求数列通项公式和前N项和的方法.docx

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求数列通项公式和前N项和的方法

求数列前N项和的方法

1.公式法

等差数列前n项和：

特别的，当前n项的个数为奇数时，

，即前n项和为中间项乘以项数。

这个公式在很多时候可以简化运算。

等比数列前n项和：

q=1时，

，特别要注意对公比的讨论。

其他公式：

1、

2、

3、

[例1]

，求

的前n项和.

解：

由

由等比数列求和公式得

〔利用常用公式〕

＝

＝

＝1－

[例2]设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求

的最大值.

解：

由等差数列求和公式得

，

〔利用常用公式〕

∴

＝

＝

＝

∴当

，即n＝8时，

2.错位相减法

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.

[例3]求和：

………………………①

解：

由题可知，{

}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{

}的通项之积

设

……………………….②〔设制错位〕

①－②得

〔错位相减〕

再利用等比数列的求和公式得：

∴

[例4]求数列

前n项的和.

解：

由题可知，{

}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{

}的通项之积

设

…………………………………①

………………………………②〔设制错位〕

①－②得

〔错位相减〕

∴

练习：

求：

Sn=1+5x+9x2+······+（4n-3）xn-1

解：

Sn=1+5x+9x2+······+（4n-3）xn-1①

①两边同乘以x，得

xSn=x+5x2+9x3+······+（4n-3）xn②

①-②得，〔1-x〕Sn=1+4〔x+x2+x3+······+

〕-〔4n-3〕xn

当x=1时，Sn=1+5+9+······+〔4n-3〕=2n2-n

当x≠1时，Sn=11-x[4x（1-xn）1-x+1-〔4n-3〕xn]

3.反序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列〔反序〕，再把它与原数列相加，就可以得到n个

.

[例5]求

的值

解：

设

………….①

将①式右边反序得

…………..②〔反序〕

又因为

①+②得〔反序相加〕

＝89

∴S＝44.5

4.分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假设将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

[例6]求数列的前n项和：

，…

解：

设

将其每一项拆开再重新组合得

〔分组〕

当a＝1时，

＝

〔分组求和〕

当

时，

＝

[例7]求数列{n（n+1）（2n+1）}的前n项和.

解：

设

∴

＝

将其每一项拆开再重新组合得

Sn＝

〔分组〕

＝

＝

〔分组求和〕

＝

练习：

求数列

的前n项和。

解：

5.裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项〔通项〕分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终到达求和的目的.通项分解〔裂项〕如：

〔1〕

〔2〕

〔3〕

〔4〕

〔5〕

（6）

[例9]求数列

的前n项和.

解:

设

〔裂项〕

那么

〔裂项求和〕

＝

＝

[例10]在数列{an}中，

，又

，求数列{bn}的前n项的和.

解：

　∵

∴

〔裂项〕

∴数列{bn}的前n项和

〔裂项求和〕

＝

＝

[例11]求证：

解：

设

∴

〔裂项〕

∴

〔裂项求和〕

＝

＝

＝

＝

∴　原等式成立

6.合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.

[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.

解：

设Sn＝cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°

∵

〔找特殊性质项〕

∴Sn＝〔cos1°+cos179°〕+〔cos2°+cos178°〕+〔cos3°+cos177°〕+···

+〔cos89°+cos91°〕+cos90°〔合并求和〕

＝0

[例13]数列{an}：

，求S2002.

解：

设S2002＝

由

可得

……

∵

〔找特殊性质项〕

∴S2002＝

〔合并求和〕

＝

＝

＝

＝5

[例14]在各项均为正数的等比数列中，假设

的值.

解：

设

由等比数列的性质

〔找特殊性质项〕

和对数的运算性质

得

〔合并求和〕

＝

＝

＝10

7.利用数列的通项求和

先根据数列的构造及特征进展分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项提醒的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

[例15]求

之和.

解：

由于

〔找通项及特征〕

∴

＝

〔分组求和〕

＝

＝

＝

以上一个7种方法虽然各有其特点，但总的原那么是要善于改变原数列的形式构造，使其能进展消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它的根本求和公式来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。

求数列通项公式的八种方法

一、公式法〔定义法〕

根据等差数列、等比数列的定义求通项

二、累加、累乘法

1、累加法适用于：

假设

，那么

两边分别相加得

例1数列

满足

，求数列

的通项公式。

解：

由

得

那么

所以数列

的通项公式为

。

例2数列

满足

，求数列

的通项公式。

解法一：

由

得

那么

所以

解法二：

两边除以

，得

，

那么

，故

因此

，

那么

2、累乘法适用于：

假设

，那么

两边分别相乘得，

例3数列

满足

，求数列

的通项公式。

解：

因为

，所以

，那么

，故

所以数列

的通项公式为

三、待定系数法适用于

分析：

通过凑配可转化为

;

解题根本步骤：

1、确定

2、设等比数列

，公比为

3、列出关系式

4、比拟系数求

，

5、解得数列

的通项公式

6、解得数列

的通项公式

例4数列

中，

，求数列

的通项公式。

解法一：

又

是首项为2，公比为2的等比数列

，即

解法二：

两式相减得

，故数列

是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的……

例5数列

满足

，求数列

的通项公式。

解法一：

设

，比拟系数得

，

那么数列

是首项为

，公比为2的等比数列，

所以

，即

解法二：

两边同时除以

得：

，下面解法略

注意：

例6数列

满足

，求数列

的通项公式。

解：

设

比拟系数得

，

所以

由

，得

那么

，故数列

为以

为首项，以2为公比的等比数列，因此

，那么

。

注意：

形如

时将

作为

求解

分析：

原递推式可化为

的形式，比拟系数可求得

，数列

为等比数列。

例7数列

满足

，求数列

的通项公式。

解：

设

比拟系数得

或

，不妨取

，

那么

，那么

是首项为4，公比为3的等比数列

，所以

四、迭代法

例8数列

满足

，求数列

的通项公式。

解：

因为

，所以

又

，所以数列

的通项公式为

。

注：

此题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。

五、变性转化法

1、对数变换法适用于指数关系的递推公式

例9数列

满足

，

，求数列

的通项公式。

解：

因为

，所以

。

两边取常用对数得

设

〔同类型四〕

比拟系数得，

由

，得

，

所以数列

是以

为首项，以5为公比的等比数列，那么

，因此

那么

。

2、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项

例10数列

满足

，求数列

的通项公式。

解：

求倒数得

为等差数列，首项

，公差为

，

3、换元法适用于含根式的递推关系

例11数列

满足

，求数列

的通项公式。

解：

令

，那么

代入

得

即

因为

，

那么

，即

，

可化为

，

所以

是以

为首项，以

为公比的等比数列，因此

，那么

，即

，得

。

六、数学归纳法通过首项和递推关系式求出数列的前n项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法加以证明。

例12数列

满足

，求数列

的通项公式。

解：

由

及

，得

由此可猜想

，下面用数学归纳法证明这个结论。

〔1〕当

时，

，所以等式成立。

〔2〕假设当

时等式成立，即

，那么当

时，

由此可知，当

时等式也成立。

根据〔1〕，〔2〕可知，等式对任何

都成立。

七、阶差法

1、递推公式中既有

，又有

分析：

把关系通过

转化为数列

或

的递推关系，然后采用相应的方法求解。

例13数列

的各项均为正数，且前n项和

满足

，且

成等比数列，求数列

的通项公式。

解：

∵对任意

有

∴当n=1时，

，解得

或

当n≥2时，

⑵

-⑵整理得：

∵

各项均为正数，∴

当

时，

，此时

成立

当

时，

，此时

不成立，故

舍去

所以

2、对无穷递推数列

例14数列

满足

，求

的通项公式。

解：

因为

①

所以

②

用②式－①式得

那么

故

所以

③

由

，

，那么

，又知

，那么

，代入③得

。

所以，

的通项公式为

八、不动点法

不动点的定义：

函数

的定义域为

，假设存在

，使

成立，那么称

为

的不动点或称

为函数

的不动点。

分析：

由

求出不动点

，在递推公式两边同时减去

，在变形求解。

类型一：

形如

例15数列

中，

，求数列

的通项公式。

解：

递推关系是对应得递归函数为

，由

得，不动点为-1

∴

，……

类型二：

形如

分析：

递归函数为

〔1〕假设有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q，再将两式相除得

，其中

，∴

〔2〕假设有两个一样的不动点p，那么将递归关系式两边减去不动点p，然后用1除，得

，其中

。

例16数列

满足

，求数列

的通项公式。

解：

令

，得

，那么

是函数

的两个不动点。

因为

。

所以数列

是以

为首项，以

为公比的等比数列，故

，那么

。