北师版九年级数学上册第1章 特殊平行四边形中的旋转最值动点问题专题训练含答案.docx

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北师版九年级数学上册第1章特殊平行四边形中的旋转最值动点问题专题训练含答案

北师版数学九年级上册第1章

特殊平行四边形中的旋转、最值、动点问题

专题训练

一、旋转问题

1．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（）

A．矩形B．菱形C．正方形D．以上都不对

2．如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A，B重合），连接PD，将线段PD绕点P顺时针旋转90°得线段PE，连接BE，则∠CBE等于.

3．如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝度．

4．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°<α<90°）．若∠1＝110°，则∠α＝.

5.如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D.

（1）求证：

BE＝CF；

（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．

6.已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G，E分别在线段AD，AB上．

（1）如图①，连接DF，BF，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，则下列说法“在旋转过程中线段DF与BF的长始终相等”是否正确？

若正确，请说明理由；如不正确，请举反例说明；

（2）如图②，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段与DG始终相等，并以图为例说明理由．

二、最值问题

7．如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（）

A．2B．4

C．6D．89．

8.如图，在菱形ABCD中，AC＝6

，BD＝6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE＋PM的最小值是（）

A．6B．3

C．2

D．4.5

9.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，矩形内部有一动点P满足S△PAB＝

S矩形ABCD，则点P到A，B两点的距离之和PA＋PB的最小值为_____________.

10．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为.

三、动点问题

11.如图①，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图②是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（）

A.

B．2

C.

D．2

12.如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P是边AB或边BC上的一动点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为____________

13．在矩形ABCD中，AD＝32cm，AB＝24cm，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q.若P从点A出发，以1cm/s的速度向D运动，设点P的运动时间为ts，则当t＝____________时，以点P和点Q以及点A，B，C，D中的两个点为顶点的四边形是菱形．

14.如图，M，N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是.

15.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点，点F在AD上运动，沿直线EF折叠四边形CDFE，得到四边形GHFE，其中点C落在点G处，连接AG，AH，则AG的最小值是.

16．菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，

），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2018秒时，点P的坐标为．

17．菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，点E（0，－1），当EP＋BP最短时，点P的坐标为．

18．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，P，Q分别是AB，AC上的动点，且满足BP＝AQ，D是BC的中点，连接AD，PD，PQ，DQ.

（1）求证：

△PDQ是等腰直角三角形；

（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形？

请说明理由．

19．如图，正方形ABCD的边长为8cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.

（1）求证：

四边形EFGH是正方形；

（2）判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．

20．如图①，四边形ABCD是正方形，G是CD边上一动点（点G与C，D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE.

（1）试探究线段BG，DE之间存在怎样的关系并证明你的结论；

（2）将图①中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图②、③所示的情形，

（1）中的结论是否仍成立？

若成立，选择任意一种情形给出证明；若不成立，请说明理由．

21．在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为点O.

（1）如图①，连接AF，CE.试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长；

（2）如图②，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为5cm/s，点Q的速度为4cm/s，运动时间为ts，当以A，P，C，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB上一动点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为点F，连接CD，BE.

（1）求证：

CE＝AD；

（2）当D运动到AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？

说明你的理由；

（3）若D运动到AB的中点，则∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？

说明你的理由．

23.如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝20cm，BD＝12cm，两动点E，F同时以2cm/s的速度分别从点A，C出发在线段AC上相对运动，点E到点C，点F到点A时停止运动．

（1）求证：

当点E，F在运动过程中不与点O重合时，以点B，E，D，F为顶点的四边形为平行四边形；

（2）当点E，F的运动时间t为何值时，四边形BEDF为矩形？

24.已知点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为点E，F，点Q为斜边AB的中点．

（1）如图①，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系式是；

（2）如图②，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；

（3）如图③，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时

（2）中的结论是否成立？

请画出图形并给予证明．

参考答案：

一、旋转问题

1.A2.45°3.1354.20°

5.解：

（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，∴AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，∴∠EAF＋∠BAF＝∠BAC＋∠BAF，即∠EAB＝∠FAC，∴△AEB≌△AFC，∴BE＝CF　

（2）∵四边形ACDE为菱形，AB＝AC＝1，∴DE＝AE＝AC＝AB＝1，AC∥DE，∴∠AEB＝∠ABE，∠ABE＝∠BAC＝45°，∴∠AEB＝∠ABE＝45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE＝

AC＝

，∴BD＝BE－DE＝

－1

6.解：

（1）根据图形的对称性，本来DF和BF相等，但是“在正方形AEFG绕点A旋转的过程中，线段DF与BF始终相等”不正确．例如，当点F旋转到AB上时，BF最短（小于AB），而这时DF大于AD，即DF大于BF

（2）可以找到一条线段BE与DG始终相等．理由如下：

如图②，连接BE.在正方形ABCD和正方形AEFG中，AE＝AG，AD＝AB，且∠DAB＝∠GAE＝90°，∴∠DAB－∠GAB＝∠GAE－∠GAB，即∠DAG＝∠BAE.∴△ADG绕点A顺时针旋转90°后能和△ABE重合．∴DG＝BE

二、最值问题

7.B8.C9.4

10.2.4

三、动点问题

11.C12.（8，4）或（

，7）13.7或2514.3

－315.216.（

，

）17.（2

－3，2－

）

18.解：

（1）证明：

∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝AD＝DC，∠B＝∠DAQ.

又∵BP＝AQ，∴△BPD≌△AQD，∴PD＝QD，∠BDP＝∠ADQ.

∵∠BDP＋∠ADP＝90°，∴∠ADQ＋∠ADP＝∠PDQ＝90°，∴△PDQ是等腰直角三角形

（2）当点P运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形．

理由：

由

（1）知△ABD为等腰直角三角形．

当点P运动到AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD＝90°.

又∵∠BAC＝90°，∠PDQ＝90°，∴四边形APDQ为矩形．

又∵DP＝AP＝

AB，∴矩形APDQ是正方形

19.解：

（1）如图，∵四边形ABCD为正方形，

∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，

AB＝BC＝CD＝AD，

∵AE＝BF＝CG＝DH，

∴BE＝CF＝DG＝AH，

∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，

∴EH＝EF＝FG＝GH，∠1＝∠2，

∴四边形EFGH为菱形，

∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2，

∴∠2＋∠3＝90°，∴∠HEF＝90°，

∴菱形EFGH为正方形　

（2）直线EG经过一个定点．理由如下：

如图，连接BD，DE，BG，EG.EG与BD交于点O.

∵BE平行且等于DG，

∴四边形BGDE为平行四边形，

∴BD，EG互相平分，∴BO＝OD，

∴点O为正方形的角平分线的交点，

∴直线EG必过正方形角平分线的交点

20.解：

（1）BG＝DE，BG⊥DE，证明如下：

延长BG交DE于点H，

∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，

∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°，

∴△BCG≌△DCE（SAS），

∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE.

又∠CBG＋∠BGC＝90°，∴∠CDE＋∠DGH＝90°，

∴∠DHG＝90°，∴BH⊥DE，即BG⊥DE

（2）仍然成立，选图②证明，证明如下：

设BG分别与CD，DE交于点H，O，

∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，

∴BC＝CD，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°，

∴∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS），

∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE.

又∵∠BHC＝∠DHO，∠CBG＋∠BHC＝90°，

∴∠CDE＋∠DHO＝90°，∴∠DOH＝90°，

∴BG⊥DE

21.解：

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠CAD＝∠ACB，∠AEF＝∠CFE.

∵EF垂直平分AC，垂足为点O，∴OA＝OC，

∴△AOE≌△COF.

∴OE＝OF，

∴四边形AFCE为平行四边形．

又∵EF⊥AC，

∴▱AFCE为菱形．

设AF＝CF＝xcm，则BF＝（8－x）cm，

在Rt△ABF中，AB＝4cm，

由勾股定理得42＋（8－x）2＝x2，解得x＝5，

∴AF＝5cm　

（2）显然，当P点在AF上，Q点在CD上时，A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；

同理：

P点在AB上，Q点在DE或CE上时，也不可能构成平行四边形．

因此只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，如图，连接AP，CQ，则以A，P，C，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，此时PC＝QA.∵点P的速度为5cm/s，点Q的速度为4cm/s，运动时间为ts，

∴PC＝5tcm，QA＝（12－4t）cm.

∴5t＝12－4t，解得t＝

.

∴以A，P，C，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t＝

22.解：

（1）证明：

∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE.∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD

（2）四边形BECD是菱形，理由：

∵D为AB的中点，∴AD＝BD.∵CE＝AD，∴BD＝CE.∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形．∵DE⊥BC，∴四边形BECD是菱形

（3）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由：

∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°.∵四边形BECD是菱形，∴∠DBE＝2∠ABC＝90°，∴菱形BECD是正方形．故当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形

23.解：

（1）证明：

连接DE，EB，BF，FD.

∵两动点E，F同时以2cm/s的速度分别从点A，C出发在线段AC上相对运动，

∴AE＝CF.

∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，

∴OD＝OB，OA＝OC（平行四边形的对角线互相平分），

∴OA－AE＝OC－CF或AE－OA＝CF－OC，即OE＝OF，

∴四边形BEDF为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），

即以点B，E，D，F为顶点的四边形是平行四边形．

（2）当点E在OA上，点F在OC上，EF＝BD＝12cm时，四边形BEDF为矩形．

∵运动时间为t，

∴AE＝CF＝2t，

∴EF＝20－4t＝12，

∴t＝2；

当点E在OC上，点F在OA上时，

EF＝BD＝12cm，EF＝4t－20＝12，

∴t＝8.

因此，当点E，F的运动时间t为2s或8s时，四边形BEDF为矩形．

24.解：

（1）AE∥BF，QE＝QF

（2）QE＝QF.证明：

延长FQ交AE于点D，∵AE∥BF，∴∠QAD＝∠QBF，又∵∠BQF＝∠AQD，BQ＝AQ，∴△FBQ≌△DAQ（ASA），∴QF＝QD，∵AE⊥CP，∴EQ是Rt△DEF斜边上的中线，∴QE＝QF＝QD，即QE＝QF　

（3）

（2）中的结论仍然成立，

图形如图所示，证明：

如图，当点P在BA延长线上时，延长EQ与FB的延长线交于点D，∵AE∥BF，∴∠AEQ＝∠D，又∵∠AQE＝∠BQD，AQ＝BQ，∴△AQE≌△BQD（AAS），∴QE＝QD，∵BF⊥CP，∴FQ是Rt△DEF斜边DE上的中线，∴QE＝QF