清华大学算法分析与设计 课件 第08讲shortestpaths.docx
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清华大学算法分析与设计课件第08讲shortestpaths
Le
cture8.shortest-paths
⏹Background
⏹Tofindashortestroutefromonecitytoanother
⏹Tofindaleasttimeroutefromoneplacetotheothers
⏹工作流中的最短完成时间？
⏹Anymore?
清华大学1
Problemanditsvariants
⏹Single-Sourceshortest-path
⏹Single-Destinationshortest-path
⏹Single-pairshortest-path
⏹All-pairsshortest-paths
清华大学3
Optimalsubstructureofashortestpath
⏹Shortest-pathsalgorithmstypicallyrelyonthepropertythatashortestpathbetweentwoverticescontainsothershortestpathswithinit.
⏹ConditionsforapplyingtheDynamicprogrammingandgreedymethod:
⏹Optimalsubstructure.
清华大学4
Le
mma24.1.
⏹Subpathsofshortestpathsareshortestpaths
⏹Proof.Usingmethodofcutandpatse
清华大学5
Negativeweightedges
⏹Mostoftheinstanceoftheproblemsarealloftheedgesarenonnegativeweight
⏹Someoftheinstanceoftheproblemshavenegativeweightedges
⏹Negativecycles:
thenegativeinfinitivelength
清华大学6
3－1
0511－∞
－∞－∞
清华大学7
Cycles
⏹Canashortestpathcontainscycles:
⏹Case1.PositiveCycles:
neveroccurs
⏹Case2.NegativeCycles:
-∞
⏹Case3.zeroCycles:
removable
清华大学9
Representingshortestpaths
⏹Usingpredecessorlabelcangettheresult.
⏹LetG=（V,E）beagraph
⏹π:
V⓪V∪{null}
⏹Shortest-pathstreerootedatsisadirectedsubgraphG’=（V’,E’）ofG.
⏹V’isthesetofverticesreachablefromsinG
⏹G’formsarootedtreewithrootsand
⏹Forallv∈V’,theuniquesimplepathfromstovinG’
isashortestpathfromstovinG
清华大学10
Relaxation
⏹Weusingthetechniqueofrelaxation:
⏹Letd[v]beashortest-pathofestimate,itmustbegreatthanorequaltoitsrealdistanceofvfroms,thesource.
⏹Initialize-Single-Source（G,s）
1.Foreachvertexv∈V[G]
1.d[v]=∞
2.π[v]=null
2.d[s]=0
清华大学14
Somecommentsonrelaxation
⏹松弛什么？
⏹Relaxtheconstrainoftriangleinequality
清华大学16
Relax
⏹Relax（u,v,w）
1.Ifd[v]>d[u]+w（u,v）
1.d[v]⓪d[u]+w（u,v）
2.π[v]⓪u
清华大学17
Propertiesandrelaxation
1.Triangleinequality:
forany（u,v）∈Ewehave
δ（s,v）≤δ（s,u）+w（u,v）
2.Upperboundproperty:
wealwayshaved[v]≥
δ（s,v）forallverticesv∈V,andonced[v]achievesthevalueδ（s,v）,itneverchanges
3.Nopathproperty:
ifthereisnopathfromstov,wealwayshaved[v]=δ（s,v）=∞
清华大学18
Properties
4.Convergenceproperty:
ifp=isashortestpathinGforsomeu,v∈V,andifd[u]=δ（s,u）atanytimepriortorelaxingedge（u,v）,thend[v]=δ（s,v）atalltimeafterward
5.Pathrelaxationproperty:
ifp=isashortestpathfromv0=stovk,andtheedgesinparerelaxedintheorder（v0,v1）,（v1,v2）,…（vk-1,vk）,thend[vk]=δ（s,vk）.Thispropertyholdsregardlessofanyotherrelaxationstepsthatoccurs.
清华大学19
Properties:
6.Predecessor-subgraphproperty:
Onced[v]=
δ（s,v）forallvinV,thepredecessorsubgraphisashortest-pathstreerootedats.
清华大学20
Bellman-Fordalgorithm
⏹Bellman-Ford（G,w,s）
1.Initialize-Single-Source（G,s）
2.Fori⓪1to|V[G]|-1
1.Foreachedge（u,v）∈E[G]
1.Relax（u,v,w）
3.Foreachedge（u,v）∈E[G]
1.Ifd[v]>d[u]+w（u,v）returnfalse
4.Returntrue
清华大学
21
ThecorrectnessofBellman-Fordalgorithm
1.如果没有由s可达的负圈：
1.则再结束时，验证通过，且距离正确。
2.如果有由s可达的负圈：
1.设此圈为,若所有三角不等式成立，则与此负圈矛盾。
【】
清华大学29
Sidi
ngle-sourceshortestpathsinarectedacyclicgraph
⏹Dag-shortest-paths（G,w,s）
1.TopologicalsorttheverticesofG
2.Initialize-Single-Source（G,w,s）
3.Foreachvertexu,takenintopologicalorder
1.ForeachvinAdj[u]
1.Relax（u,v,w）
清华大学30
Dag’sShortest-paths
∞
0
∞
∞
∞
∞
清华大学
31
Dijkstra’sAlgorithm
⏹Itsolvestheproblemofnonnegativeweightedgraph’sshortest-paths
⏹ItsmaintrickistomaintainasetSofverticeswhosefinalshortest-pathweightsfromthesourceshavealreadybeendetermined.
清华大学32
⏹Dijkstra（G,w,s）
1.Initialize-SingleSource（G,s）
2.S⓪φ
3.Q⓪V[G]
4.WhileQ!
=φ
1.u⓪Q.extractMin（）
2.S⓪SU{u}
3.ForeachvertexvinAdj[u]
1.Relax（u,v,w）
清华大学33
Complexanalysis
⏹
TheMaintainingofMinimumQueuebycalling:
1.
Insert
2.
Extract
3.
Decreasekey
4.
Usingaggregateanalysis,wehaveO（（V+E）lgV）
5.
ByusingFibonacciheap,therunningtimeisO（Vlg
V+E）,byreducingtheamortizedcostof
decreasingkeyoperations
清华大学
38
ApplicationofShortestpaths
⏹图像缝合问题：
⏹Linearprogrammingwithdifferenceconstraintscanbeequivalentlyconvertedtoaproblemofshortestpathofagraph.【可行解问题】
清华大学39
Thelinearprogrammingproblem
⏹Object:
∑ni=1cixisubjectto
⏹xj-xi≤bkfori,jin{1,2,…,n}
⏹Convertingtoagraph!
如何找到可行解！
⏹nverticesrepresentthenvariablesplusanartificialvertexv0,
⏹xj-xi≤bkmeanstoaddanedge（i,j）withweightbk
⏹ConstraintsconverttotheEdgesbetweentheverticesandplusartificialedges（v0,v1）,…,（v0,vn）
⏹X=（d（v0,v1）,d（v0,v2）,…,d（v0,vn）,）isafeasible
solutionofthelinearprogrammingproblem
清华大学40
所有
点之间的最短路径
⏹动态规划方法：
⏹最优解结构：
⏹设l（k）ij为最多包含k条边的从顶点i到顶点j的最短路径的距离，如果没有这样的路径，则距离定义为∞，于是
⏹l（0）0ifi＝j,∞otherwise
ij＝
⏹l
（1）w（i,j）,whatisw?
ij＝
⏹l（m）ij＝min（l（m-1）ij,p（m）ij）
⏹p（m）ij＝mink=1,n（l（m-1）ik+w（k,j））
⏹l（m）min（l（m-1）+w（k,j））Why?
ij＝k=1,nik
清华大学41
π（k）
ij—每个顶点每条路径的前驱
⏹π（k）
ij=?
如何计算
⏹与上面计算相关！
清华大学42
问题
的解
⏹什么是δ（i,j）,Weclaim:
⏹δ（i,j）=l（n-1）ij=l（n）ij=l（n+1）（n+2）
ij=lij
⏹为什么？
清华大学43
算法1
1.L＝W；
2.Fori＝1，n
1.L＝Extended-Shortest-Paths（L,W）
清华大学45
Floyd-Warshallalgorithm
⏹动态规划方法：
⏹最优解结构：
⏹设d（k）ij为最多包含k个中间点的顶点i到顶点j的最短路径的距离，如果没有这样的路径，则距离定义为∞，于是
⏹d（0）ij＝w（i,j）,
⏹π（0）ij=nullifthereisnoedge（i,j）,elseitisi.
⏹d（m）ij＝min（d（m-1）ij,d（m-1）im+d（m-1）mj）Why?
⏹如何计算π（k）,从i到j最多包含k个中间点的最短路径中j的
ij
父节点？
⏹由π（n）计算最短路径。
ij
⏹复杂度：
O（V3）
清华大学48
Johnson算法
⏹针对稀疏矩阵，Johnson提出一种更为有效的算法。
⏹引理25.1改变加权函数不改变最短路径：
⏹设：
h:
E⓪R
⏹定义：
wˆ（u,v）=w（u,v）+h（u）-h（v）
⏹设p＝是从v0到vk的任意路径，则p是从v0到vk的在权W下的最短路径的充要条件是：
从v0到vk的在权wˆ的最短路径，G在权W下有负回路的充要
条件是G在权wˆ有负回路。
清华大学49
W下
W下
⏹
Johnson（G）
1.
计算G’
1.V[G’]=V[G]U{s}
2.
2.E[G’]=E[G]U{（s,v）:
vinV[G],且w（s,v）=0}
如果Bellman-Ford（G’,w,s）==flase
1.Print图有负回路，returnnull;
Foreach（u,v）inE[G’]
1.w’（u,v）=w（u,v）+δ（s,u）-δ（s,v）
ForeachuinV[G’]
1.Dijkstra（G,w’,u）得到δ’（u,v），对所有v属于V[G]
2.对所有v属于V[G]
3.
4.
1.duv=δ’（u,v）-δ（s,u）+δ（s,v）
5.ReturnD=（duv）n×n
清华大学
52
复杂性分析
1.计算G’:
O（V+E）
2.Bellman-Ford算法:
O（VE）
3.O（E）
4.O（V*Dijkstra算法复杂性）＝O（V*（VlgV+E））=O（V2lgV+VE）
清华大学53
总结
⏹单源最短路径问题
⏹方法：
贪婪：
Dijkstra；BellmanFord
⏹关键点：
松弛
⏹应用：
最优化问题、图像处理、
⏹多源最短路径问题
⏹动态规划问题：
不同子空间设立
⏹群论及其应用
⏹问题转换
清华大学
54
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