高三月考数学文试题.docx
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高三月考数学文试题
2021年高三2月月考数学文试题
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）（xx•日照二模）设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，1，2}，B={﹣1，1}，则A∩（∁∪B）为（ ）
A．
{1，2}
B．
{1}
C．
{2}
D．
{﹣1，1}
考点：
交、并、补集的混合运算．
专题：
计算题．
分析：
首先利用补集的概念求出∁∪B，然后直接利用交集的运算进行求解．
解答：
解：
由U={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={﹣1，1}，则∁∪B={﹣2，0，2}，
又A={﹣1，1，2}，所以A∩（∁∪B）={﹣1，1，2}∩{﹣2，0，2}={2}．
故选C．
点评：
本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础的概念题，属会考题型．
2．（5分）设函数f（x）=3x+x，则函数f（x）存在零点的区间是（ ）
A．
[0，1]
B．
[1，2]
C．
[﹣2，﹣1]
D．
[﹣1，0]
考点：
函数零点的判定定理．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
利用函数零点的判定定理即可得出．
解答：
解：
∵函数f（x）=3x+x在R上单调递增，∴函数f（x）至多有一个零点．
∵f（0）=30+0=1＞0，f（﹣1）=3﹣1﹣1=＜0，∴f（0）f（﹣1）＜0，
由函数零点的判定定理可知：
函数f（x）在区间（﹣1，0）内存在零点，也是唯一的一个零点．
故选D．
点评：
正确理解函数零点的判定定理是解题的关键．
3．（5分）（xx•惠州模拟）已知向量=（2，﹣3），=（x，6），且，则|+|的值为（ ）
A．
B．
C．
5
D．
13
考点：
平行向量与共线向量；向量的模；平面向量的坐标运算．
专题：
平面向量及应用．
分析：
根据两个向量平行的坐标表示求出x的值，然后运用向量的坐标加法运算求出两个和向量的坐标，最后利用求模公式求模．
解答：
解：
由向量=（2，﹣3），=（x，6），且，
则2×6﹣（﹣3）x=0，解得：
x=﹣4．
所以，
则=（﹣2，3）．
所以=．
故选B．
点评：
本题考查了两个平行的坐标表示，考查了平面向量的坐标运算，考查了向量模的求法，是基础题．
4．（5分）若﹣个算法的程序框图如图，则输出的结果S为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
循环结构．
专题：
图表型．
分析：
i=1，满足条件i＜4，执行循环体，S=，依此类推，i=3，满足条件i＜4，执行循环体，S=++，当i=10，不满足条件i≤9，退出循环体，最后利用裂项求和法求出所求即可．
解答：
解：
i=1，满足条件i＜4，执行循环体，S=
i=2，满足条件i＜4，执行循环体，S=+
i=3，满足条件i＜4，执行循环体，S=++．
i=4，不满足条件i＜4，退出循环体，输出S=1﹣=．
故选C．
点评：
本题主要考查了当型循环结构，根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：
分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．
5．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象的两相邻对称轴之间的距离为，要得到y=f（x）的图象，只须把y=sinωx的图象（ ）
A．
向右平移个单位
B．
向右平移个单位
C．
向左平移个单位
D．
向左平移个单位
考点：
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：
计算题；三角函数的图像与性质．
分析：
由=可求得ω，利用三角函数的图象变化即可求得答案．
解答：
解：
∵=，
∴T==π，
∴ω=2，
∴y=sin2xy=sin2（x+）=sin（2x+）．
∴要得到y=f（x）=sin（2x+）的图象，只须把y=sin2x的图象向左平移个单位．
故选D．
点评：
本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，求得ω是关键，属于中档题．
6．（5分）已知数列{an}满足：
点（n，an）（n∈N*）都在曲线y=log2x的图象上，则a2+a4+a8+a16=（ ）
A．
．9
B．
10
C．
20
D．
30
考点：
等比数列的性质．
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
由题意可得an=log2n，利用对数的运算性质化简a2+a4+a8+a10=log22+log24+log28+log216，从而求得结果．
解答：
解：
由题意可得an=log2n，∴a2+a4+a8+a10=log22+log24+log28+log216=1+2+3++4=10，
故选B．
点评：
本题主要考查对数的运算法则、对数的运算性质，等比数列的性质，属于中档题．
7．（5分）对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：
（x1，y1），（x2，y2），…（xn，yn），则不正确的说法是（ ）
A．
若求得的回归方程为=0.9x﹣0.3，则变量y和x之间具有正的线性相关关系
B．
若这组样本擞据分别是（1，1），（2，1.5），（4，3），（5，4.5）则其回归方程=bx+a必过点（3，2.5）
C．
若同学甲根据这组数据得到的回归模型l的残差平方和为E1=0.8．同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和为E2=2.1，则模型1的拟合效果更好
D．
若用相关指数R2（R2=1﹣
）来刻画回归效果，回归模型3的相关指数R=0.32，回归模型4的相关指数R=0.91，则模型3的拟合效果更好
考点：
回归分析的初步应用．
专题：
阅读型．
分析：
根据求得的回归方程为=0.9x﹣0.3，中的斜率为正，得出变量y和x之间具有正的线性相关关系；线性回归方程一定过样本中心点；在一组模型中残差平方和越小，拟合效果越好，相关指数表示拟合效果的好坏，指数越小，相关性越强；相关指数R2用来衡量两个变量之间线性关系的强弱R2越接近于1，说明相关性越强，相反，相关性越小，命题可做判断．
解答：
解：
对于A：
根据求得的回归方程为=0.9x﹣0.3，中的斜率为正，得出变量y和x之间具有正的线性相关关系；故A正确，
对于B：
样本中心点在直线上，故B正确，
C：
残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故C正确，
D：
相关指数R2用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，R2越接近于1，说明相关性越强，相反，相关性越小，因此R2越大拟合效果越好，故D不正确，
故选D．
点评：
本题考查衡量两个变量之间相关关系的方法，要想知道两个变量之间的有关或无关的精确的可信程度，只有利用独立性检验的有关计算，才能做出判断．
8．（5分）已知，q：
x＞1，则p是q的（ ）
A．
充分不必要条件
B．
必要不充分条件
C．
充要条件
D．
既不充分也不必要条件
考点：
必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：
计算题．
分析：
解分式不等式，可得x＞1或x＜0，由集合{x|x＞1}，{x|x＞1或x＜0}的包含关系可得答案．
解答：
解：
解分式不等式，可得x＞1或x＜0，
因为集合{x|x＞1}是集合{x|x＞1或x＜0}的真子集，
故“x＞1或x＜0”是“”的必要不充分条件，
故选B
点评：
本题考查充要条件的判断，分式不等式的解法，从集合的包含关系入手是解决问题的关键．
9．（5分）（xx•济宁一模）点M、N分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱A1B1、A1D1中点，用过A、M、N和D、N、C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图1，则该几何体的正视图、侧视图（左视图）、俯视图依次为图2中的（ ）
A．
①、②、③
B．
②、③、④
C．
①、③、④
D．
②、④、③
考点：
简单空间图形的三视图．
专题：
作图题．
分析：
直接利用三视图的定义，正视图是光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图，据此可以判断出其正视图．左视图是光线从几何体的左侧向右侧正投影得到的投影图，据此可以判断出其左视图．类似判断俯视图即可．
解答：
解：
由正视图的定义可知：
点A、B、B1在后面的投影点分别是点D、C、C1，线段AN在后面的投影面上的投影是以D为端点且与线段CC1平行且相等的线段，即正视图为正方形，另外线段AM在后面的投影线要画成实线，被遮挡的线段DC1要画成虚线，正视图为②，左视图为③，俯视图为④；
故选B．
点评：
从正视图的定义可以判断出题中的正视图，同时要注意能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示．
10．（5分）若双曲线的渐近线方程为，则双曲线焦点F到渐近线的距离为（ ）
A．
B．
C．
2
D．
考点：
双曲线的简单性质．
专题：
压轴题．
分析：
由双曲线的渐近线方程为，能求出m的值，从而得到双曲线焦点F的坐标，再用点到直线的距离公式可以求出双曲线焦点F到渐近线的距离．
解答：
解：
由题意可知：
，解得m=9．
∴双曲线焦点F的坐标为，双曲线焦点F到渐近线的距离为=．
故选D
点评：
本题比较简单，由题设条件求出m就能解出准确结果．
二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）
（一）必做题（第11-13题）
11．（5分）若复数z满足（1+2i）z=2+i，则z= ．
考点：
复数代数形式的乘除运算．
专题：
计算题．
分析：
首先把给出的等式两边同时乘以，然后采用复数的除法运算进行整理．
解答：
解：
由（1+2i）z=2+i，得：
．
故答案为
点评：
本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，此题是基础题．
12．（5分）（xx•东莞一模）已知点P（x，y）满足条件（k为常数），若z=x+3y的最大值为8，则k= ﹣6 ．
考点：
简单线性规划．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
画出可行域，将目标函数变形，画出相应的直线，将其平移，数学结合当直线移至点A时，纵截距最大，z最大．
解答：
解：
画出可行域
将z=x+3y变形为y=，
画出直线平移至点A时，纵截距最大，z最大，
联立方程得，
代入，∴k=﹣6．
故答案为﹣6
点评：
本题考查画不等式组的可行域；利用可行域求出目标函数的最值．
13．（5分）（2011•湖南）已知圆C：
x2+y2=12，直线l：
4x+3y=25．
（1）圆C的圆心到直线l的距离为 5 ；
（2）圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为 ．
考点：
点到直线的距离公式；几何概型；直线与圆的位置关系．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
（1）根据所给的圆的标准方程，看出圆心，根据点到直线的距离公式，代入有关数据做出点到直线的距离．
（2）本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，根据题意做出符合条件的弧长对应的圆心角是60°，根据几何概型概率公式得到结果．
解答：
解：
（1）由题意知圆x2+y2=12的圆心是（0，0），
圆心到直线的距离是d==5，
（2）由题意知本题是一个几何概型，
试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，
满足条件的事件是到直线l的距离小于2，过圆心做一条直线交直线l与一点，
根据上一问可知圆心到直线的距离是5，
在这条垂直于直线l的半径上找到圆心的距离为3的点做半径的垂线，
根据弦心距，半径，弦长之间组成的直角三角形得到符合条件的弧长对应的圆心角是60°
根据几何概型的概率公式得到P==
故答案为：
5；
点评：
本题考查点到直线的距离，考查直线与圆的位置关系，考查几何概型的概率公式，本题是一个基础题，运算量不大．
14．（5分）（xx•广州模拟）（理）在直角坐标系中，圆C的参数方程是（θ为参数），以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的圆心极坐标为 ．
考点：
圆的参数方程．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
由题意圆C的参数方程是（θ为参数），将圆C先化为一般方程坐标，然后再计算圆C的圆心极坐标．
解答：
解：
∵直角坐标系中，圆C的参数方程是（θ为参数），
∴x2+（y﹣2）2=4，
∵以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，
∴圆心坐标（0，2），r=2
∵0=pcosθ，∴θ=，又p=r=2，
∴圆C的圆心极坐标为（2，），
故答案为：
（2，）．
点评：
此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．
15．（几何证明选讲选做题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，直线MN切⊙O于D，∠MDA=60°，则∠BCD= 150° ．
考点：
与圆有关的比例线段．
专题：
压轴题．
分析：
利用圆的直径的性质、弦切角定理和圆内接四边形的性质定理即可得出．
解答：
解：
如图所示，连接BD．∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°．
由弦切角定理可得：
∠ABD=∠MDA=60°，∴∠BAD=30°．
由圆内接四边形的性质定理可得：
∠BCD=180°﹣30°=150°．
故答案为150°．
点评：
熟练掌握圆的直径的性质、弦切角定理和圆内接四边形的性质定理是解题的关键．
三．解答题：
本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（12分）在△ABC中，已知A=45°，．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）若BC=10，求△ABC的面积．
考点：
解三角形．
专题：
综合题．
分析：
（Ⅰ）由cosB的值和B的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，然后根据三角形的内角和定理得到所求式子中C等于180°﹣A﹣B，而A=45°，得到C=135°﹣B，把所求的式子利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，把sinB和cosB的值代入即可求出值；
（Ⅱ）根据正弦定理，由BC，sinA和（Ⅰ）中求得的sinC，即可求出AB的长度，然后利用三角形的面积公式，由sinB，AB和BC的值即可求出三角形ABC的面积．
解答：
解：
（Ⅰ）∵，且B∈（0°，180°），
∴．
sinC=sin（180°﹣A﹣B）=sin（135°﹣B）
=
；
（Ⅱ）由正弦定理得，即，解得AB=14．
则△ABC的面积
．
点评：
此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系、正弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道基础题．
17．（12分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．
（1）求x和y的值；
（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；
（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．
参考公式：
方差
，其中．
考点：
茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．
专题：
概率与统计．
分析：
（1）利用平均数求出x的值，中位数求出y的值，解答即可．
（2）根据所给的茎叶图，得出甲班7位学生成绩，做出这7次成绩的平均数，把7次成绩和平均数代入方差的计算公式，求出这组数据的方差．
（3）设甲班至少有一名学生为事件A，其对立事件为从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生；先计算出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生的所有抽取方法总数，和没有甲班一名学生的方法数目，先求出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生的概率，进而结合对立事件的概率性质求得答案．
解答：
解：
（1）由茎叶图可知甲班学生的总分为70×2+80×3+90×2+（8+9+5+x+0+6+2）=590+x，
又甲班学生的平均分是85，
总分又等于85×7=595．所以x=5
乙班学生成绩的中位数是80+y=83，得y=3．
（2）∵某甲班7位学生成绩分别为78，79，80，85，85，92，96．
甲班7位学生成绩的平均数是=85，
∴7位学生成绩的方差是（49+36+25+0+0+49+121）=70，
（3）甲班至少有一名学生为事件A，
其对立事件为从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生；
根茎叶图可得，甲有2次高于90分，乙有3次高于90分，
从甲、乙两个班级成绩中各随机抽取2次成绩，有5×4种情况，而没有一次是甲班的有3×2次；
则P（A）=1﹣=．
点评：
本题考查数据的平均数公式、极差、方差与标准差与茎叶图，考查计算能力，基础题．
18．（14分）已知某几何体的直观图（图1）与它的三视图（图2），其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形．已知D是这个几何体的棱A1C1上的中点．
（Ⅰ）求出该几何体的体积；
（Ⅱ）求证：
直线BC1∥平面AB1D；
（Ⅲ）求证：
平面AB1D⊥平面AA1D．
考点：
平面与平面垂直的判定；由三视图求面积、体积；直线与平面平行的判定．
专题：
计算题；证明题；综合题．
分析：
（Ⅰ）由三视图直接求出底面面积和高，然后求出该几何体的体积；
（Ⅱ）连接A1B，且A1B∩AB1=O，要证直线BC1∥平面AB1D，只需证明直线BC1平行平面AB1D内的直线DO即可；
（Ⅲ）要证平面AB1D⊥平面AA1D，只需证明平面AB1D内的直线B1D垂直平面AA1D即可．
解答：
解：
由三视图可知该几何体为正三棱柱，底面是高为的正三角形，三棱柱的高h=3，
（Ⅰ）底面是高为的正三角形，易知底面边长为2，所以底面面积，
所求体积．
（Ⅱ）连接A1B，且A1B∩AB1=O，∵正三棱柱侧面是矩形，
∴点O是棱A1B的中点（6分）
因为D为棱A1C1的中点．连接DO，∴DO是△A1BC1的中位线，∴BC1∥DO，又DO⊂平面AB1D，BC1⊄平面AB1D，∴BC1∥平面AB1D．（9分）
（Ⅲ）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，三角形A1B1C1为正三角形，∴B1D⊥A1C1．，
又由正三棱柱性质知平面A1B1C1⊥平面ACC1A1，且平面A1B1C1∩平面ACC1A1=A1C1，
B1D⊂平面A1B1C1，∴B1D⊥平面AA1D，（12分）又B1D⊂平面AB1D，
∴平面AB1D⊥平面AA1D．（14分）
点评：
本题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面的平行的判定，棱柱的体积，考查逻辑思维能力，空间想象能力，是中档题．
19．（14分）设数列{an}的前n项和为Sn且﹣2Sn﹣anSn+1=0，n=1，2，3…
（1）求a1，a2
（2）求Sn与Sn﹣1（n≥2）的关系式，并证明数列{}是等差数列．
（3）求S1•S2•S3…Sxx•S2011的值．
考点：
等差关系的确定；数列的求和；数列递推式．
专题：
计算题；等差数列与等比数列．
分析：
（1）对已知等式分别取n=1、n=2，解关于a1、a2的方程，即可得到a1，a2的值．
（2）将an=Sn﹣Sn﹣1代入已知等式，化简整理得到Sn=，代入并整理得到=﹣1+，由此即可得到数列{}是以﹣2为首项，公差等于﹣1的等差数列．
（3）由
（2）结合等差数列的通项公式，可得Sn=，再分别取n=1、2、3、…、2011代入题中的式子，化简即可得到S1•S2•S3•…•Sxx•S2011的值
解答：
解：
（1）∵Sn2﹣2Sn﹣anSn+1=0，
∴取n=1，得S12﹣2S1﹣a1S1+1=0，即a12﹣2a1﹣a12+1=0，解之得a1=，
取n=2，得S22﹣2S2﹣a2S2+1=0，即（+a2）2﹣2（+a2）﹣a2（+a2）+1=0，解之得a2=
（2）由题设Sn2﹣2Sn﹣anSn+1=0，
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，代入上式，化简得SnSn﹣1﹣2Sn+1=0
∴Sn=，可得Sn﹣1﹣1=﹣1=
∴==﹣1+
∴数列{}是以=﹣2为首项，公差d=﹣1的等差数列．
（3）由
（2）得=﹣2+（n﹣1）×（﹣1）=﹣n﹣1，
可得Sn=1﹣=
∴S1•S2•S3•…•Sxx•S2011=×××…××=
即S1•S2•S3•…•Sxx•S2011的值为．
点评：
本题给出数列{an}的前n项和Sn与an的关系式，求通项公式并证明新的等差数列，着重考查了等差数列的通项公式、数列前n项和Sn与an的关系等知识，属于中档题．
20．（14分）已知圆心为P的动圆与直线y=﹣2相切，且与定圆x2+（y﹣1）2=1内切，记点P的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）设斜率为的直线与曲线E相切，求此时直线到原点的距离．
考点：
轨迹方程；利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式．
专题：
圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
（1）利用直线与圆相切的性质、两圆相内切的性质及抛物线的定义即可得出；
（2）利用导数的几何意义、直线的点斜式、点到直线的距离公式即可得出．
解答：
解：
（1）设圆心P（x，y），∵圆P与直线y=﹣2相切，∴圆P的半径R=|y+2|．
又∵原P与定圆x2+（y﹣1）2=1内切，
∴|y+2|﹣1=}FP|，∴|y+1|=|FP|，
∴点P到定直线y=﹣1与到定点F（0，1）的距离相等，
∴点P的轨迹是抛物线x2=4y．即曲线E的方程为x2=4y．
（2）设斜率为的直线与曲线E相切于点M（x0，y0）．
由曲线E的方程为x2=4y，∴，∴切线的斜率为，
∴，即，∴=8，
∴切点为．
∴切线方程为，化为．
∴原点到此切线的距离d==．
点评：
熟练掌握直线与圆相切的性质、两圆相内切的性质及抛物线的定义、导数的几何意义、直线的点斜式、点到直线的距离公式是解题的关键．
21．（14分）已知函数f（x）=lnx+，其中a为常数，且a＞0．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f
（1））处的切线与直线y=垂直，求a的值；
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为，求a的值．
考点：
利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：
压轴题；导数的综合应用．
分析：
（1）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由垂直直线的斜率关系列方程求a的值即可；
（2）对参数a进行分类，先研究f（x）在[1，2]上的单
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