故②正确:
③如图3,连接FM.
團3
当四边形CDWZ为正方形时,MH=CH=CD=DM=3,
由勾股宦理得:
BM=√FTP=√Tθ,
.9.FM=√10∙
∙'∙CF=3-1=2,
设HN=x,则BN=FN=M,
在RtΔCΛ7,中,CdCP=Fg
(3・x)2+22=(x+Γ)2,
解得:
X=|,
3
:
.HN=?
•:
CH=3、
3
.,.CN=HN=F
・・・N为He的中点;
故③正确:
④如图4,连接加,
-DF=∣DC,CD=3、
團4
C.DF=∖,CF=2,
:
.BF=√22+42=2√5,
Λ□F=√5,
设FN=a,则BN=a.CN=4・e由勾股宦理得:
FNl=C^CFltC.cΓ=(4・a)2+229
•_5
••a=,
S3
:
.BN=FN=CN=*
•:
ZNFE=ZCFN+ZDFO=90、,
ZCFN+乙CNF=9Y,
.a.ZDFQ=ZCNF、
VZD=ZC=90°,
:
仏QDFSHFCN、
4
:
.OD=j9
λ^=Ji2+Φ2=γ
HNCF
∖∙tanZHMN=tailZCBF=希=託
HN_2
3一4’
3
:
.HN=M
:
.MN=J32+(∣)2=攀
33
VCH=MD=HN^CN=+=3.
4S
∙∙∙MQ=3揺=?
.,.折叠后重叠部分的而积为:
S:
.MNF+SMqf=才∙MN∙OF+*∙MQ∙DF=昇竽XVE+*XIX1=
SS
12:
故④正确:
所以本题正确的结论有:
①②③④:
故答案为:
①②③®.
6・(2020湖北仙桃)如图,已知∕∖ABC和ZUDE都是等腰三角形,ZBAC=ZDAE=90c,BD.CE交于
点F,连接JF・下列结论:
①BD=CE:
②BF丄CF;③ZLF平分ZCW;④ZJFE=45°・英中正确结
论的个数有()
A・1个B.2个C.3个D.4个
【解答】解:
如图,作dΛ∕丄肋于MANlEC于N.
VZBJC=Zm£=90°,
∙∙∙ZBAD=ZCAE∖
*∙*AB~ΛCt-*1Z)-AE9
MBAD竺MAE(SAS),
:
.EC=BD.ZBDA=ZAEC.故①正确
TZDOF=ZAOE.
ZDFO=ZEAO=90°,
VΔAW^ΔCJE..IM丄BD、ANlEC、
:
∙AM=AN,
∙∙∙M平分ZEF从
AZJjr=45°,故④正确,
若③成立,则ZAEF=ZABD=ZADB,推出AB=AD,显然与条件矛盾,故③错误,
故选:
C.
7.(2020湖北咸宁)如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,点E是边BC上一动点(不与点B,C重合),
ZaF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F,交Cz)于点G,连接JF,有下列结论:
1厶ABES厶ECG;
2AE=EF:
3ZDAF=ZCFE;
4ACEF的而积的最大值为1.
苴中正确结论的序号是一①②③・(把正确结论的序号都填上)
【解答】解:
①•••四边形肿CD是正方形,
AZB=ZECG=90°,
VZAEF=9QQ,
/.ZAEB+ZCEG=ZAEB+ZBAE9
:
.ZBAE=ZCEG.
MABEsbECG.
故①正确:
2在BJ上截取Bwr=E£,如图1,
圉1
•••四边形肋CD为正方形.
ΛZ5=90o,BA=BC,
.•・ABEM为等腰直角三角形,
AZAuE=45°,
∙∙∙ZJME=135°,
∖9BA-BM=BC-BE.
:
•AM=CE.
TCF为正方形外角平分线,
ΛZDCF=45°,
ΛZECF=I3So,
VZAEF=90^,
ΛZAEB+ZFEC=9Qζt,
而ZJ£5+Z&4£=90C,
{
×MAE=ZCEF
AM=EC'
∆AME=厶ECF
:
■、AME竺∖ECF,
:
∙AE=EF,
故②正确:
3∙∙∙JΣ=EF∙ZjEF=90°,
∙∙∙ZE4F=45°,
∙∙∙ZBME+ZDAF=45°,
•:
ZBAE+ZCFE=ZCEF+ZCFE=45O,
∙∙∙ZDAF=ZCFE.
故③正确:
4设BE=x,则BM=x,AM=.lB-BM=4-χ,
SDECF=SAME=*f(2-X〉=一*(X・1),+£
当X=I时,SAECF有最大值?
故④错误.
故答案为:
①②③.
8.(2020湖南岳阳)如图,AB为半圆O的直径,M,C是半圆上的三等分点,.毎=8,肋与半圆O相切于点B∙点P'λjAM上一动点(不与点J,M重合),直线PQ交肋于点ZX恥丄OC于点E,延长EE交PC于点F,则下列结论正确的是_②⑤.(写出所有正确结论的序号)
—4
1PB=PD;②战•的长为一Tn③ZDBE=45°:
④厶BCFS∕∖PFB;⑤CF∙CP为上值・
3
【解答】解:
①连接/C,并延长2C,与血的延长线交于点H如图1,
TM,C是半圆上的三等分点,
AZBJH=BOO,
•・•BD与半圆O相切于点P
ΛZABD=90c,
∙∙∙ZH=60°,
JZACP=ZABP.ZACP=ZDCH.
∙∙∙ZPDB=ZH+ZDCH=ZABP-60°,
VZPBD=90°・ZΛBP∙
若"DB=ZPBD.则ZABP+6Qo=90c-AABP.
:
.ZABP=IS^,
:
•P点为込帀的中点,这与P为方雨上的一动点不完全吻合,
∙∙∙ZPDB不一立等于ZABD.
∙∙∙PE不一定等于PD,
故①错误:
2TM,C是半圆上的三等分点,
T直径AB=Z.
:
.0B=OC=4.
.・.茕的长度=銮¥=<
图1
3VZBoC=60c,OB=OC9
:
.ZABC=60°,OB=OC=BC,
TBEdOC,
:
•ZOBE=ZCBE=30°>
VZABD=90°,
ΛZDBE=60°,
故③错误:
4TM'N是而的三等分点,
ΛZBPC=30°,
VZCBF=30°,
^ZBFP=ZFCB.
乙PBFVZBFC,
:
心BCFS'PFB不成立,
故④错误:
5•:
∖BCFS\PCB、
CBCF:
.—=—,
CPCB
:
∙CF∙CP=CB-
VCB=OB=OC=^AB=4,
ΛCF∙CP=16,
故⑤正确.
故答案为:
②⑤.
9.(2020山东德州)如图,在矩形肿CD中,AB=晅+2,AD=員・把,3沿肛折叠,使点Z)恰好落在肿边上的D处,再将ZXdEQ'绕点E顺时针旋转ct,得到MED",使得Ey恰好经过的中点g∕β∙
F.AfDtf交曲于点G,连接ZLr•有如下结论:
①』F的长度是√6-2:
②弧DIr的长度是WF
3ZU'EG:
④∆JJ'Fs∖EGF∙上述结论中,所有正确的序号是—①②(Q・
【解答】解:
•••把JP沿JE折叠,使点D恰好落在•拐边上的D处,
ΛZZ)=Z-W£=90°=ZΛ1D∖AD=AD∖
・•・四边形.3£D是矩形,
又VJD=-W=√3,
・•・四边形MDED是正方形,
:
∙AD=AD'=DE=DE=頁,AE=迈AD=屆ZEICr=ZzlED=45°,
:
.DtB=AB-AD9=2,
Y点F是ED中点,
∙∙∙DF=1,
:
.EF=∖fD,E2+D1F2=√T+T=2,
T将ZUED'绕点E顺时针旋转α,
:
∙AE=ME=品,ZD9EDu=a.ZEfZr=ZEID=45。
ΛJT=√6-2,故①正确:
/27EvYDtF1√3
・tanZFΣD=^=7==τ,
∙∙∙ZFED=30°
Λα=30a+45°=75°,
:
MD'D"的长度=75辭、3=診,故②正确:
WlE=AtE.ZdEf=75°,
ΛZZlr=ZEJU=52.5°,
AZXiF=7.5°,
V≠ZEA9G,Z^E≠ZEA9G,Z^r=I20°≠ZEAG.
.•・ΔΛ4,F与MGE不全等,故③错误:
JDE=DEEG=EG,
/.RtΔΣD,G^RtΔfDMG(HL)9
∙∙∙ZD9GE=ZZTGE,
TZJGDM=ZZrjG+ZzLTG=105°,
ΛZDlGE=52.5^=ZAAF
又TZAEr=ZEFG.
∙∙∙ZLlEfs∕∖EFG,故④正确,
故答案为:
①②④.
10.(2020四川成都)如图,ZBOD=45Q,BO=DO.点衣在OE上,四边形,毎CD是矩形,连接2C、
BD交于点E.连接OE交JD于点F.下列4个判断:
①OE平分ZBOD,②OF=BD;③DF=逅AF;
4若点G是线段OF的中点,则ZXJEG为等腰直角三角形.正确判断的个数是()
A・4B.3C.2D・1
【解答】解:
①•・•四边形MBCD是矩形,
:
.EB=ED.
YBO=DO.
∙∙∙OE平分ZBOD.
故①正确:
2•・•四边形.0CZ)是矩形,
ΛZαW=ZAW=90o,
OBD+ZADB=90°,
•:
OB=OD.BE=DE,
:
.OE丄BD∙
ΛZBOE+ZOBE=9Qi,
.t.ZBOE=ZBDA,
VZBOD=45c,ZOdD=90°,
ΛZJDo=45o,
∙'∙√1O=√1Z),
:
•HAOF竺HABD(ASA).
:
.OF=BD.
故②正确:
③•:
HAoF竺HABD、
•∙AF-AB9
连接BF.如图1∙
图1
:
∙BF=並AF、
•:
BE=DE.0E1BD,
:
•DF=BF、
:
.DF=近AF,
故③正确:
④根据题总作出图形•如图2,
圉2
TG是OF的中点,ZOJF=90。
:
.AG=OG.
:
.ZAOG=ZOAG.
VZAOD=45^,OE平分ZAOD.
:
.ZJOG=ZOJG=22.5°,
AZEJG=67.5°,ZADB=Z4OF=225°,
T四边形肋CZ)是矩形,
∙*∙EA=ED、
AZZW=Zrm=22.5°,
ΛZEAG=90°,
TZAGE=ZAOG+ZOAG=45φ,
ΛZJrG=45°,
∙∙^4JE~AG^
:
4EG为等腰直角三角形,
故④正确;
故选:
2.
11.(2020四川攀枝花)如图,在边长为4的正方形.0CZ)中,点E、F分别是EC、CQ的中点,DE、AF
交于点G,AF的中点为H,连接BG.DH.给岀下列结论:
①AF丄DE;@DG=I;(3)HD∕∕BG:
④HABGS'DHF.
苴中正确的结论有①④・(请填上所有正确结论的序号)
D
F
C
【解答】解:
•••四边形ABCD为正方形,
ΛZADC=ZBCD=9Qo,AD=CD,
•:
E和F分别为BC和CZ)中点,
:
.DF=EC=2,
:
■∖ADF9SCE(SAS),
:
.ZAFD=乙DEC、ZE4D=ZEDC.
VZEDC+ZDEC=9Qo,
ΛZEDC+Z.4FD=90^,
ΛZDGF=90°,即DElAF.故①正确:
WID=4.QF=才CD=2,
:
..lF=√42+22=2√5,
:
.DG=AD×DF÷.1F=故②错误:
TH为-IF中点,
:
.HD=HF=AF=√5,
.,.ZHDF=ZHFD,
WlB//DC.
∙∙∙ZHDF=ZHFD=ZBAG9
Q.∙fζ^
"G=y∕AD2-DG2=詈,AB=4,
tABAB_4√r5_AG
•∙===t
DHHF5DF
:
.∕∖ABG〜IXDHF、故④正确:
ΛZABG=ZDHF9而ΛB≠ΛG.
则ZABG和ZZIGE不相等,
故ZAGBHZDHF,
故丑D与BG不平行,故③错误:
故答案为:
①④.
12.(2020四川遂宁)如图,在正方形ZIECz)中,点E是边BC的中点,连接拡∖DE,分别交BD.AC于点P、Q,过点P作PF丄■匹交CE的延长线于F,下列结论:
1Z.1ED-ZEAC+ZEDB=90°,
2AP=FP,
3AE=
4若四边形OPEQ的面积为4,则该正方形MCD的而积为36,
5CE∙EF=EQ∙DE.
其中正确的结论有()
A.5个B.4个C.3个D.2个
【解答】解:
如图,连接OE.
•・•四边形MCD是正方形,
:
.AC丄EDOA=OC=OB=OD,
:
.ZBOC=90°,
JBE=EC.
AZEOB=ZEoC=45°,
TZEOB=ZEDB+ZOED,ZEOC=ZEHC+ZNEO,
:
.ZAED^ZEAC+ZEDO=ZEAC+ZAEO-ZOED+ZEDB=9OQ,故①正确,连接AF.
••丹丄血;
:
•厶PF=ZABF=W,
•・・』,P,B,F四点共圆,
ΛZAFP=Z.lBP=45ζt,
ΛZPAF=APFA=^,
:
.PA^PF.故②正确,
设BE=EC=a、lΨjAE=yfScιOA=OC=OB=OD=Q•
AE√Sα∖∕10JTOIf人
=正方=—>HI-AE=-Y-AO,故③ΓF:
确,
根据对称性可知,\OPE9\OQE、
^∙SλOEQ=
*S网讼形OP£0=2,
TOB=OD.BE=EC,
:
∙CD=2OE,OE丄CD
EQOE1A-=—=-HOEOs'CDO、
DQCD2・・
∙*∙S/,ODO=4‘Sj∖,CDQ=8>
:
∙S,.CDO=12’
•°・SN:
Hy-ABCD=48,故④错误,
•:
ZEPF=ZDCE=W,ZPEF=ZDEC,
:
AEFFSi\ECD、
.EFPE
''~ED=~EC'
:
.EO=PE,
:
∙CE∙EF=EQ∙DE∖故⑤正确,故选:
B.