中考数学压轴题专题突破11二次函数中的新定义问题.docx

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中考数学压轴题专题突破11二次函数中的新定义问题

【中考数学压轴题专题突破11】二次函数中的新定义问题

【中考压轴题专题突破】

二次函数中的新定义问题

1．定义：

在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．

（1）求点A（2，1）的“坐标差”和抛物线y＝﹣x2+3x+4的“特征值”．

（2）某二次函数＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式．

（3）如图所示，二次函数y＝﹣x2+px+q的图象顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上，当二次函数y＝﹣x2+px+q的图象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围．

2．定义：

我们把点（m，m）称为直线y＝﹣x+m（其中m为常数）的“对应点”比如，直线y＝﹣x+5的“对应点”为（5，5）．在平面直角坐标系xOy中，

（1）若抛物线y＝ax2经过直线y＝﹣x+3的“对应点”A，请指出该抛物线的开口方向，并说明理由；

（2）设点P在曲线y＝

（x＞0）上，直线l：

y＝﹣x+m的“对应点”为点B，连接PB，记点P到直线l的距离为d（d为正实数）

①当m＝2，k＝2，且d＝

时，求点P的坐标；

②当m＝1，k＝

时，求BP的长（用含d的式子表示）．

3．我们定义：

两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数．例如：

y＝2x2+4x﹣5的友好同轴二次函数为y＝﹣x2﹣2x﹣5．

（1）请你分别写出y＝﹣

，y＝

+x﹣5的友好同轴二次函数；

（2）满足什么条件的二次函数没有友好同轴二次函数满足什么条件的二次函数的友好同轴二次函数是它本身

（3）如图，二次函数L1：

y＝ax2﹣4ax+1与其友好同轴二次函数L2都与y轴交于点A，点B、C分别在L1、L2上，点B，C的横坐标均为m（0＜m＜2），它们关于L1的对称轴的对称点分别为B′，C′，连结BB′，B′C′，C′C，CB．

①若a＝3，且四边形BB′C′C为正方形，求m的值；

②若m＝1，且四边形BB′C′C的邻边之比为1：

2，直接写出a的值．

4．定义：

给定两个函数，我们约定：

任取自变量x的一个值，当x＜0时，另一个函数对应的函数值比原函数的函数值大1；当x≥0时，另一个函数对应的函数值比原函数的函数值小1，我们称这样的两个函数互为伴随函数．例如：

一次函数y＝2x+3．它的伴随为y＝

（1）已知点M（3，6）在一次函数y＝ax﹣2的伴随函数的图象上时，求a的值；

（2）已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣3

①当点N（m，﹣3）在这个函数的伴随函数的图象上时，求m的值；

②当﹣2≤x≤3时，求函数y＝﹣x2+4x﹣3的伴随函数的最大值和最小值；

（3）在平面直角坐标系中，点A、D的坐标分别为（﹣1，﹣1）、（﹣1，2），连接AD，以AD为边向右作正方形ABCD．直接写出正方形ABCD与二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数的图象有两个公共点时n的取值范围．

5．定义：

若函数y＝x2+bx+c（c≠0）与x轴的交点A，B的横坐标为xA，xB，与y轴交点的纵坐标为yC，若xA，xB中至少存在一个值，满足xA＝yC（或xB＝yC），则称该函数为友好函数．如图，函数y＝x2+2x﹣3与x轴的一个交点A的横坐标为3，与y轴交点C的纵坐标为﹣3，满足xA＝yC，称y＝x2+2x﹣3为友好函数．

（1）判断y＝x2﹣4x+3是否为友好函数，并说明理由；

（2）请探究友好函数y＝x2+bx+c表达式中的b与c之间的关系；

（3）若y＝x2+bx+c是友好函数，且∠ACB为锐角，求c的取值范围．

6．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b'），给出如下定义：

若b'＝

，则称点Q为点P的限变点．例如：

点（3，﹣2）的限变点的坐标是（3，﹣2），点（﹣1，5）的限变点的坐标是（﹣1，﹣5）．

（1）①点（﹣

，1）的限变点的坐标是　　；

②在点A（﹣1，2），B（﹣2，﹣1）中有一个点是函数y＝

图象上某一个点的限交点，这个点是　　；

（2）若点P在函数y＝﹣x+3的图象上，当﹣2≤x≤6时，求其限变点Q的纵坐标b'的取值范围；

（3）若点P在关于x的二次函数y＝x2﹣2tx+t2+t的图象上，其限变点Q的纵坐标b'的取值范围是b'≥m或b'＜n，其中m＞n．令s＝m﹣n，求s关于t的函数解析式及s的取值范围．

【中考压轴题专题突破】

二次函数中的新定义问题

参考答案与试题解析

1．解：

（1）1﹣2＝﹣1，故“坐标差”为﹣1，

y﹣x＝﹣x2+3x+4﹣x＝﹣（x﹣1）2+5，故“特征值”为5；

（2）由题意得：

点C（0，c），故点B、C的“坐标差”相等，

故点B（﹣c，0），把点B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得：

0＝﹣（﹣c）2+b（﹣c）+c，

解得：

b＝1﹣c，

故：

y＝﹣x2+（1﹣c）x+c，

故抛物线的“特征值”为﹣1，

∴y﹣x＝﹣x2+（1﹣c）x+c﹣x＝﹣x2﹣cx+c，

故

＝﹣1．

∴c＝﹣2，b＝3，

故抛物线的表达式为：

y＝﹣x2+3x﹣2；

（3）“坐标差”为2的一次函数为：

y＝x+2，

∵抛物线y＝﹣x2+px+q的图象的顶点在y＝x+2上，

∴设抛物线的表达式为：

y＝﹣（x﹣m）2+m+2，

当抛物线与矩形有3个交点时，如图1、2，

对于图1，直线与矩形边的交点为：

（1，3），

则对称轴为：

﹣

＝1，解得：

p＝2，

对于图2，把点E（7，3）代入y＝﹣（x﹣m）2+m+2并解得：

m＝5或10（舍去10），

故﹣

＝5，解得：

p＝10，

故二次函与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围：

2＜p＜10．

2．解：

（1）点A（3，3），将点A的坐标代入抛物线表达式并解：

a＝

0，

故抛物线的开口向上；

（2）过点P作PH∥y轴交直线l于点H，则∠DPH＝45°，则PH＝

d，

设点P（s，t），则点H（s，﹣s+m），则st＝k，PH＝t﹣（﹣s+m），

①当m＝2，k＝2，且d＝

时，反比例函数表达式为：

y＝

，

设点P（x，

），d＝

，PH＝2，

即|

+x﹣2|＝2，解得：

x＝2

，故点P（2

，2

）；

②PH＝t+s﹣1＝

d，且st＝

，则1＝2st，

PB2＝（s﹣1）2+（t﹣1）2＝s2+t2﹣2（s+t）+2＝（s+t）2﹣2（s+t）+1＝（s+t﹣1）2，

故PB＝

d．

3．解：

（1）∵1﹣（﹣

）＝

，

∴函数y＝﹣

的友好同轴二次函数为y＝

x2；

∵1﹣

＝

，1×（

÷

）＝2，

∴函数y＝

+x﹣5的友好同轴二次函数为y＝

x2+2x﹣5．

（2）∵1﹣1＝0，

∴二次项系数为1的二次函数没有友好同轴二次函数；

∵1÷2＝

，

∴二次项系数为

的二次函数的友好同轴二次函数是它本身．

（3）二次函数L1：

y＝ax2﹣4ax+1的对称轴为直线x＝﹣

＝2，其友好同轴二次函数L2：

y＝（1﹣a）x2﹣4（1﹣a）x+1．

①∵a＝3，

∴二次函数L1：

y＝ax2﹣4ax+1＝3x2﹣12x+1，二次函数L2：

y＝（1﹣a）x2﹣4（1﹣a）x+1＝﹣2x2+8x+1，

∴点B的坐标为（m，3m2﹣12m+1），点C的坐标为（m，﹣2m2+8m+1），

∴点B′的坐标为（4﹣m，3m2﹣12m+1），点C′的坐标为（4﹣m，﹣2m2+8m+1），

∴BC＝﹣2m2+8m+1﹣（3m2﹣12m+1）＝﹣5m2+20m，BB′＝4﹣m﹣m＝4﹣2m．

∵四边形BB′C′C为正方形，

∴BC＝BB′，即﹣5m2+20m＝4﹣2m，

解得：

m1＝

，m2＝

（不合题意，舍去），

∴m的值为

．

②当m＝1时，点B的坐标为（1，﹣3a+1），点C的坐标为（1，3a﹣2），

∴点B′的坐标为（3，﹣3a+1），点C′的坐标为（3，3a﹣2），

∴BC＝|3a﹣2﹣（﹣3a+1）|＝|6a﹣3|，BB′＝3﹣1＝2．

∵四边形BB′C′C的邻边之比为1：

2，

∴BC＝2BB′或BB′＝2BC，即|6a﹣3|＝2×2或2＝2|6a﹣3|，

解得：

a1＝﹣

，a2＝

，a3＝

，a4＝

，

∴a的值为﹣

、

、

或

．

4．解：

（1）由已知一次函数y＝ax﹣2的伴随函数为y＝

∵M（3，6）

∴代入y＝ax﹣3，得

6＝3a﹣3

∴a＝3

（2）由已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣3的伴随函数为y＝

①当m＜0时，代入y＝﹣x2+4x﹣2，得

﹣3＝﹣m2+4m﹣2

解得m1＝2+

（舍去），m2＝2﹣

当m≥0时，代入y＝﹣x2+4x﹣2，得

﹣3＝﹣m2+4m﹣4

解得m3＝2+

m3＝2﹣

故m的值为2﹣

、2+

或2﹣

②当3≥x≥0时，抛物线y＝﹣x2+4x﹣4的顶点为最高点

∴函数最大值为0

当∵a＝﹣1

∴抛物线开口向下

∴当﹣2≤x＜0时，x＝﹣2函数有最小值为﹣（﹣2）2+4×（﹣2）﹣2＝﹣14

（3）3＜n＜6或0＜n＜1或﹣4＜n＜﹣2

理由：

由已知二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数为y＝

设AB边、DC边与y轴交点为分别为F、E

则E点坐标为（0，2），F点坐标为（0，﹣1）

①若y＝﹣x2+4x+n+1过点D，则代入D（﹣1，2）

求得n＝6，则x≥0时，y＝﹣x2+4x+n﹣1＝﹣x2+4x+5与y轴交点为（0，5）

此时二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数与正方形ABCD有一个交点

②若y＝﹣x2+4x+n+1过点A，则代入A（﹣1，﹣1）

可求得n＝3，则x≥0时，y＝﹣x2+4x+n﹣1＝﹣x2+4x+2与y轴交点为（0，2）

则此时二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数与正方形ABCD有3个交点

③若y＝﹣x2+4x+n+1过点E（0，2），则代入E（0，2）

则n＝1，则x≥0时，y＝﹣x2+4x+n﹣1＝﹣x2+4x与y轴交点为（0，0）

则此时，此时二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数与正方形ABCD有3个交点

④若y＝﹣x2+4x+n﹣1过点F（0，﹣1），则代入F（0，﹣1）

则n＝0，则x＜0时，y＝﹣x2+4x+n+1＝﹣x2+4x+1与y轴交点为（0，1）

则此时二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数与正方形ABCD有3个交点

⑤若y＝﹣x2+4x+n+1过点F（0，﹣1），则代入F（0，﹣1）

则n＝﹣2，则y＝﹣x2+4x+n﹣1＝﹣x2+4x﹣3与y轴交点为（0，﹣3）

则此时二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数与正方形ABCD有3个交点

⑥若y＝﹣x2+4x+n﹣1过点B（2，﹣1），则代入B（2，﹣1）

则n＝﹣4则x＜0时，y＝﹣x2+4x+n+1＝﹣x2+4x﹣3y轴交点为（0，﹣3）

则此时二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数与正方形ABCD有1交点

综上所述，正方形ABCD与二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数的图象有两个公共点时的n取值范围为

3＜n＜6或0＜n≤1或﹣4＜n≤﹣2

5．解：

（1）y＝x2﹣4x+3是友好函数，理由如下：

当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝1或3，

∴y＝x2﹣4x+3与x轴一个交点的横坐标和与y轴交点的纵坐标都是3，

∴y＝x2﹣4x+3是友好函数；

（2）当x＝0时，y＝c，即与y轴交点的纵坐标为c，

∵y＝x2+bx+c是友好函数，

∴x＝c时，y＝0，即（c，0）在y＝x2+bx+c上，

代入得：

0＝c2+bc+c，

∴0＝c（c+b+1），

而c≠0，

∴b+c＝﹣1；

（3）①如图1，当C在y轴负半轴上时，

由

（2）可得：

c＝﹣b﹣1，即y＝x2+bx﹣b﹣1，

显然当x＝1时，y＝0，

即与x轴的一个交点为（1，0），

则∠ACO＝45°，

∴只需满足∠BCO＜45°，即BO＜CO

∴c＜﹣1；

②如图2，当C在y轴正半轴上，且A与B不重合时，

∴显然都满足∠ACB为锐角，

∴c＞0，且c≠1；

③当C与原点重合时，不符合题意，

综上所述，c＜﹣1或c＞0，且c≠1．

6．解：

（1）①根据限变点的定义可知点点（﹣

，1）的限变点的坐标为（﹣

，﹣1）；

故答案是：

（﹣

，﹣1）；

②（﹣1，﹣2）限变点为（﹣1，2），即这个点是点A．

故答案是：

A；

（2）依题意，y＝﹣x+3（x≥﹣2）图象上的点P的限变点Q必在函数y＝

的图象上．

当x＝﹣2时，y＝﹣2﹣3＝﹣5，

当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，

当x＝6时，y＝﹣6+3＝﹣3，

∴当﹣2≤x≤6时，﹣5≤b′≤2；

（3）∵y＝x2﹣2tx+t2+t＝（x﹣t）2+t，

∴顶点坐标为（t，t）．

若t＜1，b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，与题意不符．

若t≥1，当x≥1时，y的最小值为t，即m＝t；

当x＜1时，y的值小于﹣[（1﹣t）2+t]，即n＝﹣[（1﹣t）2+t]．

∴s＝m﹣n＝t+（1﹣t）2+t＝t2+1．

∴s关于t的函数解析式为s＝t2+1（t≥1），

当t＝1时，s取最小值2，

∴s的取值范围是s≥2．