中考数学运动型问题专题复习学案.docx

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中考数学运动型问题专题复习学案

2016中考数学运动型问题专题复习学案

运动型问题【题型特征】用运动的观点探究几何图形变化规律的问题称为运动型问题,此类问题的显著特点是图形中的某个元素（如点、线段、角等）或整个几何图形按某种规律运动,图形的各个元素在运动变化的过程中互相依存、和谐统一,体现了数学中“变”与“不变”、“一般”与“特殊”的辩证思想,渗透了分类讨论、转化化归、数形结合、函数方程等重要的数学思想,综合性较强

运动型试题主要类型:

（1）点的运动（单点运动、双点运动）;

（2）线的运动（线段或直线的运动）;（3）形的运动（三角形运动、四边形运动、圆的运动等）

【解题策略】解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形,把握图形运动与变化的全过程,抓住其中的等量关系和变量关系,并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系

解决点动型问题,一是要搞清在点运动变化的过程中,哪些图形（如线段、三角形等）随之运动变化,并在点运动在相对静止的瞬间,寻找变量的关系二是要运用好相应的几何知识三是要结合具体问题,建立函数模型,达到解题目的

线动实质就是点动,即点动带动线动,进而还会产生面动,因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题求解解决线动类问题的关键是要把握图形运动与变化的全过程,抓住其中的等量关系和变量关系从运动变化得到图形的特殊位置,进而探索出一般的结论或者从中获得解题启示

解决形动类问题,一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性,充分利用不变量解决问题;二是要运用特殊到一般的关系,探究图形运动变化过程中的不同阶段;三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质,这种方法能够使得问题解决的过程更加简捷,结论更加准确

类型一　点的运动

典例1　（201•江西）如图

（1）,AB是☉的直径,点在AB的延长线上,AB=4,B=2,P是☉上半部分的一个动点,连接P,P

（1）求△P的最大面积;

（2）求∠P的最大度数;

（3）如图

（2）,延长P交☉于点D,连接DB,当P=DB时,求证:

P是☉的切线

（1）

（2）

【全解】

（1）∵AB=4,

∴B=2,=B+B=4

在△P中,设边上的高为h,∴当h最大时,S△P取得最大值

观察图形,当P⊥时,h最大,如图

（1）所示:

（1）

此时h=半径=2,S△P=22=4

∴△P的最大面积为4

（2）当P与☉相切时,∠P最大如图

（2）所示:

（2）

∴∠P=30°

∴∠P的最大度数为30°

（3）如图（3）,连接AP,BP（3）

∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD

∵=,

∴=

∴AP=BD

∵P=DB,

∴AP=P

∴∠A=∠

∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD=∠

在△DB与△BP中,∴△DB≌△BP（SAS）

∴∠D=∠BP

∵PD是直径,

∴∠DBP=90°

∴∠D+∠BPD=90°

∴∠BP+∠BPD=90°

∴DP⊥P

∵DP经过圆心,

∴P是☉的切线

【技法梳理】本题是一道单质点的运动问题考查了全等三角形的判定和性质,切线的判定和性质,作出辅助线构建直角三角形是解题的关键

（1）在△P中,底边长度固定,因此只要边上高最大,则△P的面积最大;观察图形,当P⊥时满足要求;

（2）P与☉相切时,∠P的度数最大,根据切线的性质即可求得;

（3）连接AP,BP通过△DB≌△BP可求得DP⊥P,从而求得P是☉的切线

举一反三

1（201•黑龙江牡丹江）如图,在Rt△AB中,∠AB=90°,A=8,B=6,D⊥AB于点D点P从点D出发,沿线段D向点运动,点Q从点出发,沿线段A向点A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当点P运动到时,两点都停止设运动时间为t秒

（1）求线段D的长

（2）设△PQ的面积为S,求S与t之间的函数表达式,并确定在运动过程中是否存在某一时刻t,使得S△PQ∶S△AB=9∶100?

若存在,求出t的值;若不存在,说明理由

（3）当t为何值时,△PQ为等腰三角形?

　　【小结】解题要点是

（1）明确动点的运动过程;

（2）明确运动过程中,各组成线段、三角形之间的关系;（3）运用分类讨论的数学思想,避免漏解

类型二　线的运动

典例2　（201•广东）如图,在△AB中,AB=A,AD⊥B于点D,B=10,AD=8点P从点B出发,在线段B上以每秒3的速度向点匀速运动,与此同时,垂直于AD的直线从底边B出发,以每秒2的速度沿DA方向匀速平移,分别交AB,A,AD于点E,F,H,当点P到达点时,点P与直线同时停止运动,设运动时间为t秒（t>0）

备用图

（1）当t=2时,连接DE,DF,求证:

四边形AEDF为菱形

（2）在整个运动过程中,所形成的△PEF的面积存在最大值,当△PEF的面积最大时,求线段BP的长

（3）是否存在某一时刻t,使△PEF为直角三角形?

若存在,请求出此时刻t的值;若不存在,请说明理由

【解析】

（1）如图

（1）所示,利用菱形的定义证明;

（2）如图

（2）所示,首先求出△PEF的面积的表达式,然后利用二次函数的性质求解;

（3）如图（3）（4）（）所示,分三种情形,需要分类讨论,分别求解

【全解】

（1）当t=2时,DH=AH=4,则H为AD的中点,如图

（1）所示

（1）

∵EF⊥AD,

∴EF为AD的垂直平分线

∴AE=DE,AF=DF

∵AB=A,AD⊥B于点D,

∴AD⊥B,∠B=∠

∴EF∥B

∴∠AEF=∠B,∠AFE=∠

∴∠AEF=∠AFE

∴AE=AF

∴AE=AF=DE=DF,即四边形AEDF为菱形

（2）如图

（2）所示,由

（1）知EF∥B,

（2）

∴当t=2秒时,S△PEF存在最大值,最大值为10,此时BP=3t=6

（3）存在理由如下:

①若点E为直角顶点,如图（3）所示,（3）此时PE∥AD,PE=DH=2t,BP=3t

∵PE∥AD,

此比例式不成立,故此种情形不存在

②若点F为直角顶点,如图（4）所示,（4）

此时PF∥AD,PF=DH=2t,BP=3t,P=10-3t

∵PF∥AD,③若点P为直角顶点,如图（）所示（）

过点E作E⊥B于点,过点F作FN⊥B于点N,则E=FN=DH=2t,E∥FN∥AD

∵E∥AD,【技法梳理】这是一道“线平移型”动态问题,涉及动点与动线两种运动类型第

（1）问考查了菱形的定义;第

（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值;第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点,重点考查了分类讨论的数学思想

举一反三

2（201•湖南衡阳）如图,直线AB与x轴相交于点A（-4,0）,与轴相交于点B（0,3）,点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿直线AB向点B移动同时,将直线以每秒06个单位长度的速度向上平移,交A于点,交B于点D,设运动时间为t（0<t<）秒

（1）证明:

在运动过程中,四边形ADP总是平行四边形;

（2）当t取何值时,四边形ADP为菱形?

请指出此时以点D为圆心、D长为半径的圆与直线AB的位置关系并说明理由

【小结】这是一道“线运动型”的动态几何问题,线段的运动往往带动的是一个图形大小的变化（如三角形、平行四边形等）,问题常以求图形面积的最值,或者探究运动过程中是否存在某一特殊位置的形式出现解决此类问题时,一是要选择适当的求图形面积的方法若是规则图形,可以直接选择面积公式计算;若是不规则图形,一般情况下选择割补法,通过“割补”将不规则图形转化为规则图形解决;二是要根据线段的运动变化过程,探究其他图形的运动变化规律有效的方法就是画出线段变化过程中的几个不同位置的图形,确定线段运动变化的不同阶段,从而判断随之而动的其他图形的一般位置和特殊位置

类型三　面的运动

典例3　（201•甘肃天水）如图

（1）,在平面直角坐标系中,点A（0,-6）,点B（6,0）Rt△DE中,∠DE=90°,D=4,DE=4,直角边D在轴上,且点与点A重合Rt△DE沿轴正方向平行移动,当点运动到点时停止运动解答下列问题:

（1）如图

（2）,当Rt△DE运动到点D与点重合时,设E交AB于点,求∠BE的度数

（2）如图（3）,在Rt△DE的运动过程中,当E经过点B时,求B的长

（3）在Rt△DE的运动过程中,设A=h,△AB与△DE的重叠部分的面积为S,请写出S与h之间的函数表达式,并求出面积S的最大值

【全解】

（1）如图

（1）,

（1）

∵在平面直角坐标系中,点A（0,-6）,点B（6,0）

∴A=B

∴∠AB=4°

∵∠DE=90°,D=4,DE=4,

∴∠E=60°

∴∠A=∠E-∠AB=60°-4°=1°

∴∠BE=∠A=1°

（2）如图

（2）,

（2）

∵∠DE=90°,D=4,DE=4,

∴∠B=∠DE=30°

∵B=6,

∴B=4

（3）①h≤2时,如图（3）,作N⊥轴交轴于点N,作F⊥DE交DE于点F,且E交AB于点（3）

∵D=4,DE=4,A=h,AN=N,

∴N=4-F,AN=N=4+h-F

∵△N∽△ED,【技法梳理】本题是一道面平移型动态问题综合运用了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、以及三角形外角定理,难度较大对于第（3）题这类有关于动态问题,需要分类讨论,以防漏解有一定的难度

（1）如图

（1）,由对顶角的定义知,∠BE=∠A,所以欲求∠BE的度数,需求∠A的度数根据三角形外角定理进行解答即可;

（2）如图

（2）,通过解直角△B求B的长度;

（3）需要分类讨论:

①h≤2时,如图（4）,作N⊥轴交轴于点N,作F⊥DE交DE于点F,S=S△ED-S△EF;②当h≥2时,如图（3）,S=S△B

举一反三

3（201•福建三明）如图

（1）,在Rt△AB中,∠AB=90°,AB=10,B=6,扇形纸片DE的顶点与边AB的中点重合,D交B于点F,E经过点,且∠DE=∠B

（1）证明△F是等腰三角形,并求出F的长;

（2）将扇形纸片DE绕点逆时针旋转,D,E与边A分别交于点,N（如图

（2））,当的长是多少时,△N与△B相似?

【小结】解决运动型问题时,一是要搞清运动变化的过程中,哪些图形（如线段、三角形等）不改变、那些图形随之变化,即确定运动变化过程中图形中的变与不变,充分利用不变量解决问题;二是要运用好相应的几何知识;三是要结合具体问题,建立函数模型,达到解题目的

对于几何图形的运动的动态几何题,一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性;二是要运用特殊与一般的关系,探究图形运动变化过程中的不同阶段;三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质,这种方法能够使得问题解决的过程更加简洁,结论更加准确　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

类型一　

1（201•贵州贵阳）如图,在Rt△AB中,∠BA=90°,AB=A=16,AD为B边上的高动点P从点A出发,沿A→D方向以/s的速度向点D运动设△ABP的面积为S1,矩形PDFE的面积为S2,运动时间为t秒（0<t<8）,则t=　　　　秒时,S1=2S2

类型二　

3（201•湖南怀化）如图

（1）,在平面直角坐标系中,AB=B=8,∠AB=90°,∠=4°,射线以每秒2个单位长度的速度向右平行移动,当射线经过点B时停止运动,设平行移动x秒后,射线扫过Rt△AB的面积为

（1）求与x之间的函数表达式;

（2）当x=3秒时,射线平行移动到’’,与A相交于点G,如图

（2）,求经过G,,B三点的抛物线的表达式;

（3）现有一动点P在

（2）中的抛物线上,试问点P在运动过程中,是否存在三角形PB的面积S=8的情况?

若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由

4（201•江苏连云港）在一次科技活动中,小明进行了模拟雷达雪描实验如图,表盘是△AB,其中AB=A,∠BA=120°,在点A处有一束红外光线AP,从AB开始,绕点A逆时针匀速旋转,每秒钟旋转1°,到达A后立即以相同的旋转速度返回A,B,到达后立即重复上述旋转过程小明通过实验发现,光线从AB处开始旋转计时,旋转1秒,时光线AP交B于点,B的长为（20-20）

（1）求AB的长

（2）从AB处旋转开始计时,若旋转6秒,此时AP与B边交点在什么位置?

若旋转201秒,此时AP与B边交点在什么位置?

并说明理由

类型三　

（201•湖南益阳）如图,在平面直角坐标系x中,半径为2的☉P的圆心P的坐标为（-3,0）,将☉P沿x轴正方向平移,使☉P与轴相切,则平移的距离为（　　）　（第题）

A1B1或

3D

6（201•黑龙江黑河）在等腰直角三角形AB中,∠BA=90°,AB=A,直线N过点A且N∥B,过点B为一锐角顶点作Rt△BDE,∠BDE=90°,且点D在直线N上（不与点A重合）,如图

（1）,DE与A交于点P,易证:

BD=DP（无需写证明过程）

（1）在图

（2）中,DE与A延长线交于点P,BD=DP是否成立?

如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由

（2）在图（3）中,DE与A延长线交于点P,BD与DP是否相等?

请直接写出你的结论,无需证明

（1）

参考答案

【真题精讲】

1

（1）如图

（1）,（第1题

（1））

∵∠AB=90°,A=8,B=6,

∴AB=10

∵D⊥AB,∴线段D的长为48

（2）①过点P作PH⊥A,垂足为H,如图

（2）所示（第1题

（2））

由题可知DP=t,Q=t

则P=48-t

∵∠AB=∠DB=90°,

∴∠HP=90°-∠DB=∠B

∵PH⊥A,

∴∠HP=90°

∴∠HP=∠AB

∴△HP∽△BA整理,得t2-24t+27=0

即（t-9）（t-3）=0③若Q=QP,

过点Q作QE⊥P,垂足为E,如图（3）所示（第1题（3））

∴（-08t,0）,=08t

∴在Rt△D中,

D===t

∵点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿直线AB向点B移动t（0<t<）秒,

∴AP=t

∴AP=D=t∴AP∥D

∵AP∥D,AP=D=t,

∴在运动过程中,四边形ADP总是平行四边形∵A（-4,0）,B（0,3）,

∴A=4,B=3

∴在Rt△AB中,AB==

过点D作DE⊥AB于点E,则∠DEB=90°（第2题）

∵在△AB和△DEB中,

∠AB=∠DEB=90°且∠BA=∠EBD,

∴△AB∽△DEB∴点D到直线AB的距离等于☉D的半径

∴以点D为圆心、D长为半径的圆与直线AB相切

方法二:

（在证明☉D与直线AB相切时,也可利用等积法求得点D到直线AB的距离）

设点D到直线AB的距离为d,则∴点D到直线AB的距离与☉D的半径相等,

即d=r

∴以点D为圆心、D长为半径的☉D与直线AB相切

方法三:

（巧用“菱形对角线的性质”和“角平分线性质定理”）

连接AD,则AD是菱形ADP的对角线,

∴AD平分∠AB

∵D⊥A,

∴D是点D到直线A的距离

∴点D到直线AB的距离=点D到直线A的距离（D）

∴以点D为圆心、D长为半径的圆与直线AB相切

3

（1）∵∠AB=90°,点是AB的中点,

∴=B=A=

∴∠B=∠B,∠A=∠A

∵∠DE=∠B,

∴∠F=∠F

∴F=F

∴△F是等腰三角形

过点F作FH⊥,垂足为H,如图

（1）,（第3题

（1））

∵F=F,FH⊥,

（2）①若△N∽△B,如图

（2）,（第3题

（2））

则有∠N=∠B

∵∠B=∠B,

∴∠N=∠B

∵∠A=∠A,

∴△A∽△AB②若△N∽△B,如图（3）,（第3题（3））

则有∠N=∠B

∵∠B=∠B,

∴∠N=∠B

∵∠A=∠A,

∴△N∽△AB过点作G⊥N,垂足为G,如图（3）,

∵∠N=∠B,∠N=∠B,

∴∠N=∠N

∴N=

∵G⊥N,即∠GN=90°,

【后精练】

16　2-6

3

（1）∵AB=B,∠AB=90°,

∴△AB是等腰直角三角形

∴∠AB=4°

∵∠=4°,

∴∠A=（90°-4°）+4°=90°

∴A⊥

∵’’是平移得到,

∴A⊥’’

∴△’G是等腰直角三角形

∵射线的速度是每秒2个单位长度,

∴’=2x

∴其以’为底边的高为x

4

（1）如图

（1）,过A点作AD⊥B,垂足为D（第4题

（1））

∵∠BA=120°,AB=A,

∴∠AB=∠=30°

令AB=2t在Rt△AD中,

∵∠AD=∠AB+∠BA=4°,

∴D=AD=t

∵B=BD-D即t-t=20-20,

解得t=20

∴AB=220=40

故AB的长为40

（2）如图

（2）,当光线旋转6秒,（第4题

（2））

设AP交B于点N,此时∠BAN=1°6=90°如图（3）,设光线AP旋转201秒后光线与B的交点为Q（第4题（3））

由题意可知,光线从边AB开始到第一次回到AB处需82=16秒,

而201=1216+14,即AP旋转201秒与旋转14秒时和B的交点是同一个点Q∴光线AP旋转201秒后,与B的交点Q在距

B

6如图

（1）,过点D作DF⊥N,交AB于点F,（第6题

（1））

则△ADF为等腰直角三角形,

∴DA=DF

∵∠1+∠FDP=90°,∠FDP+∠2=90°,

∴∠1=∠2

在△BDF与△PDA中,∴△BDF≌△PDA（ASA）

∴BD=DP

（1）BD=DP成立

如图

（2）,过点D作DF⊥N,交AB的延长线于点F,（第6题

（2））

则△ADF为等腰直角三角形,

∴DA=DF

∵∠1+∠ADB=90°,∠ADB+∠2=90°,

∴∠1=∠2

在△BDF与△PDA中,∴△BDF≌△PDA（ASA）

∴BD=DP

（2）BD=DP

如图（3）,过点D作DF⊥N,交AB的延长线于点F,（第6题（3））

则△ADF为等腰直角三角形,

∴DA=DF

在△BDF与△PDA中,∴△BDF≌△PDA（ASA）

∴BD=DP