高考山东卷理科数学试题及解答.docx
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高考山东卷理科数学试题及解答
普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学
一选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项。
1若z=cosθ+isinθ（i为虚数单位），则z2=-1的θ值可能是
π
（A）
6
（B）
ππ
（C）
43
π
（D）
2
2已知集合M={-1,1}，N=⎧x1<2x+1<4,x∈Z⎫，则M⋂N=
⎨2⎬
⎩⎭
（A）{-1,1}
（B）{-1}
（C）{0}（D）{-1,0}
3下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是
（A）
（1）,
（2）（B）
（1）,（3）（C）
（1）,（4）（D）
（2）,（4）
4
设a∈⎧-1,1,1,3⎫，则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为
⎨2⎬
⎩⎭
（A）1,3（B）
-1,1
（C）-1,3
（D）
-1,1,3
ππ
5函数y=sin（2x+
）+cos（2x+
63
）的最小正周期和最大值分别为
（A）π,1
（B）
π,2
（C）2π,1
（D）2π,
6给出下列三个等式：
f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），
f（x）+f（y）
f（x+y）=
1-f（x）f（y）
。
下列函数中不满足其中任何一个等式的是
（A）f（x）=3x
（B）
f（x）=sinx
（C）
f（x）=log2x
（D）
f（x）=tanx
7命题“对任意的x∈R，x3-x2+1≤0”的否定是
（A）不存在x∈R，x3-x2+1≤0
（C）存在x∈R，x3-x2+1>0
（B）存在x∈R，x3-x2+1≤0
（D）对任意的x∈R，x3-x2+1>0
8某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式
分成六组：
第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，
成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等
于18秒且小于19秒。
右图是按上述分组方法得到的频率分
布直方图。
设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可分析出x和y分别为
（A）0.9,35（B）0.9,45（C）0.1,35（D）0.1,45
频率
0.36
0.34
0.18
0.06
0.04
0.02
013141516171819秒
9下列各小题中，p是q的充要条件的是
（1）p:
m<2或m>6；q:
y=x2+mx+m+3有两个不同的零点。
f（-x）
（2）p:
f（x）
=1;
q:
y=f（x）是函数。
（3）p:
cosα=cosβ;
（4）p:
A⋂B=A;
q:
tanα=tanβ。
q:
CUB⊆CUA。
（A）
（1）,
（2）（B）
（2）,（3）（C）（3）,（4）（D）
（1）,（4）
10阅读右边的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S和T的值依次是
（A）2500,2500（B）2550,2550
（C）2500,2550（D）2550,2500
11.在直角∆ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是
2
（A）AC
=AC⋅AB
（B）
2
BC
=BA⋅BC
2
（C）AB
=AC⋅CD
（D）
2
CD
（AC⋅AB）⨯（BA⋅BC）
2
AB
12位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：
质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或
1
向右，并且向上、向右移动的概率都是
2
.质点P移动5次后位于点（2,3）的概率为
（A）15（B）215
（C）313
（D）2315
（2）C5
（2）
C5
（2）
C5C5
（2）
注意事项：
第Ⅱ卷（共90分）
1.用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔直接答在试题卷上.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
得分
评卷人
二、填空题：
本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上.
（13）设O是坐标原点，F是抛物线y2=2px（p>0）的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹
角为60°,则
为.
⎧x+2y≤10
⎪2x+y≥3,
（14）设D是不等式组
⎪0≤x≤4,
⎪⎩y≥1
表示的平面区域，则D中的点P（x,y）到直线x+y=10距离的最
大值是.
（15）与直线x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是.（16）函数y=loga（x+3）-1（a>0,a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0,则
1
+2的最小值为.
mn
三、解答题：
本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
得分
评卷人
（17）（本小题满分12分）设数列{a
}满足a+3a+32a+…+3n-1a=n,n∈N*.
n
n
（Ⅰ）求数列{an}的通项；
123
（Ⅱ）设bn=
n，求数列{ban
}的前n项和Sn.
得分
评卷人
（18）（本小题满分12分）
设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数
（重根按一个计）．
（Ⅰ）求方程x2+bx+c=0有实根的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望；
（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c=0有实根的概率．
得分
评卷人
（19）（本小题满分12分）
如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC．
（Ⅰ）设E是DC的中点，求证：
DE∥平面ABD；D1
111C1
（Ⅱ）求二面角A1-BD-C1的余弦值．1B1
DECAB
得分
评卷人
（20）（本小题满分12分）如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向
匀速直线航行.当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A1处时，乙船航行到甲船的北偏
西120°方向的B1处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？
得分
评卷人
（21）（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1；
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l1y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：
直线l过定点，并求出该定点的坐标.
得分
评卷人
（22）（本小题满分14分）设函数f（x）=x2+bln（x+1）,其中b≠0.
1
（Ⅰ）当b>
2
时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数n,不等式ln（（1
n
+1）>1
n2
-
1）都成立.
n3
参考答案：
DBDAAB，CADDCB
13．【答案】:
21p
2
14．【答案】:
42.
15．【答案】:
.
（x-2）2+（y-2）2=2
16．【答案】:
8。
17【答案】:
（I）a+3a+32a+...3n-1a=n,
123n3
a+3a+32a
+...3n-2a
=n-1（n≥2）,
123
n-13
3n-1a
=n-n-1=1（n≥2）.
333
an=
1（n≥2）.
3n
验证n=1时也满足上式，an
=1（n∈N*）.3n
n
（II）b=n⋅3n，
n
S=1⋅3+2⋅32+3⋅33+...n⋅3n
n
3S==1⋅32+2⋅33+3⋅34+...n⋅3n+1
n
-2S=3+32+33+3n-n⋅3n+1
-2Sn=
3-3n+1
1-3
-n⋅3
n+1，
S=n⋅3n+1-1⋅3n+1+3⋅
n244
18【答案】:
（I）基本事件总数为6⨯6=36，
若使方程有实根，则∆=b2-4c≥0，即b≥2。
当c=1时，b=2,3,4,5,6；
当c=2时，b=3,4,5,6；当c=3时，b=4,5,6；当c=4时，b=4,5,6；当c=5时，b=5,6；
当c=6时，b=5,6,
目标事件个数为5+4+3+3+2+2=19,
因此方程x2+bx+c=0
19
有实根的概率为.
36
（II）由题意知，ξ=0,1,2，则
172117
P（ξ=0）=，P（ξ=1）==,P（ξ=2）=，
36
故ξ的分布列为
361836
ξ
0
1
2
P
17
36
1
18
17
36
ξ的数学期望Eξ=0⨯+1⨯+2⨯=1.
361836
（III）记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，“方程ax2+bx+c=0
有实根”为事件N，则
P（M）=11，P（MN）=7，
3636
P（MN）7
P（NM）==.
P（M）11
19【答案】:
（I）连结BE，则四边形DABE为正方形，
∴BE=AD=A1D1，且BEADA1D1，
∴四边形A1D1EB为平行四边形，
∴D1EA1B.
D1E⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD
∴D1E平面A1BD.
（II）以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设
DA=1，则D（0,0,0）,A（1,0,0）,B（1,1,0）,C1（0,2,2）,A1（1,0,2）.
∴DA1=（1,0,2）,DB=（1,1,0）.
设n=（x,y,z）为平面A1BD的一个法向量，
⎧x+2y=0
⎩
由n⊥DA1,n⊥DB得⎨x+y=0，取z=1，则n=（-2,-2,1）.
设m=（x1,y1,z1）为平面C1BD的一个法向量，
⎧2y1+2z1=0
由m⊥DC,m⊥DB得⎨
，
x+y=0
⎩11
取z1=1,则m=（1,-1,1）.
cos=
m⋅n
=-3=-3.
mn9⋅3
由于该二面角A1-BD-C1为锐角，
所以所求的二面角A1-BD-C1的余弦值为3.
20【答案】解如图，连结AB，AB=102，AA=20⨯30
=10，
1222
1260
∆A1A2B2是等边三角形，∠B1A1B2=105︒-60︒=45︒，在∆A1B2B1中，由余弦定理得
BB2=AB2+AB2-2AB⋅AB
cos45︒
1211121112
=20
2+（102）2
，
-2⨯20⨯102⨯=200
2
B1B2=102.
因此乙船的速度的大小为
⨯60=302.
20
答：
乙船每小时航行30
海里.
x2
21【答案】（I）由题意设椭圆的标准方程为
a2
a+c=3,a-c=1，a=2,c=1,b2=3
∴x2+y2=
y2
b21（ab0）
1.
43
⎧y=kx+m
⎪
（II）设A（x1,y1）,B（x2,y2），由⎨x2+y2=得
⎩43
（3+4k2）x2+8mkx+4（m2-3）=0，
∆=64m2k2-16（3+4k2）（m2-3）>0，3+4k2-m2>0.
x+x=-8mk,x⋅x=
123+4k212
4（m2-3）
3+4k2.
223（m2-4k2）
y1⋅y2=（kx1+m）⋅（kx2+m）=kx1x2+mk（x1+x2）+m=
3+4k2.
以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2,0）,kAD⋅kBD=-1，
∴y1⋅y2
=-1，yy+xx-2（x+x）+4=0，
x-2x-2
121212
12
3（m2-4k2）4（m2-3）16mk
+++4=0，
3+4k2
3+4k2
3+4k2
7m2+16mk+4k2=0，解得
m=-2k,m=-2k，且满足3+4k2-m2>0.
127
当m=-2k时，l:
y=k（x-2），直线过定点（2,0）,与已知矛盾；
当m=-时，l:
y=k（x-
7
22
），直线过定点（,0）.77
2
综上可知，直线l过定点，定点坐标为（,0）.
7
22【答案】（I）函数f（x）=x2+bln（x+1）的定义域为（-1,+∞）.
f'（x）=2x+b=
x+1
2x2+2x+b
，
x+1
令g（x）=2x2+2x+b，则g（x）在⎛-1,+∞⎫上递增，在⎛-1,-1⎫上递减，
ç2⎪ç2⎪
g（x）
min
1
⎝⎭⎝⎭
=g（-1）=-1+b.
22
1
当b>2时，g（x）min=-2+b>0，
g（x）=2x2+2x+b>0在（-1,+∞）上恒成立.
∴f'（x）>0,
即当b>1时,函数f（x）在定义域（-1,+∞）上单调递增。
2
（II）分以下几种情形讨论：
（1）由（I）知当b>时函数f（x）无极值点.
2
（2）当b=1时，f'（x）=
2
2（x+1）2
2，
x+1
∴x∈⎛-1,-1⎫时，f'（x）>0,
ç2⎪
⎝⎭
x∈⎛-1,+∞⎫时，f'（x）>0,
ç2⎪
⎝⎭
∴b=1时，函数f（x）在（-1,+∞）上无极值点。
2
（3）当b<1时，解f'（x）=0得两个不同解x
=-1-
1-2b，x
=-1+
1-2b
.
2
当b<0时，x
=-1-
1-2b<-1，x
1
=-1+
222
1-2b>-1，
1222
∴x1∉（-1,+∞）,x2∈（-1,+∞）,
此时f（x）在（-1,+∞）上有唯一的极小值点x2
=-1+1-2b.
2
当02
f'（x）在（-1,x）,（x,+∞）都大于0，f'（x）在（x,x）上小于0，
12
此时f（x）有一个极大值点x1=
12
2和一个极小值点x2=
-1+
1-2b
.
2
综上可知，b<0时，f（x）在（-1,+∞）上有唯一的极小值点x2
=-1+1-2b；
2
0=-1-
1-2b
和一个极小值点x
=-1+
1-2b
；
21222
b≥1时，函数f（x）在（-1,+∞）上无极值点。
2
（III）当b=-1时，f（x）=x2-ln（x+1）.
令h（x）=x3-f（x）=x3-x2+ln（x+1）,则
'3x3+（x-1）2
h（x）=
x+1
在[0,+∞）上恒正，
∴h（x）在[0,+∞）上单调递增，当x∈（0,+∞）时，恒有h（x）>h（0）=0.
即当x∈（0,+∞）时，有x3-x2+ln（x+1）>0,ln（x+1）>x2-x3，
对任意正整数n，取x=1得ln（1+1）>1-1
nnn2n3
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