN．∴AO平分∠BOE，

∴∠AOB＝∠AOE．∴AO平分∠DAC，∴∠DAO＝∠CAO．∴∠DAE-∠DAO＝∠BAC-∠CAO，即∠BAO＝∠EAO．

在△ABO和△AEO中，∠BAO＝∠EAO,AO＝AO,∠AOB＝∠AOE，∴△ABO≌△AEO（ASA）,∴AB＝AE,∵AB＝AD,AC＝AE,∴AC＝AD.

4．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点P为底边BC上一动点，连接AP，在AP左侧作等腰△APD，使PA＝PD，∠APD＝∠BAC，连接BD．

（1）如图①，若∠APD＝∠BAC＝60°，求证：

△ABD≌△ACP；

（2）如图②，若∠APD-∠BAC＝90°，AB＝2，当点P由点C运动到点B时：

①∠PBD的大小是否为定值？

若为定值，求出其大小，若发生变化，请说明理由；

②求出点D运动的路径长度，

【解析】

（1）如图①，∵∠BAC＝60º，AB=AC，∴△ABC为等边三角形，同理，得△APD也是等边三角形，∴AD=AP，∠DAP＝∠BAC=60º，∴∠DAB＋∠BAP＝∠CAP＋∠BAP，∴∠DAB＝∠CAP,∴△ABD∽△ACP（SAS）．

（2）①∠PBD的大小会发生变化．过A作AF⊥BC，交BC于F，则F是BC的中点，

i）当点P在FC上运动时，∠PBD＝45º，如图②，理由：

过点D作DG⊥BC于G，

∵∠APF＋∠DPG＝90º,∠GDP＋∠DPG=90º，∴∠APF＝∠GDP．∵∠AFP＝∠DGP=90º,AP＝PD,

∴△AFP≌△PGD（AAS）,∴AF=PG,PF＝GD.∵AF＝BF,∴BF=PG∴BF-FG=PG-FG,即BG=PF．

∴BG＝GD，∴△BGD是等腰直角三角形，∴∠PBD＝45º;

ii）当点P与中点F重合时，∠PBD＝Oº;

iii）当点P在BF上运动时，∠PBD＝135º，理由：

如图③，过点D作DG上BC,交CB的延长线于点G，易证：

△APF≌△PDG，∴AF＝PG,PF＝DG．又∵AF＝BF，∴PG＝BF，∵BG＝PF＝DG．∴△BDG是等腰直角三角形，∴∠GBD＝45º，∴∠PBD＝135º.

②如图:

D，点D运动的路径是从点D到点E，当点P在点C时，设AD交BC于F，∵△APD与△ABC都是等腰直角三角形，∴AD⊥BC．当点P运动到点B时，由∠APD=90º得∠ABE=90º，∴∠ABC=45º，∴∠CBD=45º，∠EBD＝180º，∴E，B，D在同一直线上．∵△ADE是等腰直角三角形．AB＝2，∴ED=2AB=4，∴点D运动的路径长庋为4．

专题3等边三角形综合探究

1．（2017秋·青山区期末）已知△ABC是等边三角形，过点C作CD‖AB，且CD=AB，连接BD交AC于点O．

（1）如图①，求证：

AC垂直平分BD；

（2）点M在BC的延长线上，点N在AC上，且ND=NM，连接BN，

①如图②，点N在线段CO上，求∠NMD的度数；

②如图③，点N在线段AO上，求证：

NA=MC．

【解析】

（1）△ABC是等边三角形，∠ABC=∠ACB=∠CAB=60º．AB∥CD，∠ACD=∠A=60º=∠ACB，又CD=AB=BC，∵BO=DO,CO⊥BD，∴AC垂直平分BD.

（2）①如图②，由①知AC垂直平分BD，NB=ND,∠CBD=

∠ABC=30º.∴∠1=∠2，

∴∠BND=180º-2∠2．

∵ND=NM，∴NB=NM，∴∠3=∠4,∠BNM=180º-2∠4，∴∠DNM=360°-（180°-2∠2）一（180°-2∠4）=2（∠2＋∠4）=60°,又∵ND=NM，∴△NMD为等边三角形，∴∠NMD=60°.

②连接AD．如图，由题意知，△ACD是等边三角形，∴∠ADC=60°,AD=CD．与①同理可证∠1=∠2，

∠3=∠NBM，∠BND=180°-2∠2,∠BNM=180°-2∠NBM，∴∠MND=∠BND-∠BNM=2（∠NBM-∠2）=60°．

∵ND=NM，∴△MND是等边三角形．∴DN=DM,∠NDM一60°,∠ADC一∠NDM，

∴∠NDA=∠MDC.在△AND与∠CMD中，DN=DM，∠NDA=∠MDC,AD=DC，∴△AND≌△CMD（SAS）,∴NA=MC.

2．（2017秋·东湖高新区期末模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=900，∠ABC=300，△CDE是等边三角形，点D在边AB上．

（1）如图①，当点E在边BC上时，求证：

DE=EB；

（2）如图②，当点E在△ABC内部时，猜想ED和EB的数量关系，并加以证明；

（3）如图③，当点E在△ABC外部时，EH上。

气B于点H，过点E作GE∥AB，交线段AC的延长线于点G，AG=5CG，BH=3．求CG的长．

【解析】

（1）∵△CDE是等边三角形，∴∠CED=60°，∴∠EDB=60°-∠B=30°，∴∠EDB=∠B，∴DE=EB.

（2）ED=EB．理由如下：

取AB的中点0，连接CO,EO．∵∠ACB=90°,∠ABC=30°，∴∠A一60°,OC=OA.

，∴△ACO为等边三角形，∴CA=CO．∵△CDE是等边三角形，∴∠ACO=∠DCE，∴∠ACD=∠OCE．

在△ACD和△OCE中，CA=CO,∠ACD=∠OCE，CD=CE，∴△ACDcn△OCE（SAS），

∴∠COE=∠A=60°,∴∠BOE=60°.在△COE和△BOE中，OC=OB,∠COE=∠BOE,OE=OE，

∴△COE≌△BOE（SAS）,∴EC=EB,∴ED=EB.

（3）取AB的中点0，连接CO,EO,EB，由

（2）得△ACD≌△OCF,，∴∠COE=∠A=600，∴∠BOE=60°.

易证△COE≌△BOE（SAS），∴EC=EB，∴ED=EB.∵EH⊥AB，∴DH=BH=3.∵GE‖AB，∴∠G=180°-∠A=120°.在△CEG和△DCO中，∠G=∠COD,∠GEC=∠OCD（易证），CE=CD，∴△CEG≌△DCO（AAS），

∴CG=OD.设CG=a，则AG=5a,OD=a，∴AC=OC=4a，∵OC=OB，∴4a=a＋3＋3，

解得a=2,即CG=2．

专题4代几综合

1．（2017秋·东湖高新区期中）如图①，在平面直角坐标系中，A，B坐标分别为（6，O），（O，6），P为线段AB上的一点．

（1）如图①，若S△AOP＝12，求点P的坐标；

（2）如图②，若P为AB的中点，点M，N分别是OA，OB边上的动点，点M从顶点A，点N从顶点O同时出发，且它们的速度都为1cm/s，则在M，N运动的过程中，线段PM，PN之间有何关系？

并证明；

（3）如图③，若P为线段AB上异于A，B的任意一点，过点B作BD⊥OP，分别交OP，OA于F，D两点，E

为OA上一点，且∠PEA=∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由．

【解析】

（1）P（2，4）．

（2）结论：

PM=PN,PM⊥PN,如图②，连接OP．由题意易证△PON≌△PAM（SAS），

∴PN＝PM,∠OPN=∠APM，∴∠NPM＝∠OPA＝90°，∴PM⊥PN,PM＝PN.

（3）结论：

OD＝AE．理由：

如图③，作AG⊥x轴交OP的延长线于G．∵BD⊥OP，∴∠OAG=∠BOD=∠OFD＝90°

∠ODF＋∠AOG＝90°,∠ODF＋∠OBD＝90°，∴∠AOG=∠DBO．又∵OB=OA,∠BOD＝∠OAC，∴△DBO≌△GOA（ASA），∴OD＝AG,∠BDO＝∠G．∵∠BDO＝∠PEA，∴∠G=∠AEP．∵∠PAE＝∠PAG＝45°,PA＝PA，

∴△PAE≌△PAG（SAS），∴AE＝AG．又∵AG＝OD，∴OD=AE.

2．已知，等腰直角△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①，点A（O，2），点B（-6，O），点C在第四象限．

（1）点C的坐标为；

（2）如图②，若AC交x轴于M，BC交y轴于D，E是AC上一点，且CE＝AM，连接DE，求证:

AD＋DE=BM；

（3）如图③，在y轴上取点F（0，-6），点H是y轴上F下方任一点，作HG⊥BH交射线CF于G，在点H位置变化的过程中，

是否为定值？

若是，求其值；若不是，说明理由．

【解析】

（1）（2,-4）

（2）如图②，作CK⊥AC交x轴于K．易知∠ABM＝∠CAK.∵∠BAM=∠ACK＝90°,AB＝AC,

∠ABM=∠CAK，∴△ABM≌△CAK（ASA），∴AM＝CK,BM=AK．∵CE=AM，∵CE=CK.

∵∠DCE＝∠DCK,DC=DC，∴△CDE≌△CDK，∴DE=DK，∴AD＋DE＝AD＋DK＝AK=BM.

（3）结论：

=1．理由：

如图③，作AI⊥AF交FB的延长线于I，作HJ⊥BF于J,HK⊥GF于K,∵B（-6,O）,F（0,-6），∴OB＝OF，∴△BOF是等腰直角三角形，∴∠AFB＝45°,∵AI⊥AF，∴∠I＝∠AFI＝45°，

∴AI=AF.∵∠BAC＝∠IAF=90°，∴∠IAB＝∠FAC．∴AI＝AF,AB＝AC，∴△AIB≌△AFC,∴∠CFA＝∠I一45°，

∴∠BFC＝90°,∴∠GFH一∠HFJ＝45°∴∠BFG一∠BHG＝90°∴∠HBF＝∠HGF，

易证△HJB≌△HKG（AAS），∴BH＝GH,

=1

3．（2017秋·洪山区期中）在平面直角坐标系xOy中，直线AB交y轴于点A，交x轴于点B，A（0，6），B（6，O）．点D是线段BO上一点，BN⊥AD交AD的延长线于点N．

（1）如图①，若OM∥BN交AD于点M．过点0作OG⊥BN，交BN的延长线于点G，求证：

AM＝BG；

（2）如图②，若∠ADO=67.5°,OM‖BN交AD于点M，交AB于点Q，求

的值；

（3）如图③，若OC∥AB交BN的延长线于点C．请证明：

∠CDN＋2∠BDN＝180º．

【解析】

（1）如图①，∵BN⊥AN，OM∥BG，∴OM⊥AN,∴∠AMO=∠ANB=∠AOD＝90°,∵∠ADO＝∠BDN，

∴∠OAD＝∠DBN,∵A（0,6）,B（6,O），∴OA=OB．∵OG⊥BG，∴∠OGB=∠OMA＝90°，

∴△AOM≌△BOG，∴AM＝BG.

（2）如图②，作BH⊥OQ交OQ的延长线于H.

∵∠ADO＝67.5∴∠BOH=∠OAM=22.5°.∵OA=OB,∠AMO＝∠H＝90°，∴△OAM≌△BOH，∴OM=BH,

AM=OH．∵AN⊥OH,OH⊥BH，∴AN∥BH，∴∠ADO＝∠OBH＝67.5°．∵∠OBA=45°,

∴∠HBQ＝∠DOM＝22.5°.∵∠OMD＝∠H＝90°，∴△OMD≌△BHQ．∴DM＝QH．∴AD-OQ＝AM＋DM-（OH-HQ）＝2DM，∴

（3）如图

，作OE平分∠AOB交AD于E．∵OC∥AB，∴∠COB一∠ABO一∠AOE＝45°,∵OA=OB，

∠0AE＝∠OBC，∴△AOE≌△BOC，∴OE=OC，又∵∠EOD＝∠DOC,OD＝OD，∴△ODE≌△ODC（SAS），

∴∠ODE=∠0DC.∵∠ODE=∠BDN，∴∠ODC＝∠BDN．∵∠CDN＋∠0DC＋∠BDN=180°，∴∠CDN＋2∠BDN＝180°.