北师版数学9年级下考点27 平行四边形.docx

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北师版数学9年级下考点27平行四边形

考点27平行四边形

一、选择题

1.（2015·河南中考）如图，在□ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【解析】设AE与BF交于点O.

由题意知AF=AB，∠BAE=∠FAE，

∴AE⊥BF，OB=

BF=3.

在Rt△AOB中，AO=

.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.

∴∠FAE=∠BEA，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE，∴AE=2AO=8.故选C.

2.（2015·常州中考）如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（）

A．AO＝OD　　B．AO⊥OD　　C．AO＝OC　　D．AO⊥AB

【答案】C

【解析】由平行四边形的对角线互相平分可知点O是AC的中点，所以选项C正确，故选

择C．

3.（2015·本溪中考）如图，□ABCD的周长为20cm，AE平分∠BAD，若CE=2cm，则AB的长度是（　　）

A．10cmB．8cmC．6cmD．4cm

【答案】D

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，设AB=CD=xcm，则AD=BC=（x+2）cm，∵□ABCD的周长为20cm，∴x+x+2=10，解得x=4，即AB=4cm，故选D.

4.（2015·衢州中考）如图，在□ABCD中，AD=12cm，AB=8cm，AE平分∠BAD交边BC于点E，则CE的长等于（）

A．8cmB．6cmC．4cmD．2cm

【答案】C

【解析】在□ABCD中，AD＝BC＝12cm，AD∥BC，且AB＝8cm.∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA，又由题意知∠DAE＝∠BAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴BE＝AB＝8cm，∴CE＝BC－BE＝12－8＝4（cm），故选C.

5.（2015·宁波中考）如图，□ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（）

A.BE=DFB.BF=DEC.AE=CFD.∠1=∠2

【答案】C

【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD,∠ABE=∠CDF,

若BE=DF，可由SAS判定△ABE≌△CDF；若BF=DE，则BE=DF，可由SAS判定△ABE≌△CDF；若AE=CF，是SSA,不能判定△ABE≌△CDF；若∠1=∠2，可由ASA判定△ABE≌△CDF，故选择C.

6.（2015·营口中考）平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，

则

是（）

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC=42°，又因为∠COD=∠ACB+∠CBD=42°+23°=65°，故选C.

7.（2015·四川中考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（）

A．6B．12C．20D．24

【答案】D

【解析】∵∠CBD=90°，∴

，又∵AC=10，∴AE=CE=5，∴AC与BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∴

．故选择D.

8.（2015·三明中考）如图，在□ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是（　　）

A．AB∥CDB．AB=CDC．AC=BDD．OA=OC

【答案】C

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，OA=OC，但是AC和BD不一定相等，故选C．

9.（2015·广州中考）下列命题中，真命题的个数有（）

①对角线互相平分的四边形是平行四边形

②两组对角分别相等的四边形是平行四边形

③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

A．3个B．2个C．1个D．0个

【答案】B

【解析】由平行四边形判定方法知①②是真命题；如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，但这个四边形不是平行四边形，故③是假命题．故选B．

10.（2015·玉林防城港市中考）如图，在□ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC=2，□ABCD的周长是14，则DM等于（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【解析】∵在□ABCD中，BM是∠ABC的平分线，∴∠CBM=∠CMB=∠ABM，

∴MC=BC=2，∵□ABCD的周长是14，∴AB=CD=5，∴DM=3，故选C.

二、填空题

1.（2015·襄阳中考）在□ABCD中，AD＝BD，BE是AD边上的高，∠EBD＝20°，则∠A的度数为.

【答案】55°或35°

【解析】本题与□ABCD无关，可以将本题修改为：

在△ABD中，AD＝BD，BE是AD边上的高，∠EBD＝20°，求∠A的度数.

其实质为：

已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，求等腰三角形底角的度数.

因此，本题分两种情况讨论：

如图①，当BE在△ABD的内部时，∠1＝90°－∠EBD＝90°－20°＝70°.

∴∠A＝∠ABD＝

（180°－∠1）＝55°.

如图②，当BE在△ABD的外部时，∠1＝90°＋∠EBD＝90°＋20°＝110°.

∴∠A＝∠ABD＝

（180°－∠1）＝35°.

故答案为55°或35°.

2.（2015·邵阳中考）如图，在□ABCD中，E，F为对角线AC上的两点，且BE∥DF，请从图中找出一对全等三角形：

________________________．

【答案】△ABC≌△CDA或△ADF≌△CBE或△ABE≌△CDF

【解析】在□ABCD中，AD=BC，AB=CD，∠ADC=∠CBA，∴△ABC≌△CDA（SAS）；在□ABCD中，CD=AB且CD∥AB，∴∠DCF=∠BAE．又∵BE∥DF，∴∠CFD=∠AEB，∴△ABE≌△CDF（AAS）；类似还可证明△ADF≌△CBE．故答案为△ABC≌△CDA或△ADF≌△CBE或△ABE≌△CDF．

3.（2015·赤峰中考）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是DC上一点，连接BE并延长交AD延长线于点F，请你只添加一个条件：

使得四边形BDFC为平行四边形．

【答案】答案不唯一，如：

BD∥FC，BC=DF，DE=CE

【解析】因为四边形ABCD中，AD∥BC，根据平行四边形的判定定理，结合图形进行判定添加的条件：

BD∥FC或BC=DF或DE=CE.故答案不唯一，如：

BD∥FC，BC=DF，DE=CE.

4.（2015·大连中考）如图，在□ABCD中，AC，BD相交于点O，AB=10cm，AD=8cm，AC⊥BC，则OB=______cm．

【答案】

【解析】∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°.∵AB=10cm，AD=BC=8cm，∴

=6（cm）.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OC=

AC=3cm.

∴

（cm）.

5.（2015·成都中考）如图，在平行四边形ABCD中，

，AD=4，将平行四边形ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为__________．

【答案】3

【解析】点B恰好与点C重合，且四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=4，根据翻折的性质知AE⊥BC，BE=CE=2，在Rt△ABE中，由勾股定理得

，故答案为3．

6.（2015·曲靖中考）若平行四边形中两个内角度数比为1∶2，则其中较大的内角是___________度.

【答案】120

【解析】根据题意设两个相邻的内角度数分别为x°，2x°，则x+2x=180，解得x=60，则最大内角的度数等于120°，故答案为120.

7.（2015·汕尾中考）如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC，BC＝6，DE＝2，则□ABCD的周长等于　　．

【答案】20

【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE∥BC，AD＝BC＝6，∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∵DE＝2，∴AE＝AB＝4，∴□ABCD的周长＝2（4＋6）＝20．故答案为20．

8.（2015·梅州中考）如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则□ABCD的周长等于　　．

【答案】20

【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AE∥BC，AD=BC，AD=BC，

∴∠AEB=∠EBC，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠EBC，

∴∠ABE=∠AEB，

∴AB=AE，

∴AE+DE=AD=BC=6，

∴AE+2=6，

∴AE=4，

∴AB=CD=4，

∴□ABCD的周长=4+4+6+6=20．

故答案为20．

9.（2015·百色中考）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BC=9，AC=8，BD=14，则△AOD的周长为________.

【答案】20

【解析】在□ABCD中，BC=9，

∴AD=BC=9，

∵AC=8，BD=14，

∴OA=4，OD=7，

∴△AOD的周长为9+4+7=20.

故答案为20.

三、解答题

1.（2015·河北中考）嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图所示的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．

（1）在方框中填空，以补全已知和求证；

（2）按嘉淇的想法写出证明.

证明：

（3）用文字叙述所证命题的逆命题为．

解：

（1）CD；平行

（2）证明：

如图所示，连接BD，．

在△ABD和△CDB中，

∵AB＝CD，AD＝CB，BD＝DB，

∴△ABD≌△CDB.

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.

∴AB∥CD，AD∥CB.

∴四边形ABCD是平行四边形．

（3）平行四边形的对边相等．

2.（2015·哈尔滨中考）如图1，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.

（1）求证四边形EGFH是平

行四边形；

（2）如图2，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形（四边形AGHD除外）.

解：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠EAO＝∠FCO．

∵OA＝OC，∠AOE＝∠COF，

∴△OAE≌△OCF．∴OE=OF.

同理可证得△AOG≌△COH,即证得OG＝OH．

∴四边形EGFH是平行四边形．

（2）□GBCH，□ABFE，□EFCD，□EGFH．

3.（2015·黄冈中考）已知：

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，DF∥BE．求证：

四边形ABCD为平行四边形．

证明：

∵AB∥CD，

∴∠BAE＝∠DCF．

∵BE∥DF，

∴∠BEF＝∠DFE．

∴∠AEB＝∠CFD．

在△AEB和△CFD中，

∴△AEB≌△CFD．

∴AB＝CD．

又∵AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形．

4.（2015·武汉中考）如图，已知点A（－4，2），B（－1，－2），□ABCD的对角线交于坐标原点O．

（1）请直接写出点C，D的坐标；

（2）写出从线段AB到线段CD的变换过程；

（3）直接写出□ABCD的面积．

解：

如图所示，设AD,BC分别与y轴交于点E，F.

（1）∵□ABCD的对角线交于坐标原点O，

∴点C与点A、点D与点B分别关于原点中心对称，

∵点A（－4，2），B（－1，－2），∴点C的坐标为（4，-2），D的坐标为（1，2），

（2）∵□ABCD的对角线交于坐标原点O，

∴AB，CD关于原点中心对称，

∴AB绕点O旋转180°与CD重合.

（3）∵A（－4，2），B（－1，－2），∴EO=FO=2，EF=4，

∵B（－1，－2），C（4，－2），∴BC=

，

∴S□ABCD=

=5×4=20．

5.（2015·邵阳中考）如图，等边三角形ABC的边长是2，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=

BC，连接CD和EF．

（1）求证DE=CF；

（2）求EF的长．

证明：

（1）∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE=

BC，且DE∥BC．

∵点F在BC延长线上，且CF=

BC，∴DE∥CF，且DE=CF．∴四边形DCFE为平行四边形．

解：

（2）由

（1）知DE∥CF，且DE=CF，∵△ABC是等边三角形，边长是2，点D是AB中点，AB=BC=2，∴CD⊥AB，∠BDC=90°，BD=

AB=1，则CD=

=

=

，

由

（1）知四边形DCFE为平行四边形，∴EF=DC=

．

6.（2015·吉林中考）如图，在□ABCD中，AE⊥BC，交边BC于点E，点F为CD上一点，且DF＝BE．过点F作FG⊥CD，交边AD于点G．

求证：

DG＝DC．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D．

∵AE⊥BC，FG⊥CD，∴∠AEB＝∠GFD＝90°．

又∵DF＝BE，∴△ABE≌△GDF（ASA）．

∴AB＝DG，∴DG＝CD．

7.（2015·连云港中考）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E，

（1）求证：

∠EDB＝∠EBD；

（2）判断AF与DB是否平行，并说明理由.

证明：

（1）由折叠可知：

∠CDB＝∠EDB，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CDB＝∠EBD，∴∠EDB＝∠EBD．

解：

（2）AF∥DB．

∵∠EDB＝∠EBD，∴ED＝EB．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC．

由折叠可知DF＝DC，∴AB＝DF.

∵ED＝EB，∴EA＝EF，∴∠EAF＝∠EFA．

在△AEF中，∠EAF＋∠EFA＋∠AEF＝180°，即2∠EAF＋∠AEF＝180°，

同理，在△BDE中，即2∠EBD＋∠BED＝180°．

∵∠AEF＝∠BED，∴∠EAF＝∠EBD，∴AF∥DB．

8.（2015·常州中考）如图，在□ABCD中，∠BCD＝120°，分别延长DC，BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是正三角形．

（1）求证：

AE＝AF；

（2）求∠EAF的度数．

证明：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝120°，∠ABC＝∠ADC＝60°．

∵△BCE和△CDF都是正三角形，∴BC＝BE，CD＝DF，∠EBC＝∠CDF＝60°．

∴BE＝AD，AB＝DF，∠ABE＝∠ADF＝120°，∴△ABE≌△FDA，∴AE＝AF．

解：

（2）由

（1）知△ABE≌△FDA，∴∠BAE＝∠DFA，∵∠ADF＝120°，∴∠DAF＋∠DFA＝60°，∴∠DAF＋∠EAB＝60°，∴∠EAF＝∠BAD－（∠DAF＋∠EAB）＝60°．

9.（2015·南通中考）如图，在□ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．

（1）求证△AED≌△CFB；

（2）若∠A＝30°，∠DEB＝45°，求证DA＝DF．

证明：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝CB，∠A＝∠C，AD∥BC．

∴∠ADB＝∠CBD．

∵ED⊥DB，FB⊥BD，∴∠EDB＝∠FBD＝90°．

∴∠ADE＝∠CBF．

∴△AED≌△CFB．

（2）如下图，作DH⊥AB，垂足为H．

在Rt△ADH中，∠A＝30°，∴AD＝2DH．

在Rt△DEB中，∠DEB＝45°，∴EB＝2DH．

由题意易证四边形EBFD是平行四边形，∴FD＝EB．

∴DA＝DF．

10.（2015·扬州中考）如图，将□ABCD沿过点A的直线

折叠，使点D落到AB边上的

点

处，折痕

交CD边于点E，连接BE．

（1）求证：

四边形

是平行四边形；

（2）若BE平分∠ABC，求证：

．

证明：

（1）在□ABCD中，AB∥CD，∠D=∠ABC，

由折叠可知∠D=∠A

E=∠ABC.

∴E

∥BC，

∵AB∥CD，

∴四边形

是平行四边形．

（2）∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠D＇BE，

在□ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAB+∠CBD＇=180°，

∴∠EAB+∠EBD＇=

（∠DAB+∠CBD＇）=90°=∠AEB，

∴△AEB是直角三角形，

∴

.

11.（2015·宿迁中考）如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．

（1）求证：

四边形BDFC是平行四边形；

（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．

证明：

（1）∵∠A=∠ABC=90°，∴AF∥BC，∴∠CBE=∠DFE，∠BCE=∠FDE.

∵E是边CD的中点，∴CE=DE.

在△BCE和△FDE中，

∴△BCE≌△FDE（AAS），∴BE=EF.

∵CE=DE，∴四边形BDFC为平行四边形.

解：

（2）若△BCD是等腰三角形：

①若BD=BC,在Rt△ABD中，AB=

，

∴四边形BDFC的面积S=

；

②若BD=DC,过D作BC的垂线，则垂足为BC的中点，不可能；

③若BC=CD，过D作DG⊥BC，垂足为G，

在Rt△CDG中,DG=

，

∴四边形BDFC的面积S=3

.

综上所述，当△BCD是等腰三角形时，四边形BDFC的面积为6

或3

.

12.（2015·枣庄中考）如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于点O．

（1）求证：

BO＝DO；

（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AD的长．

证明：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC＝AB，DC∥AB．

∴∠ODF＝∠OBE．

在△ODF与△OBE中，

∴△ODF≌△OBE（AAS）．

∴BO＝DO．

解：

（2）∵BD⊥AD，

∴∠ADB＝90°．

∵∠A＝45°，

∴∠DBA＝∠A＝45°．

∵EF⊥AB，

∴∠G＝∠A＝45°．

∴△ODG是等腰直角三角形．

∵AB∥CD，EF⊥AB，

∴DF⊥OG．

∴OF＝FG，△DFG是等腰直角三角形．

∵△ODF≌△OBE，

∴OE＝OF．

∴GF＝OF＝OE，即2FG＝EF．

∵△DFG是等腰直角三角形，

∴DF＝FG＝1．

∴DG＝

．

∵AB∥CD，

∴

，即

．

∴AD＝

．

13.（2015·泰安中考）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC.

求证：

（1）DF=AE；

（2）DF⊥AC.

证明：

（1）延长DE交AB于点G，连接AD，∵ED∥BC，E是AC中点，∠ABC=90°，

∴AG=BG，DG⊥AB，∴AD=BD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=45°，∠BAD=45°，∠BDG=∠ADG=45°，∵四边形BCDE是平行四边形，∴ED=BC，又∵BF=BC，∴BF=DE，

∴△AED≌△DFB，∴AE=DF.

（2）由

（1）知△AED≌△DFB，∴∠AED=∠DFB，∴∠DFG=∠DEC，∵∠DFG与∠FDG互余，∴∠DEC与∠FDG互余，∴DF⊥AC.

14.（2015·菏泽中考）如图，已知∠ABC＝90°，D是直线AB上的点，AD＝BC．

（1）如图

（1），过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC，DF，CF，判断△CDF的形状并证明；

（2）如图

（2），E是直线BC上的一点，且CE＝BD，直线AE，CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？

若是，请求出它的度数，若不是，请说明理由．

解：

（1）△CDF是等腰直角三角形．理由如下：

如图（3），

（3）

∵∠ABC＝90°，AF⊥AB，

∴∠FAD＝∠DBC．

∵AD＝BC，AF＝BD，

∴△FAD≌△DBC．

∴FD＝DC，∠1＝∠2．

∵∠1＋∠3＝90°，

∴∠2＋∠3＝90°，即∠CDF＝90°．

∴△CDF是等腰直角三角形．

（2）如图（4），过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DF，CF．

∵∠ABC＝90°，AF⊥AB，

∴AF∥CE．

又∵BD＝CE，AF＝BD，

∴AF＝CE．

∴四边形AFCE是平行四边形．

∴FC∥AE．

∴∠APD＝∠FCD．

由

（1）知∠APD＝45°．

说明：

1．此处的辅助线也可以使用平移方法：

将线段CE沿EA方向移至AF的位置，连接FD，FC．

2.方法二：

将线段CE沿CD方向移至DF的位置，连接AF，EF．如图（5），通过证明四边形CDFE是平行四边形和△AFE是等腰直角三角形来进行证明．

3．方法三：

将线段AD沿AE方向移至EF的位置，连接CF，DF．如图（6），通过证明四边形ADFE是平行四边形和△CDF是等腰直角三角形来进行证明．

15.（2015·通辽中考）如图，在平行四边形ABCD中，若AB=6，AD=10，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长．

解：

如图，在□ABCD中，AB∥DC且AB=DC，AD∥BC且AD=BC，

∴∠1=∠F，

∵BF平分∠ABC，

∴∠1=∠2，

∴∠2=∠F，

∴BC=FC，∵AB=6，AD=10，

∴DF=FC－CD＝BC－AB＝10－6＝４，

∴DF=4.

16．（2015·大连中考）如图，在

ABCD中，点E，F在AC上，且∠ABE=∠CDF．

求证：

BE=DF．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA=DC，BA∥DC．∴∠BAE=∠DCF．

∵∠ABE=∠CDF，∴△ABE≌△CDF（ASA）．∴BE=DF.

17.（2015·宁德中考）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，三角形的三个顶点均落在格点上.

（1）以三角形的其中两边为边画一个平行四边形，并在顶点处标上字母A，B，C，D.

（2）求证四边形ABCD是平行四边形.

【考点解剖】本题考查了平行四边形作图，解题的关键是能通过分类讨论以不同的两边为邻边作出平行四边形．

【解析】

（1）分别以三角形任意两边为邻边画平行四边形；

（2）根据平行四边形的判定方法证明即可．

解：

（1）如图，分三种情况：

（2）在

（1）中，前两个图可以利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD是平行四边形；第三个图由勾股定理可以求出BC=AD=

，AB=CD=

，利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形可以证明四边形ABCD是平行四边形.

18.（2015·桂林中考）如图，在□ABCD中