高考圆锥曲线题型之共线向量问题.docx

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高考圆锥曲线题型之共线向量问题

题型五：

共线向量问题

解析几何中的向量共线，就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题，再通过未达定理------同类坐标变换，将问题解决。

此类问题不难解决。

例题7、设过点D（0,3）的直线交曲线M：

于P、Q两点，且

求实数

的取值范围。

分析：

由

可以得到

，将P（x1,y1）,Q（x2,y2）,代人曲线方程，解出点的坐标，用

表示出来。

解：

设P（x1,y1）,Q（x2,y2）,

（x1,y1-3）=

（x2,y2-3）

即

方法一：

方程组消元法

又

P、Q是椭圆

+

=1上的点

消去x2，

可得

即y2=

又

－2

y2

2，

－2

2

解之得：

则实数

的取值范围是

。

方法二：

判别式法、韦达定理法、配凑法

设直线PQ的方程为：

，

由

消y整理后，得

P、Q是曲线M上的两点

＝

即

由韦达定理得：

即

由

得

，代入

，整理得

，

解之得

当直线PQ的斜率不存在，即

时，易知

或

。

总之实数

的取值范围是

。

方法总结：

通过比较本题的第二步的两种解法，可知第一种解法，比较简单，第二种方法是通性通法，但计算量较大，纵观高考中的解析几何题，若放在后两题，很多情况下能用通性通法解，但计算量较大，计算繁琐，考生必须有较强的意志力和极强的计算能力；不用通性通法，要求考生必须深入思考，有较强的思维能力，在命题人设计的框架中，找出破解的蛛丝马迹，通过自己的思维将问题解决。

例题8：

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线

的焦点，离心率为

．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若

，

，求

的值．

分析：

（07福建理科）如图，已知点

（1，0），直线l：

x＝－1，P为平面上的动点，过

作直线l的垂线，垂足为点

，且

（Ⅰ）求动点

的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知

，求

的值。

小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分14分.

解法一：

（Ⅰ）设点

，则

，由

得：

，化简得

.

（Ⅱ）设直线

的方程为：

.

设

，

，又

，

联立方程组

，消去

得：

，

，故

由

，

得：

，

，整理得：

，

，

解法二：

（Ⅰ）由

得：

，

，

，

所以点

的轨迹

是抛物线，由题意，轨迹

的方程为：

.

（Ⅱ）由已知

，

，得

.

则：

.…………①

过点

分别作准线

的垂线，垂足分别为

，

，

则有：

.…………②

由①②得：

，即

.

练习：

设椭圆

的左、右焦点分别为

、

，A是椭圆C上的一点，且

，坐标原点O到直线

的距离为

．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点

，较y轴于点M，若

，求直线l的方程．

山东2006理

双曲线C与椭圆

有相同的焦点，直线y=

为C的一条渐近线。

（I）求双曲线C的方程；

（

）过点P（0,4）的直线

，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）。

当

，且

时，求Q点的坐标。

解：

（Ⅱ）解法一：

由题意知直线

的斜率

存在且不等于零。

设

的方程：

，

则

在双曲线

上，

同理有：

若

则直线

过顶点，不合题意.

是二次方程

的两根.

，

此时

.

所求

的坐标为

.

解法二：

由题意知直线

的斜率

存在且不等于零

设

的方程，

，则

.

，

分

的比为

.

由定比分点坐标公式得

下同解法一

解法三：

由题意知直线

的斜率

存在且不等于零

设

的方程：

，则

.

，

.

，

，

，

又

，

即

将

代入

得

，否则

与渐近线平行。

。

解法四：

由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设

的方程：

，

则

。

同理

.

即

（*）

又

消去y得

.

当

时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，

。

由韦达定理有：

代入（*）式得

所求Q点的坐标为

。

练习：

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线

的焦点，离心率等于

。

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）点P为椭圆上一点，弦PA、PB分别过焦点F1、F2，（PA、PB都不与x轴垂直，其点P的纵坐标不为0），若

，求

的值。

解：

（1）设椭圆C的方程为：

，则b=1，由

，得

，则椭圆的方程为：

（2）由

得：

，设

，

有

得：

解得：

，

根据PA、PB都不与x轴垂直，且

，设直线PA的方程为：

，代人

，整理后，得：

根据韦达定理，得：

，则

，

从而，

同理可求

则

由

为椭圆

上一点得：

，

则

，

故

的值为18.