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微积分必考题
微积分必考题（总15页）
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微积分（B）上册必考题
微积分的必考可能难题是：
求极限，求积分，微分方程，证明等式和不等式，应用题（相关变化率，微分方程，元素法求平面图形体积面积弧长和一些物理问题，此处难点在积分和微分方程的求解）
一、极限
求极限的儿个原则：
a.能先求的先求，能化简的化简，能等价无穷小替换就替换
b.洛必达法则
c.泰勒公式无敌
后面两种方法要把式子变为分式（可采用倒代换）
1•用四则运算求极限
对于非未定式，考试有可能表达式看起来很难，但实际上直接带入求极限，别犯傻！
2.用两个重要极限，这里只讲幕指函数极限
幕指函数，且里面极限是1,就可以凑一个“1+”，
在用两个重要极限求极限时，若底数化成e指数出现了带有极限变量的乘积项，则可用倒代换化成分式。
limfcos-+ksin-}x吧曲斗+山尹）
XSXX?
匕
此时，令
用泰勒公式展开即可。
3.等价无穷小的替换，实际上是泰勒公式的特殊情况，只
不过就展开了一项
4.能求出的极限先求出来（其实也是泰勒公式的展开，只
不过就展开了一个常数项而已）
（xa/1
lim（"l+t3nx_Vl+sinx）（Jl+tmnx+Jl+sinx]）+sin2x-x）（71+tanx+Jl+sinx）恤（tanx（l-cosx））CTO（xG+sin2x-x）（Jl+tanx+Jl+sinx）
上面两个等价无穷小替换，下面有一项能先求出来。
杓先求出来的向在极限过程中与等价无穷小替换一样，必须是一个乘积项
5•洛必达法则
**用之前，判断未定式III
上下项数不多，导数好求。
缺点：
比如sinx等等永远无法用多项式表示，若遇
到上下鬲次很高，求导将变得十分复杂。
l+|x2-Vl+x2如:
忸，（cosx—/）sin（x2））
直接就能看岀来
6•泰勒公式
把非多项式函数近似成多项式函数•用泰勒公式之前，先想想是否可以等价无穷
小替换。
缺点：
展开式可能复杂，需要记忆
如：
下面显然可以用等价无穷小替换，而上面只需要第一项的局部麦克劳林公式即可，需要记住这些：
『血（1++x「sinx£osx
1
有关泰勒公式的几个问题：
92
1.0（X・X）o（X）
2.o（x+l）o（x）
3.o（2x）o（x）
4.X*O（X2）=O（X3）5.O（X2）*O（X3）=O（X5）
o（x）
想X*时的分式函数能用泰勒公式展开吗?
二、求积分
求某函数的原函数后，原函数必须在与这个函数的同定义区间内可微。
如f（x）=sgn（x）没有原函数（假设有，在x=0不可微），因此有：
每一个有第一类间断点的函数都没有原函数。
求积分的几个原则：
1•基本类型
2.照方抓药型（相差一个线性函数）
3.0in2xcos5xdx型
有sin找cos,没有现成的cos用半角公式，如：
sin—cos—22Qinx"x.用半角公式:
tan—
tan—cos
22
4•第二类换元法，一般换：
根号下的，角频率中的，重复项，换元后回带
第二类换元法开方出来小心绝对值
根式代换：
5
倒代换（分母阶数较高）
最小公倍数根式代换
角频率代换:
l+“n汕x=nt
5.分数乘积化为部分分式代数和
二次质因式配方
首先■假分式可以化为真分式
6•使用分部积分
三个典型的分部积分
1若被积函数是需函数和正（余）弦函数或壽函数和指数函数的乘积、就考虑设幕函数为叽
（2若被积函数是需函数和对数函数或幕函数和反三角函数的乘积，就考
虑设对数函数或反三角函数为U
③&Pnxdx与卜Mln”）必•出现循环序（每次要把相同的东西往微分符号中凑）
除典型分部积分以外，还有这些要分部：
①&皿dx如果换元变成2^e3tdt（t=4x），变为了典型的分部积分
arctanx
、x匕1arctanx
（20Tdx有一大部分都可以往微分符号中放，如此题中的e
（i+x2y
③c?
rctanxdx,Q；in（lnx）rfx别无选择，只能分部
7.观察e/（x）m/（x））dx直接凑微分
&积化和差公式
定积分：
几个常用定积分公式
枠观察积分区间和函数奇偶
12x^+xcosx
如—dx・,可以分出一个偶函数，剩—个奇函数
I+a/1-x2
杯直接利用图形面积:
■X?
，半个单位圆
杠把极限式化为积分式：
如果插入分点平均：
水最常用：
当a=o：
再特殊的，b=l,就有……
它表示曲边梯形面积的代数和，如果求曲边梯形的面积，那么要讨论f（x）
与0的关系！
以后看到类似的题，可以先把上面的通式写下来，对号入座找f。
b-a
广义积分:
极限符号一定要标出左右才不会出错！
看清瑕点（邻域内无界的点），是否为广义积分？
—些代数恒等变形:
积化和差：
角频率不同的函数的积
倍角化为平方，一般凑（secx）愆及d（tanx）
如.Qinxsin2xsin3xdx
三、微分方程
这里主要看微分方程的类型判断：
a.—阶微分方程
1先可化为律通过上下同除或凑微分，看看是不是齐次方程
dy_f（y}
齐次方程臥一几7>
dy
2，把条放到左边去，再找y的一次项。
看是否是一阶线性齐次或非其次方程，或伯努利方程。
如果不行，把自变量与函数，重复以上方法试试。
3
如果需要换元，前面积分的换元方法是一种思想。
记住，换元是一种工具,不是求解特定题（积分）的套路。
例：
xdy-[y+x）73（l+lnx]]dx=0
哭-^=（l+lnx]y3（步骤2第—句话）
变成伯努利方程，判型成功
利用角频率代换，令xy=u.
那么对于In等利用凑微分解微分方程
=（x+jz）：
把x+y放到左边分子的微分符号中.因为：
b・可降阶的高阶微分方程、观察即可判型：
不显含x,就别添x,令y'=pM=p不显含y,就别添y,令y，=PW=P
c.高阶常系数微分方程（齐次，非齐次）齐次，求特征方程的根，一项一项写：
有一个单实根r:
C尹
有—个k重实根r：
（C14-C2x+...+Ckxkl）e/x
有一对k重共辄复根：
（G4-C2x+...+Ckxk'i）cosbx+（2+D2x+...+Dkxk'Jsinbx）
非齐次，一般，我们只会求二阶的特解：
类型_：
e，xPmW，则y*=x"e"打（x）
k取决于/是特征方程的几重根
类型二0（弓（x）cos必+©（x）sin必）则
jz*=x电"（R：
（x）coswx+/?
2Jx]sinwx}
n=max（/;m）
k取决于/士M是否为特征方程的根
四、相关变化率应用题
如何列方程？
找所求，找已知，用微分形式表达，再找微分变量之间的关系。
例题：
dhdV
厂2
分析求dt已知dt而^=4000\3/?
，这样有了
dV_d（4000轴J_4000爺*2/?
d/i
~dt=dt=dt'发现11与dV/dt都
已知了。
五、等式与不等式的证明
几大方法：
中值定理，函数的单调性，函数的凸凹性
罗尔定理三条件，闭区间连续，开区间可导
罗尔定理：
两端函数值相等，则必有一点导数值为0
拉格朗曰中值定理：
两点割线斜率等于某一点切线斜率
柯西中值定理:
函数值的増量比等于某位置导数的比（两个函数）
函数的单调性证明不等式：
高中方法，较为简单
函数的凸凹性证明不等式：
注重凸凹性的定义
丿I2丿与2的关系
在不等式中，可以采用如下放缩，估计积分大致范围:
（b・a）m£Qf（x）dx£（b・是区间上的最小值，m最大值
杯如果证明函数是具体的，如：
左右直接相减，用拉格朗曰定理后放缩再与o比即可
积分中值定理证明设/（兀）可导且lim/（兀）=1求。
/\
解法：
令xl[x,x+2]•直接用积分中值定理
六、图形应用题
弧微分ds=J（dx）2+（奶2=J1+”2|dx[=]l+（软岡
曲率八=2曲率半径
（1+代3
1•求平面图形面积:
直角坐标，参数方程：
以小矩形近似代替，积分变量XJ都可以
极坐标方程：
以圆扇形近似代替
常见的直角坐标方程：
222
X3+y3=q3星型线
几个常见的极坐标方程：
22
r=acos2g双纽线，哑铃型厂=a（l+cosg）心脏线
常见的参数方程：
x=q（£-sint）摆线y=a（l-cost）
x=acost
星型线
•3亠
y=asmt
2•求体积
**星型线与其他已经有对称性的线求旋转体时只用求半个部分。
如：
星型线绕
x轴，体积元素为pydx
柱壳法：
摆线绕y轴，原方法积分限比较易错，此时用柱壳法即可，柱壳法小心绝对值。
柱壳法避免了相减的问题，最后与原方法表达式等价。
（相当于底面积为ydx或xdy,高为2qR的薄的柱壳）
3.弧长
直角坐标：
参数方程：
ds=J"（£）+M（Od£极坐标方程：
ds=JX（g）+^（g）dg
七、元素法对物理的应用
怎么建系好？
一般地,下述规律适用：
对于运动，顺着运动方向建系，选择开始有力的地方作为原点。
如：
抽水做
功，水从上往下走。
对于压力，顺着压力増大的地方建系，选择开始有力的地方做为原点。
其他几章的常用方法：
一、导数与微分
1•点导数的定义，包括单侧导数，二阶甚至k阶导数
2.莱布尼茨公式，求u*v的n阶导一把二项式展开的几次方改为几阶导
n
acw心严
5n
因为liv在乘法中可互换，所以此处UV也可互
k=0
换。
3•—些高阶导数的公式
x2
有些高阶导数求之前要变形为这几个基本导数
化为代数和
y=smx+cosx不停地拆平方和变为1,最终用倍角表
4•对数求导法（适用于多个函数相乘和幕指函数）
二、导数应用（绘制函数图像）
导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点.绘制函数图像的几个步骤：
1•定义域，奇偶性，周期性，与坐标轴交点
2•单调性，凸凹性，求极值点，极值，拐点（列表）
极值点：
第一、第二充分条件（使用第二充分条件要看函数是否二阶可导）
极值点有可能是f'（x）=0的点或f'（X）不存在的点
拐点有可能是厂（x）=0或厂（x）不存在的点
注意（一阶与二阶）不可导点和函数的间断点
3.水平渐近线（x->INF），铅直渐近线（y->INF）,斜渐近
-a=lim^b=limf^-ax
线（尸ax+b），xtoox,x->8,其实，
x->+ocXT+CO
X->-OCx—>-00
水平渐近线可以和斜渐近线一起考虑
4.取几个特殊点画出函数图像即可
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