苏教版数学高一必修1教师用书 第1章 集合.docx

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苏教版数学高一必修1教师用书第1章集合

第1章　集合

1．1

集合的含义及其表示

（教师用书独具）

●三维目标

1．知识与技能

（1）初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法．

（2）初步了解“属于”关系的意义，理解集合相等的含义．

（3）初步了解有限集、无限集的意义，并能恰当地应用列举法或描述法表示集合．

2．过程与方法

（1）通过实例，初步体会元素与集合的“属于”关系，从观察分析集合的元素入手正确地理解集合．

（2）观察关于集合的几组实例，并通过自己动手举出各种集合的例子，初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义．

（3）通过实例体会有限集与无限集，理解列举法和描述法的含义，学会用恰当的形式表示给定集合，掌握集合的表示方法．

3．情感、态度与价值观

（1）了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．

（2）在学习运用集合语言的过程中，增强学生认识事物的能力，初步培养学生实事求是、扎实、严谨的科学态度．

●重点、难点

重点：

集合的含义及集合的表示方法．

难点：

集合的特征性质和概念以及运用特征性质用描述法表示一些简单的集合．

（教师用书独具）

●教学建议

1．关于集合含义的教学

建议教师在教学过程中通过大量具体实例，引导学生抽象出集合的含义，这样可以培养学生主动学习的习惯，提高阅读与理解、合作与交流的能力．

2．关于元素、集合及其关系的表示的教学

对于元素，集合的字母表示以及元素与集合之间的“属于”或“不属于”关系．建议教师让学生在具体运用中逐渐熟悉，对于常用数集的表示也要求学生记住．

3．关于列举法和描述法表示集合的教学

建议教师讲清元素不多的有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示，同时也要说明两种方法的优缺点．

●教学流程

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

课标解读

1.理解集合的含义，知道常用数集及其记法（重点）．

2．了解属于关系和集合相等的意义（重点）．

3．了解有限集、无限集、空集的意义．

4．掌握集合的表示方法——列举法、描述法和Venn图法，并能正确地表示一些简单的集合（重点、难点）.

集合的概念

【问题导思】　

观察下面的语句

（1）高一

（2）班的女生；

（2）方程x2－2＝0的所有实根；

（3）2012年7月参加伦敦奥运会的代表团；

（4）高一

（2）班的所有帅哥；

（5）高一

（2）班的好学生．

1．上面语句中女生、实根、代表团、帅哥、好学生哪些能被清晰的确定出来？

【提示】　女生、实根、代表团．

2．以上语句中为什么有的不能确定？

【提示】　因帅哥、好学生标准无法确定．

1．元素与集合的概念

一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．

2．元素与集合的符号表示

通常用大写拉丁字母来表示集合，例如集合A、集合B等；通常用小写拉丁字母表示集合的元素，例如元素a，b等.

元素与集合的关系

【问题导思】　

某中学2013级高一年级的20个班构成一个集合，则高一（6）班是这个集合的元素吗？

高二（3）班呢？

【提示】　高一（6）班是这个集合中的元素，高二（3）班不是．

1．元素与集合的关系

（1）属于（符号：

∈），a是集合A中的元素．记作a∈A，读作

“a属于A”．

（2）不属于（符号：

∉或

），a不是集合A中的元素，记作

a∉A或a

A.读作“a不属于A”．

2．常用数集及符号表示

数集名称

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号表示

N

N*或N＋

Z

Q

R

集合的表示方法

【问题导思】　

观察下列集合

（1）中国的直辖市．

（2）12的所有正因数．

（3）不等式x－2≥3的解集．

（4）所有偶数的集合．

1．上述四个集合中的元素能分别一一列举出来吗？

【提示】　

（1）、

（2）中元素可以一一列举出来，（3）、（4）中元素不能一一列举，因为它们中的元素有无穷多个．

2．设（3）、（4）中元素为x，请用等式（或不等式）分别将它们表示出来．

【提示】　（3）中元素x≥5，（4）中元素x＝2n，n∈N.

1．列举法

将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{　}”内．用这种方法表示集合，元素之间要用逗号分隔，但列举时与元素的次序无关．

2．描述法

将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成{x|p（x）}的形式．

3．集合相等

如果两个集合所含的元素完全相同（即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素），那么称这两个集合相等．

集合的分类

【问题导思】　

你班的学生人数可数吗？

你能举出一个不可数的集合吗？

【提示】　可数　自然数集．

有限集：

含有有限个元素的集合称为有限集．

无限集：

含有无限个元素的集合称为无限集．

空集：

不含任何元素的集合称为空集，记作∅.

集合的有关概念

　下列每组对象能否构成一个集合？

（1）所有的好人；

（2）平面上到原点的距离等于2的点的全体；

（3）正三角形的全体；

（4）方程x2＝2的实数解；

（5）不等式x＋1>0的所有实数解．

【思路探究】　看一组对象能否构成集合，关键是看这组对象是不是确定的．

【自主解答】　“所有的好人”无确定的标准，因此

（1）不能构成集合．而

（2）（3）（4）（5）的对象尽管有点、图形、实数等不同之处，但它们是确定的．所以

（2）（3）（4）（5）能构成集合．

判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看能否找到一个明确的标准，来判断整体中的每一个对象是不是确定的，若元素是确定的，又能看做一个整体，便构成一个集合，否则，就不能构成集合，同时要兼顾集合中每个对象所代表的元素的无序性和互异性．

下列对象：

①不超过π的正整数；②高一数学课本中的所有难题；③所有的正三角形；④我国近代著名的数学家．其中能够构成集合的序号是________．

【解析】　由集合定义知①③中的对象可构成集合；②中的“难”与④中的“著名”都无明确的界限，不确定，所以不能构成集合．

【答案】　①③

用列举法表示集合

　用列举法表示下列集合：

（1）A＝{x|－2≤x≤2，x∈Z}；

（2）B＝{（x，y）|

；

（3）M＝{x|（x－2）2（x－3）＝0}；

（4）{自然数中五个最小数的完全平方数}；

（5）P＝{y|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}．

【思路探究】　解答本题首先弄清集合中元素的性质特点，然后按要求改写．

【自主解答】　

（1）∵－2≤x≤2，x∈Z，

∴x＝－2，－1,0,1,2，

∴A＝{－2，－1,0,1,2}．

（2）解方程组

得

∴B＝{（3,2）}．

（3）∵2和3是方程的根，∴M＝{2,3}．

（4）{0,1,4,9,16}．

（5）∵y＝－x2＋6≤6，且x∈N，y∈N，

∴x＝0,1,2，y＝6,5,2，

∴P＝{6,5,2}．

应用列举法应注意的问题：

（1）用列举法表示集合，要注意是数集还是点集；

（2）列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然．因此，判定集合是有限集还是无限集，选择适当的表示方法是关键．

把本题（5）中集合P改为“{（x，y）|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}”，求相应问题．

【解】　点（x，y）满足条件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，

则

或

或

∴Q＝{（0,6），（1,5），（2,2）}．

用描述法表示集合

　用描述法表示下列集合．

（1）正奇数集；

（2）使y＝

有意义的实数x的集合；

（3）坐标平面内，在第二象限内的点所组成的集合；

（4）坐标平面内，不在第一、三象限内的点所组成的集合．

【思路探究】　本题主要考查集合的表示方法，可以把自然语言转化为集合语言，用描述法表示出来．

【自主解答】　

（1）{x|x＝2n＋1，n∈N}，

也可表示为{x|x＝2n－1，n∈N*}．

（2）{x|x≠2且x≠－3，x∈R}．

（3）{（x，y）|x<0且y>0，x∈R，y∈R}．

（4）{（x，y）|xy≤0，x∈R，y∈R}．

使用描述法时，应注意六点：

（1）写清楚集合中的代表元素；

（2）说明该集合中元素的性质；

（3）不能出现未被说明的字母；

（4）多层描述时，应当准确使用“且”“或”；

（5）所有描述的内容都要写在花括号内；

（6）用于描述的语句力求简明、确切．

用描述法表示下列集合：

（1）偶数集；

（2）被3除余2的正整数的集合；

（3）不等式2x－3<0的解集．

【解】　

（1）偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，所以偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈Z}．

（2）设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．

（3）不等式2x－3<0，即x<

，所以不等式2x－3<0的解集可表示为{x|x<

}.

运用方程的思想解决集合相等问题

　（12分）已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}．若A＝B，求c的值．

【思路点拨】　要求c的值此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性、无序性列方程求解．

【规范解答】　①若a＋b＝ac且a＋2b＝ac2，消去b得：

a＋ac2－2ac＝0，1分

当a＝0时，集合B中的三个元素均为0，和元素的互异性相矛盾，故a≠0.3分

∴c2－2c＋1＝0，即c＝1，但c＝1时，B中的三个元素相同，此时无解；6分

②若a＋b＝ac2且a＋2b＝ac，消去b得：

2ac2－ac－a＝0，

∵a≠0，∴2c2－c－1＝0，9分

即（c－1）（2c＋1）＝0，又c≠1，故c＝－

.11分

综上所述，c＝－

.12分

1．根据两集合中的元素完全相同，列出a，b，c满足的方程求解，这就是方程思想的应用．

2．解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增根，这需要解题后进行检验．

1．集合的概念可以从以下几个方面来理解：

（1）集合是一个“整体”；

（2）构成集合的对象必须具有“确定”且“不同”这两个特征．这两个特征不是模棱两可的．

判定一组对象能否构成一个集合，关键要看是否有一个明确的客观标准来鉴定这些对象，若鉴定对象确定的客观标准存在，则这些对象就能构成集合，否则不能构成集合．

2．集合的表示方法：

列举法简明、直观适用于元素个数较少的集合；描述法应用更广泛，多适用于元素个数有无穷多的集合．

3．集合的分类：

集合分为有限集和无限集，根据元素的特性，还可以分为数集、点集、图形集等．

1．下列各组对象不能确定一个集合的是________．

①某校高一年级开设的课程；②某校高一年级任教的教师；③某校高一年级1998年出生的学生；④某校高一年级比较聪明的学生．

【解析】　因为①②③中对象都是确定的，它们都能确定一个集合，而④中“比较聪明”没有明确的判断标准，故④不能确定一个集合．

【答案】　④

2．下列关系式中，正确的序号是________．

①a∈{a，b}；②0∈∅；③{x|x2≤0}＝∅；④{x|x2＋2x＋5＝0}＝∅.

【解析】　空集不含任何元素，故②错；0∈{x|x2≤0}，故③错；①④正确．

【答案】　①④

3．下列叙述中，正确的个数是________．

①1是集合N中最小的数　②若－a∉N，则a∈N　③若a∈N*，b∈N，则a＋b的最小值为2　④方程x2－4x＝－4的解集为{2,2}．

【解析】　N中的最小数为0，故①错误；②可举反例：

a＝

，则－a＝－

∉N，但a＝

∉N，故②不正确；③可取a＝1，b＝0，则a＋b＝1，其最小值不为2，故③错；④方程的解集应为{2}，故④错．所以正确个数为0.

【答案】　0

4．用适当的方法表示下列集合．

（1）中国古代四大发明的集合；

（2）由大于0小于2的实数组成的集合；

（3）绝对值等于1的实数的集合；

（4）方程x（x2＋2x－3）＝0的解集；

（5）不等式x2＋2≤0的解集．

【解】　

（1）中国古代四大发明的集合可用列举法表示为{指南针，造纸术，火药，印刷术}．

（2）由大于0且小于2的实数组成的集合用描述法可表示为{x|0

（3）绝对值等于1的实数的集合用描述法可表示为{x||x|＝1}，用列举法可表示为{－1,1}．

（4）方程x（x2＋2x－3）＝0的解集用描述法可表示为{x|x（x2＋2x－3）＝0}，用列举法可表示为{－3,0,1}．

（5）不等式x2＋2≤0的解集为∅.

一、填空题

1．下列条件能形成集合的是________．

（1）充分小的负数全体　

（2）爱好飞机的一些人；

（3）某班本学期视力较差的同学　（4）某校某班某一天所有课程．

【解析】　综观

（1）

（2）（3）的对象不确定，唯有（4）某校某班某一天所有课程的对象确定，故能形成集合的是（4）．

【答案】　（4）

2．方程组

的解集用列举法表示为________；用描述法表示为________．

【解析】　因

的解集为方程组的解．

解该方程组x＝

，y＝－

.

则用列举法表示为{（

，－

）}；用描述法表示为

.

【答案】　{（

，－

）}　

3．函数y＝x2－2x－1图象上的点组成的集合为A，试用“∈”或“∉”号填空．

①（0，－1）________A；②（1，－2）________A；

③（－1,0）________A.

【解析】　把各点分别代入函数式，可知（0，－1）∈A，（1，－2）∈A，（－1,0）∉A.

【答案】　∈，∈，∉

4．（2013·徐州高一检测）若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是________三角形．（用“锐角，直角，钝角，等腰”填空）

【解析】　由集合中元素的互异性可知a≠b≠c，故该三角形一定不是等腰三角形．

【答案】　等腰

5．用描述法表示如图1－1－1所示中阴影部分的点（包括边界上的点）的坐标的集合是________．

图1－1－1

【解析】　由图可知，所表示的集合为{（x，y）|－2≤x≤0，且－2≤y≤0}．

【答案】　{（x，y）|－2≤x≤0，且－2≤y≤0}

6．（2013·南京高一检测）若集合A＝{x|3x－a<0，x∈N}表示二元集，则实数a的取值范围是________．

【解析】　由3x－a<0得，x<

，又x∈N且满足上述条件的只有两个元素，故1<

≤2，解得3

【答案】　3

7．已知x、y、z为非零实数，代数式

＋

＋

＋

的值所组成的集合是M，则M＝________.

【解析】　分四种情况讨论：

x，y，z中三个都为正，代数式的值为4；x，y，z中两个为正，一个为负，代数式值为0；x，y，z中一个为正、两个为负，代数式值为0；x，y，z都为负数时代数式值为－4.

∴M＝{－4,0,4}．

【答案】　{－4,0,4}

8．设三元素集A＝{x，

，1}，B＝{|x|，x＋y,0}，其中x，y为确定常数且A＝B，则x2013－y2013的值等于________．

【解析】　由题意，知{x，

，1}＝{|x|，x＋y,0}．

∵x≠0，∴

＝0，即y＝0.

又∵x≠1，且|x|＝1，

∴x＝－1，

∴x2013－y2013＝（－1）2013－0＝－1.

【答案】　－1

二、解答题

9．用列举法表示下列集合：

（1）{y|y＝－x2－2x＋3，x∈R，y∈N}；

（2）方程x2＋6x＋9＝0的解集；

（3）{20以内的质数}；

（4）{（x，y）|x2＋y2＝1，x∈Z，y∈Z}；

（5）{（x，y）}|x∈N，且1≤x<4，y－2x＝0}；

（6）{a|

∈N，且a∈N}．

【解】　

（1）y＝－x2－2x＋3＝－（x＋1）2＋4，即y≤4，又y∈N，

∴y＝0,1,2,3,4.

故{y|y＝－x2－2x＋3，x∈R，y∈N}＝{0,1,2,3,4}．

（2）由x2＋6x＋9＝0得x1＝x2＝－3，

∴方程x2＋6x＋9＝0的解集为{－3}．

（3）{20以内的质数}＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．

（4）因x∈Z，y∈Z，则x＝－1,0,1时，y＝0,1，－1.

那么{（x，y）|x2＋y2＝1，x∈Z，y∈Z}＝{（－1,0），（0,1），（0，－1），（1,0）}．

（5）当x∈N且1≤x<4时，x＝1,2,3，此时y＝2x，即y＝2,4,6，

那么{（x，y）|x∈N且1≤x<4，y－2x＝0}＝{（1,2），（2,4），（3,6）}．

（6）当a＝－1,2,3,4时，

分别为1,2,3,6，故{a|

∈N，且a∈N}＝{－1,2,3,4}．

10．用描述法表示下列集合：

（1）被5除余1的正整数集合；

（2）大于4的全体奇数构成的集合；

（3）坐标平面内，两坐标轴上点的集合；

（4）三角形的全体构成的集合；

（5）{2,4,6,8}．

【解】　

（1）{x|x＝5k＋1，k∈N}；

（2）{x|x＝2k＋1，k≥2，k∈N}；

（3）{（x，y）|xy＝0，x∈R，y∈R}；

（4）{x|x是三角形}或{三角形}；

（5）{x|x＝2n,1≤n≤4，n∈N}．

11．已知p∈R，且集合A＝{x|x2－px－

＝0}，集合B＝{x|x2－

x－p＝0}，

∈A，求集合B中的所有元素．

【解】　∵

∈A，∴

－

－

＝0，∴p＝－

.

∴B＝{x|x2－

x＋

＝0}．

又方程x2－

x＋

＝0的两根为x＝

或x＝3.

∴B＝{

，3}.

（教师用书独具）

若集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．

（1）若m∈M，问是否有a∈A，b∈B，使m＝a＋b?

（2）对于任意a∈A，b∈B，是否一定有a＋b＝m且m∈M？

证明你的结论．

【思路探究】　

（1）由m∈M，可写出m的表达式，再根据A、B中元素特征，寻找a、b；

（2）可先表示a、b，然后找a＋b，最后观察a＋b的形式．

【自主解答】　

（1）由m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2（k∈Z），

令a＝3k＋1，b＝3k＋2，则m＝a＋b.故若m∈M，一定有a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立．

（2）设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k、l∈Z，则a＋b＝3（k＋l）＋3.

∴当k＋l＝2p（p∈Z）时，a＋b＝6p＋3∈M，此时有m∈M，使a＋b＝m成立；当k＋l＝2p＋1（p∈Z）时，a＋b＝6p＋6∉M，此时不存在m使a＋b＝m成立．

在探索过程中，要紧抓各集合元素的特征，利用构造法去寻找，同时注意分类讨论．

设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是________个．

【解析】　∵P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，∴当a＝0且b＝1,2,6时，a＋b＝1,2,6；当a＝2且b＝1,2,6时，a＋b＝3,4,8；当a＝5且b＝1,2,6时，a＋b＝6,7,11.由上可知，只有一个相同的元素6，其他均不相同，故P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}．

其所含元素个数为8.

【答案】　8

1.2

子集、全集、补集

（教师用书独具）

●三维目标

1．知识与技能

（1）了解集合之间包含的含义，能识别给定集合的子集．

（2）理解子集、真子集的概念．

（3）能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用．

2．过程与方法

让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义．

3．情感、态度与价值观

（1）树立数形结合的思想．

（2）体会类比对发现新结论的作用．

●重点、难点

重点：

集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念．

难点：

难点是属于关系与包含关系的区别．

（教师用书独具）

●教学建议

1．关于子集、真子集的概念，建议教师让学生从三个方面去理解它们．自然语言、符号语言、图形语言（Venn图），特别是图形语言即Venn图表示可以形象直观地表示集合间的关系，故学时要让学生知道表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形，也可以是其他封闭曲线．

2．关于包含符号“⊆”的理解，建议教师提醒学生符号的方向不要搞错，如A⊆B与B⊇A是相同的，而A⊆B与A⊇B是不同的，同时强调“A⊆B”包含两层含义；即“AB”或“A＝B”．

3．关于补集的教学

建议教师讲解时：

①充分利用Venn图的直观性引进概念，讲清概念的含义．②语言表述要确切无误．“∁UA是A在全集U中的补集”，不能把它简单地说成∁UA是A的补集，因为补集是在全集的前提下建立的概念，即补集是一个相对概念．

4．关于全集的教学

建议教师讲解时突出强调全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题则z为全集，而当问题扩展到实数集时，则R为全集．

●教学流程

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

课标解读

1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合间是否具有包含关系（重点）．

2．了解全集与空集的含义，能在给定全集的基础上求已知集合的补集（重点）．

3．能通过分析元素的特点判断集合间的关系，并能根据集合间的关系确定一些参数的取值（难点）.

子集的概念及其性质

【问题导思】　

给出两个集合A＝{2,4}，B＝{1,2,3,4}．

1．集合A中的元素都是集合B中的元素吗？

【提示】　是．

2．集合B中的元素都是集合A中的元素吗？

【提示】　不全是．

1．子集

如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若a∈A，则a∈B），那么集合A称为集合B的子集，记为A⊆B或B⊇A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”．

可用Venn图表示为：

子集的性质：

（1）A⊆A，即任何一个集合是它本身的子集．

（2）∅⊆A，即空集是任何集合的子集．

2．真子集的概念

真子集：

如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．

补集、全集的概念

【问题导思】　

A＝{高一

（1）班参加足球队的同学}，B＝{高一

（1）班没有参加足球队的同学}，U＝{高一

（1）班的同学}．

1．集合A，B，U有何关系？

【提示】　U＝A∪B.

2．B中元素与U和A有何关系？

【提示】　B中元素在U中不在A中．

1．补集

（1）定义：

设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集．记为∁SA（读作“A在S中的补集”）．

（2）符号表示

∁SA＝{x|x∈S，且x∉A}．

（3）图形表示：

2．全集

如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.

子集、真子集的概念

　已知集合M满足{1,2}M⊆{1,2,3,4}，写出集合M.

【思路探究】　可按集合M中含有元素的个数分类讨论求