离散数学深刻复知识题参备考资料带答案解析.docx
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离散数学深刻复知识题参备考资料带答案解析
一、选择题:
(每题2’)
1、下列语句中不是命题的有()。
A.离散数学是计算机专业的一门必修课。
B.鸡有三只脚。
C.太阳系以外的星球上有生物。
D.你打算考硕士研究生吗?
2、命题公式A与B是等价的,是指()。
A.A与B有相同的原子变元B.A与B都是可满足的
C.当A的真值为真时,B的真值也为真D.A与B有相同的真值
3、所有使命题公式P∨(Q∧¬R)为真的赋值为()。
A.010,100,101,110,111B.010,100,101,111
C.全体赋值D.不存在
4、合式公式(P∧Q)R的主析取范式中含极小项的个数为()。
A.2B.3C.5D.0
5、一个公式在等价意义下,下面哪个写法是唯一的()。
A.析取范式B.合取范式C.主析取范式D.以上答案都不对
6、下述公式中是重言式的有()。
A.(P∧Q)(P∨Q)B.(PQ)((PQ)∧(QP))
C.(PQ)∧QD.P(P∧Q)
7、命题公式(PQ)(Q∨P)中极小项的个数为(),成真赋值的个数为()。
A.0B.1C.2D.3
8、若公式(P∧Q)∨(P∧R)的主析取范式为m001∨m011∨m110∨m111则它的主合取范式为()。
A.m001∧m011∧m110∧m111B.M000∧M010∧M100∧M101
C.M001∧M011∧M110∧M111D.m000∧m010∧m100∧m101
9、下列公式中正确的等价式是()。
A.(x)A(x)(x)A(x)B.(x)(y)A(x,y)(y)(x)A(x,y)
C.(x)A(x)(x)A(x)D.(x)(A(x)∧B(x))(x)A(x)∨(x)B(x)
10、下列等价关系正确的是()。
A.x(P(x)∨Q(x))xP(x)∨xQ(x)B.x(P(x)∨Q(x))xP(x)∨xQ(x)
C.x(P(x)Q)xP(x)QD.x(P(x)Q)xP(x)Q
11、设个体域为整数集,下列真值为真的公式是()。
A.xy(x·y=1)B.xy(x·y=0)C.xy(x·y=y)D.xy(x+y=2y)
12、设S={,{1},{1,2}},则有()S。
A.{{1,2}}B.{1,2}C.{1}D.{2}
13、下列是真命题的有()。
A.{a}{{a}}B.{{}}{,{}}C.{,{}}D.{}{,{}}
14、设S={,{1},{1,2}},则2S有()个元素。
A.3B.6C.7D.8
15、已知幂集的基数|(A)|=2048,则集合A的基数|A|为()。
A.11B.12C.10D.9
16、设A={1,2,3},则A上的二元关系有()个。
A.23B.32C.233D.322
17、设A={a,b,c,d},A上的等价关系R={,,,}∪IA,则对应于R的A的划分是()。
A.{{a},{b,c},{d}}B.{{a,b},{c},{d}}C.{{a},{b},{c},{d}}D.{{a,b},{c,d}}
18、设R,S是集合A上的关系,则下列说法正确的是()。
A.若R、S是自反的,则RS是自反的B.若R、S是反自反的,则RS是反自反的
C.若R、S是对称的,则RS是对称的D.若R、S是传递的,则RS是传递的
19、集合A上的相容关系R的关系矩阵M(R)的对角线元素()。
A.全是1B.全是0C.有的是1,有的是0D.有的是2
20、设集合A={1,2,3},A上的关系R={<1,1>,<1,2>,<2,2>,<3,3>,<3,2>},则R不具备()。
A.自反性B.传递性C.对称性D.反对称性
21、设
,S上关系R的关系图为(如图所示),
则R具有()性质。
A.自反性、对称性、传递性B.反自反性、反对称性
C.反自反性、反对称性、传递性D.自反性
22、设S={1,2,3},R为S上的关系,其关系图为
则R具有()的性质。
A.自反、对称、传递B.什么性质也没有
C.反自反、反对称、传递D.自反、对称、反对称、传递
23、设A={1,2,3},B={a,b},下列各二元关系中是A到B的函数的是()。
A.R={<1,a>,<2,a>,<3,a>}B.R={<1,a>,<2,a>,<2,b>,<3,a>}
C.R={<1,a>,<2,b>}D.R={<2,a>,<2,b>}
24、设R为实数集,映射f:
RR,f(x)=-x2+2x-1,则f是()。
A.单射而非满射B.满射而非单射
C.双射D.既不是单射,也不是满射
25、设A={,{1},{1,3},{1,2,3}}则A上包含关系“”的哈斯图为()。
A.B.C.D.
26、N是自然数集合,定义f:
NN,f(x)=xmod3(即x除以3的余数),则f是()。
A.满射不是单射B.单射不是满射
C.双射D.不是单射也不是满射
27、设S={,{1},{1,2}},则有()S。
A.{{1,2}}B.{1,2}C.{1}D.{2}
28、集合A={x|x=2n∧nN}对()运算封闭。
A.加法B.减法C.乘法D.|x-y|
29、设*是集合A上的二元运算,称Z是A上关于运算*的零元,若()。
A.xA,有x*Z=Z*x=ZB.ZA,且xA有x*Z=Z*x=Z
C.ZA,且xA有x*Z=Z*x=xD.ZA,且xA有x*Z=Z*x=Z
30、下面偏序集()能构成格。
31、在()中,补元是唯一的。
A.有界格B.有补格C.分配格D.有补分配格。
32、下面四组数能构成无向简单图的度数序列的有()。
A.(2,2,2,2,2)B.(1,1,2,2,3)C.(1,1,2,2,2)D.(1,1,3,3,3)
33、无向图结点之间的连通性,是结点集之间的一个()。
A.连通关系B.偏序关系C.等价关系D.函数关系
34、已知图G的相邻矩阵为:
则G有( )。
A.5点,8边B.6点,7边C.5点,7边D.6点,8边
35、下列四组数为结点度序列,能构成无向图的是()。
A.2,3,4,5,6,7B.1,2,2,3,4
C.2,1,1,1,2D.3,3,5,6,0
36、下列几个图是简单图的有()。
A.G1=(V1,E1),其中V1={a,b,c,d,e},E1={(a,b),(b,e),(e,b),(a,e),(d,e)}
B.G2=(V2,E2),其中V2=V1,E2={,,,,,}
C.G3=(V3,E3),其中V3=V1,E3={(a,b),(b,e),(e,d),(c,c)}
D.G4=(V4,E4),其中V4=V1,E4={,,,,}
37、在一棵树中有7片树叶,3个3度结点,其余都是4度结点则该树有()个4度结点。
A.1B.2C.3D.4
38、一棵树有2个4度结点,3个3数度结点,其余是树叶,则该树中树叶的个数是()。
A.8B.9C.10D.11
39、设图G是有6个顶点的连通图,总度数为20,则从G中删去()边后使之变成树。
A.10B.5C.3D.2
40、下面那一个图可一笔画出()。
41、在如下各图中()欧拉图。
42、下图中既不是欧拉图,也不是哈密尔顿图的是()。
43、在如下的有向图中,从V1到V4长度为3的道路有()条。
A.1B.2C.3D.4
44、图中从v1到v3长度为3的通路有()条。
A.0B.1C.2D.3
二、判断题(每题1分)
1.
。
(Y)
2.设A,B,C是任意三个集合。
(1)若AB且BC,则AC。
(Y)
(2)若AB且BC,则AC。
(N)
(3)若AB且BC,则AC。
(N)(4)(AB)
C=(A×C)(B×C)。
(Y)
(5)A∪(BC)=(A∪B)(A∪C)。
(N)
3.A,B,C为任意集合,若A∪B=A∪C,则B=C。
(N)
4.可能有某种关系,既不是自反的,也不是反自反的。
(Y)
5.可能有某种关系,既是对称的,又是反对称的。
(Y)
6.设R是实数集,R上的关系S={||x-y|<2∧x,yR},S是相容关系。
(Y)
7.若集合A上的关系R是对称的,则Rc也是对称的。
(Y)
8.数集合上的不等关系(≠)可确定A的一个划分(N)
9.设集合A、B、C为任意集合,若A×B=A×C,则B=C。
(N)
10.函数的复合运算“”满足结合律。
(Y)
11.集合A上的恒等关系是一个双射函数。
(Y)
12.任何一个循环群必定是阿贝尔群。
(Y)
13.任何循环群必定是阿贝尔群,反之亦真。
(N)
14.设
是偏序集,BA,则B的极大元bB且唯一。
(N)
15.群是每个元素都有逆元的半群。
(N)
16.在代数系统中,若一个元素的逆元是唯一的,其运算必是可结合的。
(N)
17.每一个有限整环一定是域,反之也对。
(N)
18.设是布尔代数,则一定为有补分配格。
(Y)
19.若平面图共有v个结点,e条边和r个面,则v–e+r=2。
(N)
20.任何有向图中各结点入度之和等于边数。
(Y)
21.若两图结点数相同,边数相等,度数相同的结点数目相等,则两图是同构的。
(N)
22.一个图是平面图,当且仅当它包含与K3,3或K5在2度结点内同构的子图。
(N)
23.有割点的连通图可能是哈密尔顿图。
(N)
24.无多重边的图是简单图。
(N)
25.根树中最长路径的端点都是叶子。
(N)
26.在完全二叉树中,若有
片叶子,则边的总数e=2t-1。
(N)
27.群中可以有零元(对阶数大于1的群)。
(N)
28.任何循环群必定是阿贝尔群,反之亦真。
(N)
29.每一个链都是分配格。
(Y)
30.不可能有偶数个结点,奇数条边的欧拉图。
(N)
31.集合A上的恒等关系是一个双射函数。
(Y)
32.设Q为有理数集,Q上运算*定义为
,则
是半群。
(Y)
33.在完全二元树中,若有
片叶子,则边的总数
。
(N)
34.能一笔画出的图不一定是欧拉图。
(Y)
35.根树中最长路径的端点都是叶子。
(N)
36.命题公式(A∧(AB))B是一个矛盾式。
(N)
37.设R是实数集,R上的关系F={||x-y|<2∧x,yR},则F是相容关系。
(Y)
38.设是偏序集,BA,则B的极大元bB且唯一。
(N)
39.无多重边的图是简单图。
(N)
40.谓词公式xP(x)xQ(x)∨yR(y)的前束范式是xzy(P(x)Q(z)∨R(y))。
(Y)
三、解答题(本题分4小题,共计35分)
1、试求
的主析取范式。
2、用真值表判断下列公式是永真式?
永假式?
可满足式?
(1)(P∧P)Q
(2)(PQ)∧Q(3)((PQ)∧(QR))(PR)
解:
(1)真值表:
PQ
PP∧P(P∧P)Q
00
101
01
100
10
001
11
000
因此公式
(1)为可满足。
(2)真值表
PQ
PQ(PQ)(PQ)∧Q
00
100
01
100
10
010
11
100
因此公式
(2)为永假式。
(3)真值表
PQR
PQQRPR((PQ)∧(QR))(PR)
000
1111
001
1111
010
1011
011
1111
100
0101
101
0111
110
1001
111
1111
因此公式(3)为永真式。
3、设个体域是D={2,3,6},F(x):
x≤3,G(x):
x>5,消去公式x(F(x)∧yG(y))中的量词,并讨论其真值。
解:
x(F(x)∧yG(y))x(F(x))∧yG(y)(F
(2)∧F(3)∧F(6))∧(G
(2)∨G(3)∨G(6))
F∧TF
4、求下列公式的前束范式:
(1)xF(x)∧﹁xG(x)
(2)(xF(x,y)→yG(y))→xH(x,y)
5、通过求主析取范式判断下列命题公式是否等值:
(P∨Q)∧(P∨Q∨R)与
(P∧(Q∨R))∨(Q∧(P∨R))。
解:
(P∨Q)∧(P∨Q∨R)
(P∨Q∨(R∧R))∧(P∨Q∨R)
(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)
M1∧M0∧M4M0∧M1∧M4∏(0,1,4)∑(2,3,5,6,7)
(P∧(Q∨R))∨(Q∧(P∨R))
(P∧Q)∨(P∧R)∨(P∧Q)∨(Q∧R)
(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)
∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)
(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)
m7∨m6∨m5∨m3∨m2∑(2,3,5,6,7)
由此可见(P∨Q)∧(P∨Q∨R)(P∧(Q∨R))∨(Q∧(P∨R))
6、设个体域为D={-2,3,6},谓词
,
,
,求谓词公式的真值:
7、若集合A={a,{b,c}}的幂集为(A),集合B={,{}}的幂集为(B),求:
(A)(B)。
解:
(A)={,{a},{{b,c}},{a,{b,c}}}
(B)={,{},{{}},{{,{}}}
(A)(B)={{a},{{b,c}},{a,{b,c}},{},{{}},{{,{}}}
8、设集合A={2,3,4,6,8,12,24},R为A上的整除关系,
(1)画出偏序集的哈斯图;
(2)写出集合A中的最大元、最小元、极大元、极小元;
(3)写出A的子集B={2,3,6,12}的上界、下界、最小上界、最大下界。
9、集合S={1,2,3,4,5},找出S上的等价关系,此关系能产生划分{{1,2},{3},{4,5}},并画出关系图。
10、已知A={a,b,c,d},A上的关系R定义为:
R={,,,,},
求:
r(R),s(R),t(R)。
11、已知A={1,2,3,4,5},A上的关系R定义为:
R={<1,2>,<2,1>,<1,3>,<2,4>,<4,1>,<5,5>,<5,3>,<5,4>},
求:
r(R),s(R),t(R)。
12、集合
上的关系R={<1,1>,<1,3>,<2,2>,<3,3>,<3,1>,<3,4>,<4,3>,<4,4>},写出关系矩阵MR,画出关系图并讨论关系R的性质。
13、设集合A={2,3,4,6,8,12,24},R为A上的整除关系,画出偏序集的哈斯图。
14、已知G={1,2,3,4,5,6},×7为模7乘法。
试说明是否构成群?
是否为循环群?
若是,生成元是什么?
15、一棵树T中,有3个2度结点,一个3度结点,其余结点都是树叶。
(1)T中有几个结点;
(2)画出具有上述度数的所有非同构的无向图。
16、设A={1,2,3,4,5},A上的偏序关系如右图所示,
求:
A的子集{3,4,5}和{1,2,3}的上界,下界,上确界和下确界。
17、求图中A到其余各顶点的最短路径,并写出它们的权。
18、设带权无向图如下,求其最小生成树T及该树的总权值。
19、权数1,4,9,16,25,36,49,64,81,100构造一棵最优二叉树。
20、如下图所示的赋权图表示某七个城市v1,v2,……,v7及预先算出它们之间的一些直接通信线路造价,试给出一个设计方案,使得各城市之间能够通信而且总造价最小。
四、写出对应下面推理的证明:
(本题10分,1*10’=10’)
1、(AB)∧(CD),BE,DF,¬(E∧F),AC¬A
2、P∨WR,RS∨T,ST,¬T∧Q¬W
3、如果小张和小王去看电影,则小李也去看电影;小赵不去看电影或小张去看电影;小王去看电影。
所以,当小赵去看电影时,小李也去看电影。
4、如果小张去看电影,则当小王去看电影时,小李也去。
小赵不去看电影或小张去看电影。
小王去看电影。
所以当小赵去看电影时,小李也去。
5、如果我学习(P),那么我数学不会不及格。
如果我不热衷于玩扑克(R),那么我将学习。
但我数学不及格(Q)。
因此我热衷于玩扑克。
(注:
请按括号中提示的字母翻译并进行论证。
)
6、或者是天晴,或者是下雨。
如果是天晴,我去看电影。
如果我去看电影,我就不看书。
所以,如果我在看书,则天在下雨。
7、所有牛都有角,有些动物是牛;所以,有些动物有角。
(P(x):
x是牛;Q(x):
x有角;R(x):
x是动物)
8、每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车;每个人或者喜欢坐汽车或者喜欢骑自行车;有的人不喜欢骑自行车。
因而有的人不喜欢步行。
(先将推理在一阶逻辑中符号化,随后验证其正确性)
五、解答题(本题10分,1*10’=10’)
1、某班有25个学生,其中14人会打篮球,12人会打排球,6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球。
而6个会打网球的人都会打另外一种球(指篮球或排球),求不会打这三种球的人数。
2、120名学生参加考试,这次考试有A、B和C共3道题,考试结果如下:
12名学生3道题都做对了;20名学生做对A和B;16名学生做对A和C;28名学生做对B和C;做对A题的有48名学生;做对B题的有56名学生;还有16名学生一道题也没做对。
试求做对了C题的学生有多少名。
3、已知100个学生中有32人学数学,20人学物理,45人学生物,15人学数学和生物,7人学数学和物理,10学物理和生物,30人这三门课一门也没学。
问三门课程全部都学的学生人数是多少?
4、设A={a,b,c},求A上所有的等价关系。
5、给定权1,4,9,16,25,36,49,64,81,100;构造一棵最优二叉树。
6、画出哈斯图:
设B={a,b,c},R={|s1s2s1,s2P(B)}
7、偏序集
的关系图如下图所示,
(1)画出
的哈斯图;
(2)设B={b,c},求B的所有上界、上确界,下界和下确界。
8、给定算式[(a+b)*c*(d+e)]-[f-g*h],试用根树表示。
六、证明题:
(本题10分,1*10’=10’)
1、R是A上的二元关系,证明:
如果R是对称的,当且仅当R=R-1,且R-1也是对称的。
2、设R是A上的二元关系,试证:
R是传递的当且仅当R2R。
3、设R是A上一个二元关系,S={|a,bA∧(对于某一个cA,有R且R)}
试证:
若R是A上一个等价关系,则S也是A上的一个等价关系。
4、设R1是非空集合A上的自反和传递的二元关系,R2也是A上的二元关系,且有
R2R1∧R1
证明:
R2是A上的等价关系。
5、设f:
A→B,g:
B→C,证明
(1)若f,g都是满射,则g◦f:
A→C也是满射;
(2)若f,g都是单射,则g◦f:
A→C也是单射;
6、若f:
AB是从A到B的函数,定义一个函数g:
B2A对任意bB有g(b)={x|(xA)∧(f(x)=b)},
证明:
若f是A到B的满射,则g是从B到
的单射。
7、给定代数系统U=,V=,W=。
设f:
XY是从U到V的同态,g:
YZ是从V到W的同态。
证明:
gf:
XZ是从U到W的同态。
8、设是一个独异点,并且对于G中的每一个元素x都有x*x=x,其中e是幺元。
求证:
是一个阿贝尔群。
9、设是群,如果对于G中的任意两个元素a,b都有(ab)-1=a-1b-1,证明:
是可交换群。
10、证明:
f是一个从V1到V2的同态映射。
令V1=,V2=,Z6={0,1,2,3,4,5},
⊕6:
a,bZ6,a⊕6b=(a+b)mod6,f:
IZ6,f(j)=j(mod6),jI