最接近色.docx
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最接近色
◇最接近色
*最接近色搜尋方法研究－球殼範圍逼近法*
*作者：
邱奕南（Chi'uI-Nan）*
*版權聲明：
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*者，皆需負擔刑事責任及民事賠償責任。
*
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對於彩色影像的處理上，不管是處理抖色、更換色盤資料、或是全彩影像
轉色盤影像時，最接近色搜尋的速度往往決定這些影像處理的速度。
因此本文
的目的，便是要探討如何快速搜尋到最接近色。
首先將問題定義如下：
對於一個在RGB色彩空間、具有N個顏色的集合S=｛Ci｝，i=0～N-1，現給
定任一顏色C，請找出集合S中的一個顏色C'，使得C與C'在RGB色彩空間上
的距離最接近。
由於RGB色彩空間可視為一個立方體的三度空間，因此我們可將整個問題轉換成
三度空間幾何上的問題：
假設三度空間上有N個點Pi，i=0～N-1。
現給定任一點P，請在這N個點中找
出另一點P'，使得P與P'的距離最小。
解決這個問題最簡單的方法，便是循序搜尋法（SequentialSearch），也就是
算出每一個點Pi和點P的距離，然後一個點一個點的比較，自然便可找出和點P
距離最接近的點P'。
但是可想而知的是，這種方法的效率必然很差，因此我們
必須想辦法略去一些不必比較的點。
而要略去不必比較的點，首先便必須從目
前已算出最接近點的資訊上著手，由該點已算得的資訊略去一些必定較遠的點。
至於目前已算出最接近點中，有那些與距離相關的資訊可用來判斷某些未比較
點較遠呢？
我們先看下面的定理：
對於空間上點P和點Q，若其與原點O的距離為Rp和Rq，且點P和點Q的距離為
D，則D>=│Rp-Rq│。
證明：
三點O、P、Q成一三角形。
現已知OP=Rp，OQ=Rq，假設OP與OQ夾角為θ，則：
PQ=Sqrt（Rp^2+Rq^2-2RpRq*cosθ）
因此當θ=0（也就是OP與OQ重疊）時，PQ值最小，故
PQ>=Sqrt（Rp^2+Rq^2-2RpRq*cos0）=│Rp-Rq│
現在我們先假設已存在的N個點Pi，若其與原點距離為Ri，而給定點P，其與原
點距離為R，與點Pi距離為Di。
則當目前最接近點P'與點P的距離為D'時，任何
一點Pj，只要符合Dj>=D'時，由於其距離不會比較近，因此便不需去比較這
個點Pj了。
然而我們並未算出Dj的值呀？
這時候便可用上面的定理了。
當下式
成立時：
D'<=abs（R-Rj）
由於abs（R-Rj）<=Dj，因此D'<=Dj。
也就是說，只要任何一點Pj，其與原點
距離Rj代入上式成立時，便不需去比較了。
從另外一個角度來看，若我們已算
出目前最接近點與點P的距離D'時，則所有與原點相距在（R-D',R+D'）範圍以外
的其他點都不必再去比較了。
接下來我們再考慮距離的計算方式。
一般距離的定義為sqrt（x^2+y^2+z^2），
但由於必須有三個乘法且必須開根號，其速度會慢很多。
因此，我們可以將色
彩距離的定義改為：
D'=│R-Rj│+│G-Gj│+│B-Bj│
由於
│R-Rj│+│G-Gj│+│B-Bj│>=│（R-Rj）+（G-Gj）+（B-Bj）│
因此D'<=abs（R-Rj）的式子依然成立。
如此在距離的計算上速度會比較快些。
至於採用這種距離定義，效果是否會變得太差？
這點倒不用擔心。
因為不管是
在影像處理或地貌比對上，絕對誤差和常用來取代平方誤差和，其效果雖較差
些，但差異並不大。
這點作者也實際驗證過。
最後我們將整個搜尋最接近色的
演算法列出如下：
1.算出顏色集合S中，每個顏色Ci與原點的距離Ri，並依Ri值大小排序好。
這個部份可事先算好。
2.算出給定顏色C與原點的距離R。
3.取出顏色集合中與原點距離亦為R（或附近）的顏色C'，並計算與顏色C
的距離為D'，得到搜尋範圍（R-D',R+D'）。
4.取出搜尋範圍（R-D',R+D'）中尚未比較過的點C"，並計算與顏色C的距離
為D"。
若D"5.重複步驟4，直到搜尋範圍（R-D',R+D'）中已無尚未比較過的點。
此時，
C'即為所要搜尋的最接近色。
現在我們已得到一種快速搜尋最接近色的方法了，但是我們要如何寫成程
式呢？
對於搜尋範圍的逼近，以及已比較點的略去，我們可以從已排序好的色
盤資料中，由初始計算（距離R）的顏色索引值開始往兩方向逐點計算，直到兩
方向所計算的顏色原點距均超出搜尋範圍為止。
至於顏色索引值的更新方式有
兩種，一種是依目前比較的顏色索引值漸增及漸減，一種是對目前搜尋距離值
漸增及漸減（利用距離區間的方式記錄應比較的顏色索引值）。
直覺上，前者
的速度應比後者快。
以下是這兩種方法的程式部份：
（一）顏色索引值增減逼近法
staticintColor_No;/*顏色數*/
staticunsignedcharUse_Palette[3][256];/*改變索引方式,以加速取值*/
staticunsignedcharPalette_Index[256];/*與原調色盤對應之索引值*/
staticunsignedintRGB_Distance[256];/*各顏色與原點距離*/
staticunsignedcharDistance_Index[765+1];/*相同原點距離索引值*/
voidSetPalette（intcolor_no,unsignedchar*palette）
{
/*------------------------------------------------------------
作用：
設定使用的調色盤資料
參數：
color_no=色彩數，1～256。
palette=色盤資料，依次為RGB，每色3byte。
------------------------------------------------------------*/
inti,j,min_index,min_distance,cur_distance,temp;
/*計算與原點距離*/
Color_No=color_no;
for（i=0;i{
Palette_Index[i]=i;
RGB_Distance[i]=palette[i*3]+palette[i*3+1]+palette[i*3+2];
}
/*依原點距離排序-使用MinimaxSort*/
cur_distance=0;
Distance_Index[0]=0;
for（i=0;i{
/*找出最小原點距離者*/
min_distance=RGB_Distance[i];
min_index=i;
for（j=i+1;jif（RGB_Distance[j]{
min_distance=RGB_Distance[j];
min_index=j;
}
/*將最小者調上來*/
j=Palette_Index[min_index];
Palette_Index[min_index]=Palette_Index[i];
Palette_Index[i]=j;
temp=RGB_Distance[min_index];
RGB_Distance[min_index]=RGB_Distance[i];
RGB_Distance[i]=temp;
/*記錄調色盤資料*/
Use_Palette[0][i]=palette[j*3];
Use_Palette[1][i]=palette[j*3+1];
Use_Palette[2][i]=palette[j*3+2];
/*更新距離索引範圍*/
for（j=cur_distance+1;j<=min_distance;j++）Distance_Index[j]=i;
cur_distance=min_distance;
}
for（j=cur_distance+1;j<=765;j++）Distance_Index[j]=color_no-1;
}
intGetNearestColor（intr,intg,intb）
{
/*------------------------------------------------------------
作用：
取得最接近色之索引值
參數：
r,g,b=RGB三色分量值
傳回：
最接近色在色盤資料上的索引值
限制：
呼叫前必須呼叫SetPalette設定使用之調色盤資料
------------------------------------------------------------*/
intmin_index,min_distance,distance,left_bound,right_bound;
intcur_distance,left_index,right_index;
intleft_distance,right_distance,left_ok,right_ok;
/*初始化:
先比較相同距離之色彩
色彩索引值可由Distance_Index中直接取得*/
distance=r+g+b;
left_index=right_index=min_index=Distance_Index[distance];
min_distance=abs（r-Use_Palette[0][min_index]）+
abs（g-Use_Palette[1][min_index]）+
abs（b-Use_Palette[2][min_index]）;
/*搜尋至超出範圍為止
搜尋範圍:
distance-min_distance～distance+min_distance
left_index,right_index:
兩方向目前比較的顏色索引值
left_distance,right_distance:
兩方向目前已搜尋到的原點距
left_bound,right_bound:
兩方向的搜尋範圍
left_ok,right_ok:
兩方向是否已超出搜尋範圍旗標*/
left_ok=right_ok=false;
left_distance=right_distance=distance;
left_bound=distance-min_distance;
right_bound=distance+min_distance;
for（;;）
{
/*往右搜尋*/
if（!
right_ok）
if（（++right_index>Color_No）||
（（right_distance=RGB_Distance[right_index]）>right_bound））
right_ok=true;
else
{
cur_distance=abs（r-Use_Palette[0][right_index]）+
abs（g-Use_Palette[1][right_index]）+
abs（b-Use_Palette[2][right_index]）;
if（cur_distance{
min_distance=cur_distance;
min_index=right_index;
left_bound=distance-min_distance;
right_bound=distance+min_distance;
if（left_distance}
}
/*往左搜尋*/
if（!
left_ok）
if（（--left_index<0）||
（（left_distance=RGB_Distance[left_index]）left_ok=true;
else
{
cur_distance=abs（r-Use_Palette[0][left_index]）+
abs（g-Use_Palette[1][left_index]）+
abs（b-Use_Palette[2][left_index]）;
if（cur_distance{
min_distance=cur_distance;
min_index=left_index;
left_bound=distance-min_distance;
right_bound=distance+min_distance;
if（right_distance>right_bound）right_ok=true;
}
}
/*兩邊都超出範圍時,即結束搜尋*/
if（left_ok&&right_ok）break;
}
returnPalette_Index[min_index];
}
（二）搜尋距離值增減逼近法
staticunsignedcharUse_Palette[3][256];/*改變索引方式,以加速取值*/
staticunsignedcharPalette_Index[256];/*與原調色盤對應之索引值*/
staticunsignedcharDistance_Index[765/9+2];/*相同原點距離索引值*/
staticunsignedintDistance_Divide;/*區間分割距離*/
staticunsignedintMax_Divide;/*最大的區間索引值*/
voidSetPalette（intcolor_no,unsignedchar*palette）
{
/*------------------------------------------------------------
作用：
設定使用的調色盤資料
參數：
color_no=色彩數，1～256。
palette=色盤資料，依次為RGB，每色3byte。
------------------------------------------------------------*/
inti,j,min_index,min_distance,cur_distance;
unsignedchardistance[256];
/*決定分割區間數，目前儘量使得每個區間約有3個顏色
除數：
16色=144，256色=9*/
Distance_Divide=2304/color_no;
Max_Divide=765/Distance_Divide;
/*計算與原點距離*/
for（i=0;i{
Palette_Index[i]=i;
distance[i]=（palette[i*3]+palette[i*3+1]+palette[i*3+2]）/
Distance_Divide;
}
/*依原點距離排序-使用MinimaxSort*/
cur_distance=0;
Distance_Index[0]=0;
for（i=0;i{
/*找出最小原點距離者*/
min_distance=distance[i];
min_index=i;
for（j=i+1;jif（distance[j]{
min_distance=distance[j];
min_index=j;
}
/*將最小者調上來*/
j=Palette_Index[min_index];
Palette_Index[min_index]=Palette_Index[i];
Palette_Index[i]=j;
distance[min_index]=distance[i];
/*記錄調色盤資料*/
Use_Palette[0][i]=palette[j*3];
Use_Palette[1][i]=palette[j*3+1];
Use_Palette[2][i]=palette[j*3+2];
/*更新距離索引範圍*/
for（j=cur_distance+1;j<=min_distance;j++）Distance_Index[j]=i;
cur_distance=min_distance;
}
for（j=cur_distance+1;j<=Max_Divide+1;j++）Distance_Index[j]=color_no;
}
intGetNearestColor（intr,intg,intb）
{
/*------------------------------------------------------------
作用：
取得最接近色之索引值
參數：
r,g,b=RGB三色分量值
傳回：
最接近色在色盤資料上的索引值
限制：
呼叫前必須呼叫SetPalette設定使用之調色盤資料
------------------------------------------------------------*/
inti,min_index,min_distance,cur_range,distance,end_index;
intcur_distance,search_range;
/*初始化:
搜尋相同距離區間之色彩*/
distance=（r+g+b）/Distance_Divide;
end_index=Distance_Index[distance+1];
min_distance=768;
for（i=Distance_Index[distance];i{
cur_distance=abs（r-Use_Palette[0][i]）+abs（g-Use_Palette[1][i]）+
abs（b-Use_Palette[2][i]）;
if（cur_distance{
min_distance=cur_distance;
min_index=i;
}
}
/*搜尋至超出範圍為止
搜尋範圍:
distance-search_range～distance+search_range*/
cur_range=1;
search_range=min_distance/Distance_Divide+1;
while（cur_range<=search_range）
{
/*往左搜尋一個區間*/
if（distance-cur_range>=0）
{
end_index=Distance_Index[distance-cur_range+1];
for（i=Distance_Index[distance-cur_range];i{
cur_distance=abs（r-Use_Palette[0][i]）+
abs（g-Use_Palette[1][i]）+
abs（b-Use_Palette[2][i]）;
if（cur_distance{
min_distance=cur_distance;
min_index=i;
search_range=min_distance/Distance_Divide+1;
}
}
}
/*往右搜尋一個區間*/
if（distance+cur_range<=Max_Divide）
{
end_index=Distance_Index[distance+cur_range+1];
for（i=Distance_Index[distance+cur_range];i{
cur_distance=abs（r-Use_Palette[0][i]）+
abs（g-Use_Palette[1][i]）+
abs（b-Use_Palette[2][i]）;
if（cur_distance{
min_distance=cur_distance;
min_index=i;
search_range=min_distance/Distance_Divide+1;
}
}
}
cur_range++;
}
returnPalette_Index[min_index];
}
上面兩個程式，我們以標準調色盤資料為準，R、G、B各以4倍增，全部呼叫次
數為262144次來做分析。
首先測得兩種方法的平均比較次數：
│循序搜尋法│程式一│倍差│程式二│倍差
───┼─────┼─────┼───┼─────┼───
16色│16次│5.5次│2.9│10.0次│1.6
256色│256次│39.9次│6.4│48.1次│5.3
因此在理論上來講，程式一的速度應較快。
但是實際在486DX2-66測試而得的速
度如下：
│循序搜尋法│程式一│倍差│程式二│倍差
───┼──
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